Второе достаточное условие существования экстремума

Если в точке х = х0 первая производная функции f (х) = 0, то при х = х0 имеет место максимум, если < 0, и, минимум, если> 0. Если же= 0, то для заключения об экстремуме в этой точке требуется дальней­шее исследование.

Пример. Найти экстремумы функции .

Решение. Область определения:

Значит, функция в точке х = 1 имеет максимум уmax (1) =1/е.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то на этом отрезке всегда имеются точки, в которых она принимает наи­большее и наименьшее значения. Этих значений функция дости­гает или в критических точках, или на концах отрезка [а, Ь]. Поэтому, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, надо:

определить кри­тическое точка функции;

вычислить значения функ­ции в критических точках и на концах отрезка [а, Ь];

наибольшее из значений, найденных в п. 2, будет наибольшим, а наименьшее - наименьшим значением функции на отрезке [а, Ь].

Точки перегиба.

Говорят, что на интервале (а, Ь) кривая обращена выпуклостью вниз, если она лежит выше касательной, проведенной в любой ее точке.

Говорят, что на интервале (а, Ь) кривая обращена выпуклостью вверх, если она лежит ниже касательной, проведенной в любой ее точке.

Дуги кривой, обращенные выпуклостью вверх, в дальнейшем будем называть выпуклыми, а обращенные выпуклостью вниз,— вогнутыми.

Дуга кривой у = f (х) выпукла на интервале (а, Ь), если во всех точках этого интервала (х) < 0, и вогнута на этом ин­тервале, если во всех его точках(х) > 0.

Интервалы, в которых дуги кривой выпуклы, опре­деляются из неравенства (х) < 0, а интервалы, в которых дуги этой кривой вогнуты, - из неравенства(х) > 0.

Точка кривой, отделяющая ее выпуклую дугу от вогнутой, называется точкой перегиба.

Точки, кривой, в которых (х) = 0 или(х) =, а также те из них, в которых(х) не существует, называются критическими точками второго рода. Точки перегиба следует искать среди критических точек вто­рого рода.

В критической точке второго рода х = х0 перегиб будет только в том случае, когда при переходе через эту точку (х) меняет знак.

Для определения точек перегиба кривой надо опре­делить все критические точки второго рода и рассмотреть знаки (х) в каждых двух соседних интервалах, на которые эти точки делят область существования функции. В случае, если знаки(х) в двух соседних интервалах различны, критическая точка второго рода является точкой перегиба. Если же в двух соседних интервалах(х) имеет один и тот же знак, то в рассматри­ваемой критической точке второго рода перегиба нет. В точке перегиба кривая пересекает касательную.

Пример. Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции

у = 5х2 + 20х + 9.

Решение. Область существования функции — интервал );

. и так как у" > 0 при любом значении х, то кривая вогнута на всем интервале ). Точек перегиба нет.

Пример. Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции

Решение. Область существования функции - интервал ).

Найдем у": .

При любом х вторая производная конечна и существует. Критическую точку второго рода найдем из уравнения у" = 0, т.е. из уравнения Интервал существования функции она разделяет на два:. При любом х из первого интервала у" < 0, а при любом х из второго интервала у" > 0, значит- точка перегиба, а так как на первом интервале у" < 0, то дуга кривой на нем – выпукла, а во втором у" < 0, и дуга кривой вогнута. Координаты точек перегиба (4,-125).