III. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

y=kx+b,

где k — угловой коэффициент прямой, т. е. тангенс того угла, который прямая образует с положительным направлением оси Ох, причем этот угол отсчитывается от оси Ох к прямой против часовой стрелки, — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. При b= 0 уравнение имеет вид у = kx, и соответствующая ему прямая проходит через начало координат. Этим уравнением может быть определена любая прямая на плоскости, не перпендикулярная оси Ох.

Общее уравнение прямой

Ax + By + С = 0.

Частные случаи общего уравнения прямой:

а) Если С = 0, уравнение будет иметь вид Ax + By = 0, и прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат, так как координаты начала координат х= 0, у = 0 удовлетворяют этому уравнению.

б) Если в общем уравнении C =0, то уравнение при­мет вид

Ах + С = 0, или х = .

Уравнение не содержит переменной у, а определяемая этим урав­нением прямая параллельна оси Оу.

в) Если в общем уравнении прямой (3,2) А = 0, то это урав­нение примет вид

By + С = 0, или у = ;

уравнение не содержит переменной х, а определяемая им прямая параллельна оси Ох.

г) При С == 0 и А = 0 уравнение принимает вид By = О, или у = 0.

Это уравнение оси Ох.

д) При С = 0 и В = 0 уравнение запишется в виде Ах == 0 или х = 0.

Это уравнение оси Оу

Уравнение прямой в отрезках на осях

где а — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Ох;

b — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу.

Нормальное уравнение прямой

x cosφ. + y sinφ—р = 0.

Здесь р—длина перпендикуляра, опущенного из начала коор­динат на прямую, измеренная в ед. масштаба, φ — угол, ко­торый этот перпендикуляр образует с положительным направ­лением оси Ох. Отсчитывается этот угол от оси Ох против часо­вой стрелки. Для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду обе его части надо умножить на нормиру­ющий множитель.

причем перед дробью следует выбрать знак, противоположный знаку свободного члена С в общем уравнении прямой.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x₁,y₁) в данном направлении, определяемом угловым коэф­фициентом k,

y—y₁=k(x—x₁).

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку А (x₁,y₁), которая называется центром пучка.

Уравнение прямой, проходящей через две точки: А (x₁,y₁) и В (x₂,y₂), записывается так:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

Углом между прямыми а и b называется угол, на который надо повернуть первую прямую а вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой b.

Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффи­циентом

у = k₁x + b₁,

y=k₂x +b₂,

то угол между ними определится по формуле .

Следует обратить внимание на то, что в числителе дроби из углового коэффициента второй прямой вычитается угловой коэф­фициент первой прямой.

Если уравнения прямых заданы в общем виде

А₁х+В₁у+С₁=0,

А₂ x+В₁y+Сз=О,

угол между ними определяется по формуле .

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэф­фициентом, то необходимое и достаточное условие их параллель­ности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угло­вым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их пер­пендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратно пропорциональны

Это условие может быть записано также в виде k₁k₂ = -1

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде, то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ =0

Координаты точки пересечения двух прямых находят, решая систему уравнений

А₁х+В₁у+С₁=0,

А₂ x+В₁y+Сз=О.

Прямые пересекаются только в том случае, когда A₁A₂ -- B₁B₂  0

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (—1, 2) и (2, 1).

Решение:

По уравнению , полагая в нем х₁ = - 1, y₂ = 2, x₂ = 2, y₂ =1, получим после упрощений получаем окончательно искомое уравнение в виде x + 3y – 5 = 0

Пример. Стороны треугольника заданы уравнениями:

(AB) 2х+4у+ 1=0,

(AC) х- у+ 2=0,

(ВС) Зх+4у—12=0.Найти координаты вершин треугольника.

Решение:

Координаты вершины А найдем, решая систему, составленную из уравнений сторон АВ и АС:

Решая систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, полу­чаем .Значит, вершина А имеет координаты А=.

Координаты вершины В найдем, решая систему сторон АВ и ВС

Получаем , что вершина В имеет координаты В=

Координаты вершины С найдем, решая систему сторон АС и ВС.

Получаем , что вершина С имеет координаты С=

Расстояние точки А (х₁, у₁) до прямой Ax + By + С = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

Правило. Чтобы определить расстояние от точки А (х₁, у₁) до прямой Ax + By + С = 0 , нужно привести уравнение прямой к нормальному виду, взять левую часть полученного уравнения и подставить в нее вместо текущих координат координаты данной точки. Абсолютная величина полученного числа и даст искомое расстояние.

Пример. Найти расстояние от начала координат до прямой х + у—2=0 .

Решение: