1.Несобственные интегралы и их свойства.

Опр.: Пусть ф-ция определена на промежуткеи интегрируема на любом отрезке содержащемся в этом промежутке. Величина, если указанный предел существует, называется несобственным интегралом Римана от ф-циипо промежутку(НИ-1)

Опр.: Пусть ф-ция определена на промежуткеи интегрируема на любом отрезке. Величина, если указанный предел существует, называется несобственным интегралом от ф-циипо промежутку(НИ-2)

Теорема 1: Пусть ифункции определенные на промежутке, интегрируемы на любом отрезке, и для них определены несобственные интегралы.

Тогда 1) Если и, то значения интегралапонимаемого как в несобственном, так и в собственном смысле, совпадают.

2)При любых функцияинтегрируема в несобственном смысле наи справедливо равенство

3) Если , то

_{4) Если} - гладкое, строго монотонное отображение, причем ипри, то несобств. интеграл от функциисуществует и справедливо равенство_{Док-во: 1) Следует из непрер. Функции Ф(b)= ∫ab f(x)dx на отрезке [a;ω].}

_{2) следует из того, что при b ϵ [a; w)}

_{3) Следует из равенства}

Справедливого при любых b,c ϵ [a; w).

₄₎ Следует из формулы

_{замены переменной в определенном интеграле.}

Теорема 2. Если f,g €C¹[a; w) и существует предел lim(f(x)•g(x))(x→w), то функции f•g' и f'•g одновременно интегрируемы или не интегрируемы в несобственном смысле на [a; w) и в случае интегрируемости справедливо равенство

^{= f (x)•g(x)|wa-,}где f(x) • g(x)|^w_a = lim f (x)•g(x) - f(a)•g(a) (x→w).

2. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.

Сходимость несобственного интеграла равносильна существованию предела функции

при

Теорема: Если функция определена на промежуткеи интегрируема на любом отрезке, то интегралсходится тогда и только тогда, когда для любогоможно указатьтак, что при любыхтаких, что, имеет место соотношение

_{Доказательство}: Поскольку , то выписанное условие есть критерий Коши существования предела функциипри

3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Признак сравнения сходимости ни.

Опр.: Несобственный интеграл (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл(2). Функции, для которых интегралабсолютно сходится, называются абсолютно интегрируемыми на промежутке с концами

Теорема: Абсолютно сходящийся несобственный интеграл является сходящимся.

Доказательство. Ввиду того, что задан несобственный интеграл (1), сужение функцииинтегрируемо по Риману на любом отрезке. Отсюда по св-ву модуля определенного интеграла устанавливаем, что. Несобственный интегралсходится. Тогда по критерию Коши сходимости несобственного интеграла

Из приведенных выше соотношений по критерию Коши следует, что несобственный интеграл сходится.

Следствие 1: Если НИ (1) расходится, то расх и НИ (2).

Опр: Если НИ (1) сходится, а НИ (2) расх, то НИ (1) называется условно сходящимся.

Теорема 5. Если функция f(x) определена на [a;w), интегрируема на каждом отрезке [a;b] €[a;w)иf(x)>=0 на [a;w), то несобственный интеграл (1) сходится тогда и только тогда, когда функция ограничена[a;w).

Доказательство. Действительно, если f(x)>= 0на [a;w),то функция неубывающая на[a;w)и потому она имеет предел при b→w,b€[a;w)если и только если она ограничена. □

Теорема 6 (признак сравнения). Пусть функции f(x),g(x) определены на промежутке [a;w), неотрицательны и интегрируемы на любом отрезке [a;b] €[a;w). Если функция f(x) ограничена по сравнению с функцией g(x) при x→w, то:

а) из сходимости интеграла следует сходимость интеграла;

б) из расходимости интеграла следует расходимость интеграла.

Док-во: То, что f(x)=O(g(x)) при x→w, означает наличие некоторого числа ῆ ϵ [a;w), при котором справедливо соотношение f(x)≤L g(x), A xϵ [ῆ; w), где L – нек. пол.пост.

Определенные интегралы F(b)=и G(x)=

где bϵ[ῆ;w) на основании свойств интегрирования неравенств и линейности, а также оценки f(x)≤L g(x), A xϵ [ῆ; w) связаны соотношением f(b)≤L g(b), A bϵ [ῆ; w).

а) Пусть интеграл сходится. А значит и сходится интеграл . Сужение функцииg(x) на промежуток

[ῆ; w) знакоположительно на нем, и по теореме 5 функция G(b) ограничена сверху на [ῆ; w). Учитывая, что L - вещ. полож. число, из неравенства f(b)≤L g(b), A bϵ [ῆ; w) следует ограниченность на [ῆ; w) знакоположительной функции F(b). Следовательно (на осн.теоремы5) несобственный интеграл сходится. Поскольку

= +,

а интеграл определенный, заключаем, чтосходится.

б) Пусть несобственный интеграл расходится. Допустим противное, что интеграл сходится. Однако, если интегралсходится, то по доказанному выше несобственный интегралявляется сходящимся. Получили противоречие.