Частина 2

2.4. ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

Припустимо, що функції f(x) й g(x) диференційовані. Доведемо деякі властивості похідних, які називають правилами диференціювання.

1. Похідна від суми дорівнює сумі похідних:

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

32

2.5. ПОХІДНА СКЛАДЕНОЇ ФУНКЦІЇ

Теорема. Якщо функція u = φ(x) має при деякому значенні х похідну ux' = φ'(x), а функція y = f(u) має при відповідному значенні u похідну yu' = f'(u), то складена функція y = f(φ(x)) має похідну по х, що дорівнює

u → 0. Тоді

2.6. ПОХІДНА ОБЕРНЕНОЇ ФУНКЦІЇ

Якщо для функції y = f(x) існує обернена функція х = φ(у), яка в точці у має похідну φ′(у) ≠ 0, то у відповідній точці х функція f(x) також має похідну:

2.7. ІНВАРІАНТНІСТЬ ФОРМИ ДИФЕРЕНЦІАЛА ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Знайдемо вираз для диференціала складної функції y = f(φ(x)), де y = f(u), u = φ(x). Похідна функції

dydx = f ′(u)ϕ′(x),

отже, dy = f ′(u)ϕ′(x)dx. Але ϕ′(x)dx = du, тому

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

33

Таким чином, форма диференціала першого порядку не залежить від того, чи є аргумент функції незалежною змінною чи функ-

цією іншого аргументу. Ця властивість називається властивістю незмінності або інваріантності диференціала.

2.8. ПОХІДНІ ОСНОВНИХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ

Знайдемо похідні основних елементарних функцій: 1. Якщо f(x) = C = const, то С= 0, тому С'= 0.

2. y = sinx,

5.Аналогічно можна отримати формулу (ctgx)′ = −sin12 x .

6.(ax )′ = lim ax+ x − ax = ax lim a x −1 = ax ln a.

xx→0 x

Аналогічно можна знайти похідні інших гіперболічних функцій. 9. За формулою похідної оберненої функції:

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

34

► Користуючись властивостями логарифма та формулою (2.12):

Отримана формула дає можливість знаходити похідну функції, що задана параметрично, без визначення безпосередньої залежності у від х.

Приклад 2.4

y = a(t −sin t)x = a(1 − cost)

циклоїдою. Знайдемо у'(х).

► у'(t) = asint, х'(t) = a(1 – cost). Отже, за формулою (2.13):

2.11.ПОХІДНІ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛИ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ

2.11.1.Похідні вищих порядків, їх властивості

Припустимо, що функція y = f(x) диференційована на відрізку [a, b]. Її похідна також є функцією від х. Похідна від неї називається похідною другого порядку функції f(x). Продовжуючи виконувати цю операцію, можна отримати похідні третього, четвертого й більш високих порядків. При цьому f '(х) називатимемо похідною першого порядку.

Похідною n-го порядку (n-ю похідною) від функції f(x) називаєть-

ся похідна (першого порядку) від її (n – 1)-ї похідної:

у(n)=(y(n – 1))'= f (n)(x).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

36

Приклад 2.5. Знайдемо похідну 3-го порядку функції

y= x³ – 5x² + 3x + 12.

►y' = 3x² – 10x + 3, y'' = (y')' = 6x – 10, y''' = (y'')' = 6.

Приклад 2.6. Отримаємо загальну формулу для похідної n-го по-

рядку функції y = abx:

►y' = аbx ·lna ·b, y'' = lna ·b(abx)' = abx·ln²a ·b², …, y(n) = abx ·lnna ·bn.

Властивості похідних вищих порядків

Основні властивості похідних вищих порядків випливають із відповідних властивостей першої похідної:

1.(cf(x))(n) = c · f (n)(x) (с = const).

2.(f(x) + g(x))(n) = f (n)(x) + g(n)(x).

3.Для y = xm: y(n)= n(n – 1)…(n – m + 1)xm – n. Якщо m – натуральне число, то при n > m y(n) = 0.

