Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ивано-Франковский национальный технический университет нефти и газа

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",

.pdf

Скачиваний:

1383

Добавлен:

17.02.2016

Размер:

2.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4620 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

191

9.29.	z = xy + x + y ,	D : x =1 , x = 2 , y = 2 , y = 3 .
9.30.	z = 0,5x2 − xy ,	D : y = 8 , y = 2x2 .

192

8 Диференціальні рівняння

Теоретичні питання

1.Основні поняття теорії диференціальних рівнянь першого порядку. Задача Коші. Теорема існування і єдиності розв’язку задачі Коші. Загальний і частинний розв’язок, загальний і частинний інтеграл.

2.Інтегровні типи диференціальних рівнянь першого порядку: рівняння з відокремлюваними змінними, однорідні рівняння

ізвідні до них, лінійні рівняння, рівняння Бернуллі, рівняння в повних диференціалах, інтегрувальний множник.

3.Основні поняття теорії диференціальних рівнянь вищих порядків. Задача Коші. Теорема існування і єдиності розв’язку задачі Коші. Загальний і частинний розв’язок, загальний і частинний інтеграл.

4.Рівняння виду y(n) = f (x). Рівняння, що допускають пониження порядку.

5.Основні поняття теорії лінійних диференціальних рівнянь вищих порядків. Лінійно залежні і незалежні системи функцій. Вронськіан.

6.Лінійні однорідні диференціальні рівняння вищих порядків. Фундаментальна система розв’язків, структура загального розв’язку.

7.Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння вищих порядків. Структура загального розв’язку. Метод варіації довільних сталих.

8.Лінійні однорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами.

9.Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами з правою частиною спеціального виду.

10.Нормальна система диференціальних рівнянь. Метод виключення.

11.Система лінійних однорідних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Розв’язування за допомогою характеристичного рівняння.

193

Розрахункові завдання

Задача 1. Розв’язати диференціальні рівняння. В пункті г) серед усіх інтегральних кривих виділити ту, яка проходить через задану точку М(x0,y0). Рівняння пункту є) розв’язати методом інтегрувального множника.

1.1.а) xy' = y ln y ;

б) ( y − x)dx + ( y + x)dy = 0 ;

в) (2x − 4 y + 6)dx + (x + y −5)dy = 0 ;

г) y'+y cos x = sin x cos x, M (0;2) ;

д) y'+xy = x3 y3 ;

е) (3y2 + 2xy + 2x)dx + (6xy + x2 + 3)dy = 0 ;

є) (2 y + xy3 )dx + (x + y2 x2 )dy = 0 .

1.2.а) y' = xy ++11 ;

б) (x + y)dx + xdy = 0 ;

в) (6x + y −1)dx + (4x + y − 2)dy = 0 ;

г) y'+xy = x3 , M (0;−2) ;

д) y'−xy = 3xy2 ;

е) (x + y −1)dx + (x + e y )dy = 0 ;

є) (xy2 + y)dx − xdy = 0 . 1.3. а) y' = ex+y ;

б) (x + y)dx + ( y − x)dy = 0 ;

в) (12x −5 y −3)dx − (2x − y −1)dy = 0 ;

194

г)

y'+

= 2ln x +1,

M (1;3) ;

д)

y − y'cos x = y2 cos x(1 −sin x) ;

е) (2xy2 −3y)dx + (2x2 y −3x +1)dy = 0 ;

є) (x − 4 y −

2 y

)dx + (

− 4 y − 2x)dy = 0 .

1.4.

а)

2x(1 + y2 )dx + y(1 + x2 )dy = 0 ;

б)

xdy − ydx =

+ y 2 dx ;

в)

(−12x +11y +10)dx + (−10x + y −8)dy = 0 ;

г)

y'−

2 y

= ex (x +1)2 ,

M (0;3) ;

x +1

д) y'+

2 y

= y

ln x

;

е)

sin x sin ydx − (cos x cos y + 2 y)dy = 0 ;

є) xy2 dx + (x2 y − x)dy = 0 .

1.5.

