32. Интегральный признак сходимости ряда.

Теорема 10. Если функция f: [1;+)неотрицательна и убывает на этом промежутке, то ряд(1) сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл (2)

Доказательство:

Поскольку функция fубывает на промежутке [1; +), тоf(к + 1) <=f(x) <=f(к), к =1, 2,...,x€[к, к + 1]. Проинтегрируем это по отрезку x€[к, к +1] получим

(3)

Просуммировав это неравенство отк = 1 до n, будем иметь

(4)

где Sn- частичная сумма ряда (1). Пусть ряд (1) сходится и имеет сумму S. ТогдаS_n<=Sт.к.последовательность {Sn} не убывает.Для любого €[1;+oo) найдется такое n, что n>=, поэтому из (3) и (4) имеем, что. Последнее означает, что несобственный интеграл (2) сходится. Пусть несобственный интеграл (2) сходится. Тогдаи, в силу (3) имеем, что

, n=1,2,…

Последнее означает, что последовательность частичных сумм ряда (1) ограничена сверху, т.е. ряд (1) сходится.

33. Знакочередующиеся ряды.

Теорема Лейбница: Если посл. убывает и стремится к 0, т.е.,,(1) то ряд(2) сходится, причём еслисумма ряда,n-ая частичная сумма ряда, то привыполняется неравенство.

Доказательство: Прежде всего, отметим, что из условия (1) в силу чего члены ряда (2) поочерёдно то >0, то <0. Ряды такого вида наз. знакочередующимися. Частичные суммы ряда (2) с чётными номерами возрастают(частичные суммы с чётными номерами возрастают)

Кроме того посл-ть ограничена сверху

Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел

Покажем, что тот же предел имеет посл-ть частичных сумм с нечётными номерами , атогдапоэтому посл-тьвсех частных сумм ряда (2) имеет конечный предел, при этом поскольку посл-тьвозрастает то, посл-тьубывает, т.к., поэтому.

Таким образомотсюда получаем

и а это означает

34.Признак Абеля и Дирихле.

Рассмотрим ряды

Теорема:

1. Признак Абеля. Если ряд (2) сходится, а последовательность - монотонна и ограничена, то ряд (1) сходится.

2. Признак Дирихле. Если последовательность частичных сумм ряда (2) ограничена, а последовательностьмонотонно стремится к нулю, то ряд (1) сходится

Доказательство: Согласно критерию Коши:

Полагая , запишем

т.к. и

₍₃₎

1) Из условия признака Абеля следует, что ограничена, т.е.и ряд (2) сходится а значит по критерию Коши

Тогда получим, что

т.к. ≤ 2A в силу монотонности посл {a_n­} и ее ограниченности. Согласно критерию Коши ряд (1) в рассматриваемом случае сходится.

2) Из условия признака Дирихле следует, что ≤M, n=1,2,.. (т.к. {B_n} ограничена) и

ε>0 NN:n>N→|a_n|<,(т.к. a_n→0) Тогда учитывая (3) будем иметь

≤*2M+2M≤

≤+2M*=ε

(где использовалась монотонность последовательности {a_n­}), т.е. ряд (1) сходится.

35. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды

Пусть дан ряд (1). Рассмотрим ряд (2)

Теорема13. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Доказательство. Поскольку

=u_n+1+ u_n+2 +…+u_n+p≤u_n+1+u_n+2 +…+u_n+p=

=<ε, то согласно критерию Коши следует справедливость утверждения теоремы.

Опр.1. Если ряд (2) сходится, то ряд (1) наз. абсолютно сходящимся.

Опр.2. Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно сходящимся.

Теорема14. Если ряд (1) абсолютно сходится, то при любой перестановке его членов получим новый ряд, который также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

Док-во. Введем обозначения u_n⁺=,

u_n^- =. Тогда u_n= u_n⁺ - u_n^-, n=1,2,… Поскольку u_n⁺≤, u_n^- ≤, n=1,2,… и ряд (1) сходится абсолютно, то по признаку сравнения сходятся ряды

(3) и(4) с неотрицательными членами. При некоторой перестановке членов ряда (1) получим ряд , а из рядов (3) и (4) получим соответственно ряды

(5) и(6) где v_n⁺, v_n^- определяются аналогично u_n⁺ , u_n^-. В силу теореме о перестановке членов в рядах с неотрицательными членами ряды (5) и (6) сходятся и имеют ту же сумму, что и ряды (3) и (4) соответственно. тогда согласно теореме о сумме числовых рядов имеем -=

=-==

Т.о. показали, что ряд имеет ту же сумму, что и ряд (1)