29. Числовые ряды. Критерий Коши

Опред.1. Пусть имеем последовательность {u_n}, n=1,2,…, где u_nϵC. Составим новую последовательность S_n=,n=1,2,… пара последовательностей {u_n}, { S_n } называется числовым рядом и обозначается (1)

Опр.2. Если послед. { S_n } имеет предел равный S, то числовой ряд (1) сходится, а число S называется суммой ряда и пишут . Если предел послед.частичных суммне существует, то ряд расходится.

Теорема1. Пусть ряды сходятся, тогда ряд, называемый суммой данных рядов, также сходится, причем=

Доказательство. Пусть S_n=,S’_n=,G_n=. ТогдаS_n+S’_n=G_n. Поскольку сущ. ,,то

=S+S’ т.е.

=,

что и означает справедливость теоремы.

Теорема2. Если ряд (1) сходится и с – нек.число, то ряд , называемый произведением данного ряда на число с, также сходится, причем=

Теорема3.(Критерий Коши) Числовой ряд (1) сходится т.и т.т., когда для ε>0NN:n>N, pN→<ε (2)

Док-во. Имеем =S_n+p-S_n. Тогда из =

<ε, критерия Коши сходимости числ.послед. {S_n} и определения сходимости числового ряда следует утверждение данной теоремы. Следствие1. (Необх.усл.сход.чил.ряда) Чтобы числовой ряд сходился необходимо (но не достаточно). Чтобы =0.

30.Признаки сравнения сходимости числовых рядов.

Теорема5. (Признак сравнения) Пусть - два ряда с неотриц.членами. Если сущ номерNN такой, что при любом n>N имеет место неравенство u_n ≤ v_n, то из сход ряда следует сход ряда , а из расходимости рядаслед расх ряда.

Доказательство. Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость ряда, то без ограничения общности можно считать, что u_n ≤ v_n nN. Тогда S_n=≤=G_n. Если ряд сходится, то послед {G_n}, не убывая, стремится к пределу G. Тогда S_n≤ G_n≤G nNи, следовательно, послед S_n частичных сумм ряда ограничена. В силу критерия сходимости ряда с неотрицательными членами рядтакже сходится.

Второе утверждение теоремы, рассуждая от противного, получается из доказанного.

Следствие1. Пусть u_n≥0, v_n>0, n=1,2,…, и =(1)

Тогда: 1) Если 0<<, то ряды(3)

сходятся и расходятся одновременно;

2) если =0, то из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2);

3) если =, то из расходимости ряда (3) следует расходимость ряда(2)

31. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.

Теорема6. (Пр-к Даламбера) Пусть имеем ряд (1) где u_n>0, n=1,2,...Тогда 1) если ≤q<1, n=1,2,.. (2) то ряд (1) сходится; 2) если ≥1,n=1,2,… (3) то ряд (1) расходится.

Док-во. Пусть имеет место (2). Тогда

u_n+1=u₁***…*≤u₁qⁿ. Поскольку ряд сходится при <1, то в силу признака сравнения ряд (1) сходится. Если выполнено условие (3),

то u_n+1≥u_n≥ u_n-1≥…≥u₁, т.е. для (1) не выполнено необходимое условие сходимости ряда, а значит этот ряд расходится.

Замечание1. Теорема также справедлива, если условия (2), (3) имеют место только для n=m, m+1,…, где m>1.

Следствие 2 (Признак Даламбера в предельной форме). Пусть u_n>0, n=1,2,...и .(4) Тогда

1) если l<1, то ряд (1) сходится;

2)если l>1, то ряд (1) расходится.

Док-во. Из (4) имеем, что

ε>0 NN:n>N→<< (5)

Если l<1, то выбрав ε таким, что =q<1, из (5) имеем < q<1. Откуда в силу признака Даламбера из теоремы и замечания заключаем, что ряд (1) сходится.

Если l>1 то выбрав ε таким, что =q>1. Из (5) имеем, что >1. Последнее означает, что ряд (1) расходится.

Теорема7(Признак Коши): Пусть имеем ряд (1) где u_n≥0, n=1,2,… Тогда 1)если то ряд (1) сходится

2) если ≥1, то ряд (1) расходится.