а)

ye2 xdx +(1+e2 x )dy = 0

;

б)

xy − y)dx + xdy = 0 ;

в) (3x − 7 y +1)dx + (3x + y − 7)dy = 0 ;

г)

y'+

2xy

= ex ,

M (0;2) ;

x2 +1

д) y'+4xy = 2xe−x 2

y ;

е) (ex sin y + x)dx + (ex cos y + y)dy = 0 ;

є) (6 y + x +

)dy

+ (

3y2

+ 2 y + 2)dx = 0 .

195

1.6.

а)

x 1 + y 2 dx + y(1 + x2 )dy = 0 ;

б) (x − y)dx + xdy = 0 ;

в) (3x − y +1)dx + (5x + y −9)dy = 0 ;

г)

y'+ytgx =

2sin x

M (0;−3) ;

cos2 x

д)

y'−yctgx =

;

sin x

е) (x3 − 2xy − 2 y2 )dx + ( y3 − 4xy − x2 )dy = 0 ;

e y

cos y

+ e

) y

′

= 0 .

є)

(

1.7.

а)

xy −(x2 +1) y' = 0 ;

б) xy2 dy = (x3 + y3 )dx ;

в)

(5x +13 y −8)dx − (7x − y +8)dy = 0 ;

г)

y'+2xy = xe−x2 sin x, M (0;3) ;

д)

y'−

2xy2

;

− x2

1 − x2

е) 3ydx + (3x + ln y)dy = 0 ;

є) (2xy −3 +

) y' = 3

− 2 y 2 .

1.8.а) y sin xdx + (2 + cos x)dy = 0 ;

б) y' = xy + xy ;

в) (6x − 6 y − 6)dx + (x + y −5)dy = 0 ;

г) y'+ytgx = cos3 x, M (0;5) ;

196

д)

y'+

= x

y ;

1 − x2

е)

(xy + sin y)dx + (

x2 + x cos y + 2)dy = 0 ;

e y

y2 + y

є) (2 y +1 +

) y′+ x +

= 0 .

1.9. а)

y2 ex dx − (ex + 2)dy = 0 ;

б)

y' =

+ sin

;

в)

(6x +13 y −1)dx = (12x + y + 23)dy ;

г)

y'+ytgx = xcos2 x, M (0;1)

;

д)

y'+

2 y

;

cos2 x

е) (3x2 − 2 y)dx + ( y − 2x)dy = 0 ;

є) (1 +

e y

)dy + (1 +

−

)dx = 0 .

1.10. а) (1 + tgx) cos2 xy' = y ;

б)

xdy − ydx = ydy ;

в)

(6x − 4 y + 6)dx + (11x + y −14)dy = 0 ;

г)

y'+

1 − 2x

y =1,

M (1;1) ;

д)

y'−ytgx =

;

cos x

е) (x2 + y2 + y)dx + (2xy + x + e y )dy = 0 ;

197

є) (2x2 −3 xy + 1y ) y' = 3 − 2xy .

1.11.а) 2x2 ydy = (3 + y2 )dx ;

б) x2 dy + y2 dx = xydx ;

в) (x + y − 2)dx = (3x − y − 2)dy ;

г)

y'−

2 y

= (x +1)3 ,

M (0;2) ;

x +1

д) y'+

= y 2

ln x ;

е) (x2 − 4xy − 2 y2 )dx + ( y2 − 4xy − 2x2 )dy = 0 ;

e y

)dx = 0 .

є) (2 y +1 +

)dy + (x +

1.12. а)

y'tgx = ln ln y ;

б)

(x − y cos

)dx + x cos

= 0 ;

в) (x + 5 y + 3)dx = (5x + y −9)dy ;

г)

y'−2

x +1

, M (0;3) ;

д) y'+

= y 4

(1 − x2 ) ;

е) 2(3xy2 + 2x3 )dx +3(2x2 y + y2 )dy = 0 ;

є) (x − 4 y −

2 y2

)dx + (

− 4 y − 2x)dy = 0 .

