26. Достаточные условия зависимости функций.

Теорема 15. Пусть все миноры s+ 1 порядка матрицы Якоби (3)системы функций

y_i=f_i(x),x € G, i = 1,m.(1) равны 0 в каждой точке открытого множества G и хотя бы один из миноров порядка s(s<m<= n) не равен 0 в некоторой точке a€G, тогда функции, содержащиеся в этом миноре независимы на множестве G, и существует некоторая окрестность точки a такая, что остальные m—s функций системы (1) зависят на этой окрестности от s указанных функций.

Доказательство. Не нарушая общности рассуждений, можем считать, что неравный нулю в точке aминор s-го порядка расположен в левом верхнем углу матрицы (3). Следовательно(4) в точке a. В силу теоремы о неявной функции и условия (4) из первых уравнений системы (1) найдем x₁=₁()x_s=_s(),где _i, i=1,s непрерывно дифференцируемые функции в некоторой окрестности Uточки (b₁,...,b_s,a_s+1,...,a_n), Ь_i= f_i(a),i= 1, s. Подставим x_i, i= 1, sв последниеm— sуравнений (1). Имеем y_l=F_l(₁,…,_s;x_s+1,…,x_n), l=s+1,m

Поскольку имеет место условие (4), то из следствия 2 следует, что функции y_i= f_i(x), i=1,s независимы на множестве G. Покажем, что остальные m-s функций системы (1) зависят от указанных sфункций в окрестности U. Для этого достаточно убедиться в том, что непрерывно дифференцируемые функции F_l(l>s) не зависят от переменных x_s+1,..., x_n. СледовательноВ итоге (5)=0,k=s+1,n

27. Понятие условного экстремума.

Определение1. Точка aϵE называется точкой условного экстремума функции f относительно уравнений связи

F_i(x)=0, i=1,m (1), если она является точкой локального экстремума функции _E.

Возьмем, что функции f:G→R, F_i: G→R, i=1,m, GʗRⁿ непрерывно дифференцируемы на открытом множестве G, и ранг матрицы ( ),i=1,m, j=1,n, aϵE равен m. Это означает, что функция F_i, i=1,m независимы на множестве G. Для определенности положим, что ≠0 в точке а. Тогда из (1) по теореме о неявной функции найдем

x₁=₁() …x_m=_m(),(2)

где _i, i=1,m непрерывно дифференцируемые функции в некоторой окрестности точки a=(a_m+1,…,a_n). Подставим x₁,..,x_m из (2) в f(), получим

g()= f()

непрерывно дифференцируемые функции в некоторой окрестности точки а. Т.к. условия (1) и (2) равносильны, то имеет место утверждение:

Точка aϵE является точкой условного экстремума функции f относительно уравнений связи (1)тогда и только тогда, когда a является точкой локального экстремума функции .

Это метод – метод исключения части переменных.

28. Метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию

L(x)=f(x)+(1)

Функция L(x)=L(x;⋋) называется функцией Лагранжа, а числа ⋋­₁,…,⋋_m называются множителями Лагранжа. Из

= следует dL(a)=0, которое означает, что если а точка условного экстремума функции f относительно уравнений связи F_i(x)=0, i=1,m , то она является стационарной точкой функции Лагранжа L(x). Таким образом, для нахождения точки а, подозрительной на экстремум, необходимо построить функцию Лагранжа (1) с неопределенными коэффициентами ⋋­₁,…,⋋_m. Из системы

=0, ,=0,j=1,m (2) найти решение (a₁,..,a_n, ⋋­₁,…,⋋_m). Тем самым будет найдена точка (a₁,..,a_n). Если при этом окажется, что система (2) дает возможность непосредственно найти а, не вычисляя ⋋_j, j=1,m , то с точки зрения исходной задачи это и надо делать.