54. Теорема Фейера.

Теорема 5 (Фейера). Если функция f непрерывна на отрезке [—п,п] и принимает на его концах равные значения, то последовательность ее сумм Фейера сходится равномерно на этом отрезке к самой функции.

Доказательство. Пусть функция fнепрерывна на отрезке [ -п, п] и f(-п) = f( п) . Продолжим ее 2п-периодически на всю числовую ось R. Оценим разность f (x) — (x)

Зафиксируем точку x€ [ — п, п] и зададим произвольное > 0. Имеем

(4.16)

где δ>0 выбрано так, что значение модуля непрерывности w(;f) функции fудовлетворяет неравенству w(;f) <.Это возможно, так как функция fравномерно непрерывна на всей числовой оси R. Поэтому для любого x € R имеем

. (4.17)

Оставшиеся два интеграла оцениваются одинаковым способом: функция fограничена на всей числовой прямой, т.е. существует такая постоянная M>0, что для всех x€Rимеет место неравенство |f(x)|<=M. Согласно следствию 2 из леммы 1, правая часть полученного неравенства стремится к нулю при n→, поэтому существует такое n₀, что при всех n>n₀выполняется неравенство(4.18)

Аналогично, для любого x€R и всех n>n₀имеем(4.19)

Из (4.16), (4.17), (4.18) и (4.19) для произвольного x€R и всех n>n₀имеем |f (x) — (x)| <и, так как выбор номера n₀ не зависит от выбора точки x, то последовательность {_n(x)} сходится равномерно на всей числовой оси R к функции f.

55. Теорема Вейерштрасса.

Теорема 6 (Вейерштрасса). Если функция f непрерывна на отрезке [—п, п] и f(—п) = f (п), то для каждого>0 существует такой тригонометрический многочлен T(x), что

| f(x) — T(x) | <, —п<=x<=п.

Доказательство. Очевидно, что все частичные суммы Фурье, а следовательно, и суммы Фейера абсолютно интегриру- емых на отрезке [—п, п] функций являются тригонометрическими многочленами. Поэтому в качестве искомого тригонометрического полинома T(x) можно взять, например, соответствующую сумму Фейера), являющуюся, очевидно, тригонометрическим полиномом порядка не выше n.

Теорема 7 (Вейерштрасса). Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], то для каждого >0 существует алгебраический многочлен P(x) такой, что | f(x) — P(x) | <,a<= x<= b.

Док-во. Отобразим отрезок [0;] линейно на отрезок [a;b]:

x=a+t, 0≤t≤, a≤x≤b,и пусть f^*(t)=f(a+t).Функция f^* определена на [0;]. Продолжим ее четным образом на отрезок [-], т.е. положимf^*(t)=f^*(-t), если tϵ[-]. Полученная т.о. функцияf^* непрерывна на [-] и

f^*()=f^*(-). Поэтому, согласно теореме 6, дляε>0 существует тригонометрический полиномT(t) такой, что <

T(t)=_kt^k

56. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.

Теорема 8. Пусть квадрат функции f интегрируем на отрезке [—п,п]. Тогда если S_n(x) - ее сумма Фурье порядка n, то

(1)

где минимум в правой части равенства берется по всем тригонометрическим многочленам Tnстепени не выше n. Если a₀, a_n, b_n, n = 1, 2,. .. - коэффициенты Фурье функции f, то справедливо неравенство

(2)

Называемое неравенством Бесселя.

Доказательство. Пусть T_n­(x)=+

Тогда, раскрывая скобки в выражении

(3) получим

=

Теорема 9. Пусть функция f непрерывна на отрезке [—п, п] , f(п) = f(—п) и a₀, a_k, b_k, k=1, 2,. .. - ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство

Называемое равенством Парсеваля.