4.Похідна n-го порядку від добутку функцій f(x)g(x) обчислюється за

формулою Лейбніца:

Коефіцієнти в цій формулі співпадають із відповідними коефіцієнтами формули бінома Ньютона, якщо замінити похідні даного порядку тим же степенем змінної. Для n = 1 ця формула була отримана при вивченні першої похідної, для похідних вищих порядків її можна довести за допомогою методу математичної індукції.

5.Виведемо формулу для другої похідної функції, що задана параме-

тричними рівняннями: x = φ(t), y = ψ(t), t0 ≤ t ≤ T. Перша похідна

2.11.2. Диференціали вищих порядків, їх властивості

Диференціал від диференціала функції називається її другим диференціалом, або диференціалом другого порядку, та позначається

d²y = d(dy).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

37

При обчисленні другого диференціала врахуємо, що dx не залежить від х, та при диференціюванні виноситься за знак похідної як сталий множник. Отже,

d²y = d(dy) = d(f'(x)dx) = (f'(x)dx)'dx = (f'(x))'(dx)² = f''(x)dx². (2.16)

Аналогічно можна знайти третій диференціал: d³y = d(d ²y) = f'''(x)dx³,

а також диференціали більш високих порядків.

Диференціалом n-го порядку називається перший диференціал від диференціала (n – 1)-го порядку:

Властивості диференціалів вищих порядків

1. Якщо х – незалежна змінна, то похідну будь-якого порядку можна подати як відношення диференціалів відповідного порядку:

y = F(φ(x)) = F(u), де u = φ(x), то d ²y = d(F'(u)du). Але du = φ'(x)dx за-

лежить від х, тому d²y = d(F'(u))du + Fu'(u)d(du) = F''uu(u)(du)² + + Fu'(u)d²u, де d²u = φ''(x)(dx)².

Отже, форма другого диференціала змінилась при переході до аргументу u.

2.12. ТОЧКИ ЕКСТРЕМУМУ ФУНКЦІЇ. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ

2.12.1. Точки екстремуму функції

Точка х0 називається точкою максимуму (мінімуму) функції y = f(x),

якщо f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)) для всіх х із деякого δ-околу точки х0. Точки максимуму та мінімуму функції називаються точками ек-

стремуму.

Приклади

1.y = x² має мінімум при х = 0.

2.y = –|x – 3| має максимум при х = 3.

3. у = sinx має мінімуми при x = −π2 + 2πn і максимуми при x = π2 + 2πn, n Z.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

38

2.12.4. Теорема Лагранжа

Теорема 3 (теорема Лагранжа). Якщо функція y = f(x) непе-

рервна на відрізку [a, b] і диференційована в усіх внутрішніх точках цього відрізку, то всередині відрізка [a, b] знайдеться

Z Позначимо за Q = f (b) − f (a) і розглянемо допоміжну функцію b − a

F(x) = f(x) – f(a) – (x – a)Q.

Ця функція задовольняє усі умови теореми Ролля: вона неперервна на [a, b], диференційована на (a, b) і F(a) = F(b) = 0. Отже, на інтервалі (a, b) існує точка с, у якій F′(c) = 0. Але F′(x) = f ′(x) – Q, тобто

F′(c) = f ′(c) – Q = 0, звідки

Геометричний зміст теоре-

ми Лагранжа: серед усіх дотичних до графіка функції y = f(x) знайдеться принаймні одна, паралельна січній АВ (рис. 2.3).

Рис. 2.3

2.12.5. Теорема Коші

Теорема 4 (теорема Коші). Якщо f(x) і g(x) – функції, що не-

перервні на [a, b], диференційовані на (a, b), і g′(x) ≠ 0 на (a, b), то знайдеться така точка x = c, (a < c < b), що

інакше за теоремою Ролля знайшлась б точка всередині відрізка [a, b], в якій g′(x) = 0, що суперечить умові теореми. Розглянемо допоміжну функцію F(x) = f(x) – f(a) – Q(g(x) – g(a)), для якої виконуються усі умови теореми Ролля. Як наслідок, всередині відрізка [a, b] існує точка

х = с, в якій F′(c) = 0. Але F′(x) = f ′(x) – Qg′(x), тому f ′(c) – Qg′(c) = 0,

звідки Q = gf ′′((cc)) . Підставляючи в цю рівність значення Q, отримаємо формулу (2.22).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

40