
- •Вопросы к зачету для заочного отделения по курсу
- •II. Векторная алгебра.
- •III. Аналитическая геометрия.
- •IV. Математический анализ
- •I. Линейная алгебра Матрицы Прямоугольная таблица чисел
- •Пример. Даны матрицы а и в. ;. Найти произведение матриц ав.
- •Определители.
- •Методы решения систем линейных уравнений.
- •Обратная матрица.
- •Решение систем уравнений матричным методом.
- •Ранг матрицы.
- •Окаймляем его слева и снизу
- •Окаймляем d3 ( это только можно сделать двумя способами)
- •Прямоугольные системы уравнений.
- •Собственные векторы и собственные значения матрицы.
- •II. Векторная алгебра.
- •Единичным вектором, или ортом данного вектора, называется вектор, совпадающий по направлению с данным вектором и имеющий модуль, равный единице. Прямоугольные координаты
- •III. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости
- •Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
- •Если уравнения прямых заданы в общем виде
- •Приведем уравнение прямой к нормальному виду. Нормирующий множитель
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •Уравнение плоскости в нормальном виде
- •Уравнение плоскости в отрезках на осях
- •Угол между двумя плоскостями
- •Острый угол между прямой иплоскостью
- •Кривые второго порядка.
- •Простейшее уравнение гиперболы
- •Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями
- •Простейшее уравнение параболы
- •IV. Математический анализ Функция одной переменной
- •Предел функции.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывность функции
- •Дифференциальное исчисление. Производная. Техника дифференцирования. Обозначение
- •Производная сложной функции
- •Параметрически заданные функции и их дифференцирование
- •Правило Лопиталя
- •Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •Признаки возрастания и убывания функций
- •Максимум и минимум функции
- •Первое достаточное условие существования экстремума функции
- •Второе достаточное условие существования экстремума
- •Асимптоты.
- •Общее исследование функции
Производная сложной функции
Если
у = f(u) и u = u(x), то есть
- сложная функция , причем функции у =
f(u) и u = u(x) дифференцируемые, то
.
Аргумент u часто называют промежуточной
переменной. Это правило выполняется
для сложной функции, которая имеет
конечное число промежуточных аргументов.
Если, например, у = f(u) и u = u(v), v=v(x), то
,
если f(u) , u(v) и v(x) - дифференцируемые.
Формулы дифференцирования основных функций
1.8.
2.,
9.
,
3.10.
4.11.
5.
6.12.
7.13.
Примеры. Найти производные функций:
1. у = х4 – 2х3 + 3х + 1
Решение.
Используя правила и формулы
дифференцирования, получаем:
(х4
– 2х3 + 3х + 1)' =
=
.
2.
Решение.
Поскольку
,
то
=
.
3.
Решение.
Имеем произведение функций, поэтому
4.
Решение. Данная функций является сложной: у = f(u) , u = u(x), где u = х2 + 2х..
Дифференцирование неявно заданных функций
Равенство
обозначает у как неявную и дифференцированную
функцию от х. Продифференцировав по х
обе части равенства, получим линейное,
относительно
равенство, из которого получим значение
.
Пример.
Найти
,
если у > -5:
(1)
Решение.
Поскольку у функция от х, то у2 – сложная
функция и
.
Продифференцируем обе части равенства
по х:
(2)
Подставляя в равенство (1) х = 0, получим
откуда
Поскольку
у > -5, то
.
Используя (2), имеем
.
Логарифмическое дифференцирование
Логарифмической производной функции у = f(x) называется производная от логарифма этой функции:
В
некоторых случаях предварительное
логарифмирование значительно упрощает
дифференцирование функции, а для функции
вида
есть
единственно возможным способом
дифференцирования.
Примеры:
Найти
производную функции
.
Решение: Логарифмируя обе части равенства получаем
,
откуда
.
Поэтому,
=
=
Найти
производную показательно-степенной
функции
.
Решение:
Имеем
=
=
Производные высших порядков.
Производную
или
называют производной первого порядка
функции f(x). Производная
называется
производной второго порядка и обозначается
одним из символов:
.
В общем виде производную n –го порядка
(или n-ой производной) называется
производная от производной порядка (n
– 1), то есть
.
Обозначения, например:
.
Пример. Найти производную n –го порядка функции у = cos x.
Решение. Последовательно дифференцируя, получим:
у
= cos x = сos(x+0)
x
= cos(x+1
)
x
= cos(x+2
)
x
= cos(x+3
)
……………………………….
cos(x+n
),
n=
Параметрически заданные функции и их дифференцирование
Первую производную функции, заданной параметрически
находим
по формуле
.
Вторую
производную удобно вычислять по формуле:
.
Пример.
Найти производную второго порядка
функции
Решение.
Согласно формуле:
Далее,
.
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя дает возможность раскрыть некоторые виды неопределенности, используя производную. Оно основывается на данной ниже теореме.
Теорема.
Пусть функции
и
определенные
и дифференцируемые в окружности точки
,
за исключением, возможно, самой точки
а, и пусть
в
этой окружности. Если функции
и
являются
одновременно бесконечно малыми или
бесконечно большими при
и
к тому же существует отношение производных
,
то существует также предел
,
причем эти пределы равны между собой:
=
.
Теорема
справедлива и в том случае, когда
.
Если производные
и
,
n > 2, удовлетворяют тем же самым условиям,
что и функции
и
,
то
=
.
Теорема
дает возможность раскрыть неопределенность
типа
,
которые будем называть основными. Чтобы
раскрыть неопределенности типа 0,
необходимо вначале привести их к основным
и применить правило Лопиталя.
Пример.
1.
2.
=
3.
4.
5.
Откуда,
.
6.
,
действительно,
.
Напомним,
что во многих случаях пользуемся
равенством
.