1.13. а)

(x2 − yx2 )

+ y 2

+ xy2

= 0 ;

198

б) (x2 + y2 )dx + x(x + 2 y)dy = 0 ;

в) (3y − 7x + 7)dx − (3x − 7 y −3)dy = 0 ;

г) y'+ytgx = sec x, M (0;1) ;

д)	y'−ytgx = −y2 cos x ;
		1		x	x		x
е)	(1 +		e y )dx + (1 −			e y		)dy = 0	;
					y2
		y
є) (3x2 + 6xy + 3y2 )dx + (2x2 +3xy)dy = 0 .
1.14. а) ( y − 2)dx + x2 dy = 0 ;

б) xy' = 2 3x2 + y 2 + y ;

в) (x + 7 y −8)dx = (9x − y −8)dy ;

г)

y'+y cos x =

sin 2x,

M (0;−1) ;

д) y'+

= −

(x +1)3

y3 ;

е) (5xy2 − x3 )dx + (5x2 y − y)dy = 0 ;

є) 3xe y dx + (x2 e y −

)dy = 0 .

1.15. а)

1 + y2

;

1 + x2

б) (1 −

dx + (1 + e

)dy = 0 ;

в)

(10x + 4 y + 26)dx + (x −5 y +8)dy = 0 ;

г)

y'−

y = ex x5 , M (1;3) ;

199

д) y'+xy =

(x −1)ex y2 ;

е) ( y3 + cos x)dx + (3xy2 + e y )dy = 0 ;

x + y2

є)

= dx .

1.16. а)

dy + ytgxdx = 0 ;

б)

xdy = ( y +

y 2 − 4x2 )dx ;

в) (2x − y +1)dx + (2 y − x −1)dy = 0 ;

г)

y'+

y =

M (1;

)

;

д) y'−x = −y3e−x2 ;

е) (2x −1 −

)dx − (2 y −

)dy = 0 ;

є)

dx − (xy +1)dy = 0 .

1.17. а)

ydx − (x2

−1)dy = 0 ;

б) (2 y −3x) y'+4x −3y = 0 ;

в)

(18x − 7 y + 3)dx = (8x −3y +1)dy ;

г)

y'−

y = 3x2 ,

M (1;3)

;

д) y'−

4xy

= 8x y ;

x2 −1

е) (3x2 + 4 y2 )dx + (8xy + e y )dy = 0 ;

є)

e y

dx + (e y +

cos y

)dy = 0 .

200

1.18. а)

3extgydx + (1 − ex ) sin 2

ydy = 0 ;

б) ( y2 − 2xy)dx + x2 dy = 0 ;

в)

(12x −5 y −9)dx = (7x −3y −5)dy ;

г)

y'+

y =

, M (1;e) ;

д) y'+

= −xy2 ;

е) (3x2 y + 2 y + 3)dx + (x3 + 2x +3y2 )dy = 0 ;

є)

(3x2 + 2 +

)dx + (

+ 2

+3y)dy = 0 .

1.19. а)

(x − y2 x)dx + ( y − x2 y)dy = 0 ;

б) xy'−y = (x + y) ln

x + y

;

в) (6x −3y)dx = (5x − 2 y + 2)dy ;

г)

y'+y = e−x ,

M (0;0) ;

д) y'+4x3 y = 4(x3 +1)e−4 x y2 ;

е) (3x3 + 6x2 y +3xy2 )dx + (2x3 +3x2 y +3y3 )dy = 0 ;

є) (5xy −

)dy + (5 y2

− x2 )dx = 0 .

1.20. а) (1 + y2 )xdx + (1 + x2 )dy = 0 ;

б) 2x3 y' = y(2x2 − y2 ) ;

в) (4x + 2 y + 2)dx = ( y −3)dy ;

г) y'+2xy = xe−x2 , M (0;2) ;

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4620 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.07.2019179.2 Кб8ГПЗ_Технологічний процес.doc
#
17.02.20162.3 Mб38граві-магніто розв.посібник.doc
#
01.05.2025609.28 Кб0Графи.doc
#
01.04.202549.84 Кб0Гроші та кредит.docx
#
14.11.20181.07 Mб25грунтознавство (Дутчин М.М.) 310111.doc
#
17.02.20162.45 Mб1383Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",.pdf
#
01.05.202543.89 Кб0дієслово.docx
#
07.12.20181.13 Mб3дільниця (1).doc
#
13.11.2019445.95 Кб38движок_60.doc
#
12.08.2019166.4 Кб1Дейдей.doc
#
12.11.2019103.94 Кб1Декларація про валютні цінності, доходи та майн...doc