2. Алгоритм вычисления показателей

2.1. Определение параметров математической модели

Как уже упоминалось выше, в качестве изучаемой системы берётся экономика условного объекта. Входными показателями объекта считаются:

K(t_i) - величина основных производственных фондов (млрд. руб.);

L(t_i) - величина используемых трудовых ресурсов (тыс. чел.).

А в качестве выходного показателя принимается X(t_i) - величина валового выпуска продукции (млрд.руб.) (см. таблица 1).

Таблица 1

Исходные данные

t	X	K	L
1	132,61	723	70,3
2	138,58	831	71,7
3	145,68	956	73,1
4	154,38	1100	74,6
5	161,64	1265	76,1
6	157,97	1012	79,1
7	153,15	809	82,3
8	148,03	647	85,6
9	144,66	518	89
10	154,21	570	94,4
11	164,55	627	100
12	177,35	689	106
13	194,69	758	116,6
14	227,11	1062	128,3
15	266,52	1486	141,1

В качестве математической модели принимается производственная функция Кобба - Дугласа, вида:

Необходимо определить параметры А, α₁, α₂. Для этой цели проводим логарифмирование данной функции и получаем линейное уравнение регрессии вида:

lnX(t_i) = lnA + α₁* lnK(t_i) + α₂* lnL(t_i).

Используя стандартную функцию «ln» табличного редактора (ТР) "Excel", находим значения величин lnX(t_i), lnK(t_i), lnL(t_i) (см. табл. 2).

Таблица 2

Значения lnX, lnK, lnL

t	lnX	lnK	lnL
1	4,887	6,583	4,253
2	4,931	6,723	4,272
3	4,981	6,863	4,292
4	5,039	7,003	4,312
5	5,085	7,143	4,332
6	5,062	6,920	4,371
7	5,031	6,696	4,410
8	4,997	6,472	4,450
9	4,974	6,250	4,489
10	5,038	6,346	4,548
11	5,103	6,441	4,605
12	5,178	6,535	4,663
13	5,271	6,631	4,759
14	5,425	6,968	4,854
15	5,585	7,304	4,949

Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии и статистических критериев, характеризующих значимость и точность найденного уравнения используем табличный процессор «Excel», применив команды «Сервис» - «Анализ данных» - «Регрессия».

Получаем следующие таблицы:

Таблица 3

Регрессионная статистика
Множественный R	0,99987465
R-квадрат	0,999749315
Нормированный R-квадрат	0,999707535
Стандартная ошибка	0,003245661
Наблюдения	15

Таблица 4

Дисперсионный анализ
		df	SS			MS			F		Значимость F
Регрессия		2	0,504139918			0,252069959			23928,46725		2,48179E-22
Остаток		12	0,000126412			1,05343E-05
Итого		14	0,50426633

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	0,040532091	0,024625807	1,645919259	0,1257001	-0,0131229	0,0941871
lnK	0,259057537	0,002890817	89,61394525	2,49046E-1	0,25275898	0,26535608
lnL	0,737895089	0,003966108	186,0501958	3,9084E-22	0,72925368	0,74653649

Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза Н_о о том, что коэффициент регрессии равен 0. Значение F-критерия признается достоверным, если оно больше табличного, тогда нулевая гипотеза отвергается и уравнение регрессии признается значимым. В данной задачe значимость F близка к 0 (2,48-E), т.е. такова вероятность принятия нулевой гипотезы (нулевая гипотеза отвергается). Значит, что найденное уравнение регрессии близко к истинному и имеет коэффициенты отличные от 0.

В таблице «Дисперсионный анализ» Р-значение характеризует вероятность принятия нулевой гипотезы по каждому коэффициенту регрессии. В рассматриваемой задаче нулевую гипотезу можно отвергнуть.

После выполнения проверок, вычисляем величину нейтрального технического прогресса А, используя стандартную функцию "ЕХР" ТР "Excel" . Получаем результат вычисления: А =1,04.

Итак, производственную функцию Кобба-Дугласа можно записать так:

Строим графики производственной функции:

- X = f(K) при L = L_max = const;

- X = f(L) при K = K_max = const.

Значения K и L принимаем в пределах от 0 до максимального значения. Получаем L_max = 141,1 K_max = 1486. Шаг вычислений определяем по формулам:

K = K_max/20, L = L_max/20 (74,3 и 7,005 соответственно). Строим графики, используя «Мастер диаграмм» TP Excel. (Приложение 1 и 2).

На основании проведенных вычислений можно сделать вывод, что корреляционная связь, описанная уравнением

с большой долей вероятности точно характеризует взаимосвязь результирующего показателя X(t_i) - величина валового выпуска продукции (млрд. руб.). с К(t_i) - величиной основных производственных фондов (млрд. руб.) и L (t_i) - величиной используемых трудовых ресурсов (число занятых в производстве тыс. чел.).