8.1 Автокорреляция (остатков) и связанные с ней факторы.

При опред-ии ур-ия регрессии значения случ.составляющей в любом наблюдении опр-ся незав-мо от его значений во всех др.набл-ях.

Автокор-ция– зависимость одной случ.составляющей от другой.

Последствия авт-ции примерно такие же как и при гетероск-ти т.е оценки коэф-ов ур-ния регрессии становятся неэффективными , стандартные ошибки коэф-ов ур-ия занижаются. Обычно вопрос авток-ции остатков возникает при исслед-ии временных рядов, но соседними значениями результатирующего признака могут считаться значения, упоряд-ые по возрастанию к-л факториальной переменной.

Постоянная направленность воздействия не включенного в уравнение регрессии к-л фактора явл. наиболее частой причиной положительной автокор-ции.

Пример: Исследуем спрос на мороженое:

Наблюдения показали, что спрос меняется. График:

Выводы:

1. если в ур-ии регрессии вкл. существ. фактор(в данном сл.), вызыв-ий авток-цию, то она устраняется

2. если увеличить интервал наблюдений (в нашем сл.), то авт-ция устраняется

3. если мы имеем: (график)

,то это пример отриц-ой авт-ции.

8.2. Обнаружение автокорреляции 1-го порядка. Критерий Дарбина – Уотсона

Во многих сл.фактич.зависимость, опред-ую авт-цию остатков можно аппроксимировать авторегрессионной схемой 1-го порядка:

, где- чисто случ.величина;- пок-ль авт-ции. Если, то имеем сущ-ую отриц.авт-цию;- авт-ция отсутствует;- сущ-ет положит. авт-ция.

Оценка

Недостаток этой формулы– для этой формулы нет критических значений, поэтому используют для этой формулы критерий Дарбина – Уотсона.

Критерий Дарбина – Уотсона:

Известно, что:

(график) - обнаружение гетероск-ти

Если -авт-ция применяется.

8.3.1. Устранение авт-ции, описываемой авторегрессионной схемой 1-ого порядка в общем случае. Поправка Прайса – Уинстена.

(1)

Наиб. лучший способ устранения – это опред-ть фактор, кот.вызывает авт-цию остатков и вкл.его в ур-ие регрессии,но это трудно сделать, т.к.

1. нам неизвестен фактор

2. этот ф-р трудно измерить

Поэтому исп-ют др.способы. Пусть закономерность, описывающая авт-цию и нам известно . Для простоты рассмотрим ур-ие 1-го порядка:

() (2)

Получим

(3), следовательно полностью устранена авт-ция

При исп-ии такого подхода пропадает первое наблюдение. Если выборка маленькая, то потеря 1-го наблюдения может снизить эффект-ть оценок, вызванную авт-цией остатков.

Для возвращения 1-го наблюдения исп-ся след.подход. Если ур-ие (3) им.случ.составляющую, не связанную с др.случ.остатками в наблюдениях 2,3,4…n, то эти случ.составляющие не коррелируют и с 1-ым остатком, т.е., а значит мы можем исп-ть 1-ое наблюдение без преобразований:

. Однако в этом сл.ур-ие (1) будет оказывать, при применении МНК, неоправданно большое влияние на определенные оценки параметров.

Для устранения этого дисбаланса м/д ур-ми Прайс и Уинстен предложили умножить 1-ое ур-ие на поправочный коэф-т . В этом сл.ур-ие становится соизмеримым с др.ур-ми.

8.3.2. Метод Кокрана-Оркатта. Метод Хилдрета – Лу.

Метод Кокрана-Оркатта.

Данный метод исп-ся для устранения авт-ции итарационную процедуру, кот.можно представить в виде след.этапов:

1. оцениваем исходное регрессионное ур-ие, т.е. находим λ и β.

2. вычисляем остатки

3. находим оценку ρкоэф-та авт-ции (1)

4. исп-уя данную оценку ρнаходим ур-ие (3)

5. производим определение параметров ур-ия (3) и находим новые значения оценок λ и β

6. повторно вычисляем остатки и фактически возвращаемся к этому №3

Процесс повторяется до тех пор, пока не будет получена требуемая точность сходимости в оценках λ и β

Метод Хилдрета – Лу.

В данном м-де исслед-ль задает интервал изменения величины ρ, допустим в пределахДля каждого значенияρ производится оценка парпметров λ и β из ур-ия (3). Затем из полученных рез-ов выбир-ся такой, кот.дает минимальную стандартную ошибку для преобразованного ур-ия. Исп-мые в этом ур-ии значенияρ,λ и β принимаются за искомые.

В сл., когда статистика Дарбина – Уотсона указ.на очень тесную положительную авт-цию, можно исп-ать упрощенную процедуру, в кот.принимается ρ=1. В этом сл.ур-ие (3) принимает след. вид: