Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
183 |
|
в) |
z = sin (x − y), |
|
де |
x = u2 −v , |
y = u −v2 . |
|||||||||||||||||||
5.24. |
а) |
z = yx , |
|
де |
x = sin t , |
y = ln t ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
б) |
z = x2 + xy , |
|
|
|
де |
y = sin2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
в) |
z = xy , |
|
|
|
де |
|
|
x = eu cos v , |
y = eu sin v . |
|||||||||||||||
5.25. |
а) |
z = arctg |
|
y |
|
, |
|
|
|
де |
x = e2t +1 , |
y = e2t |
−1; |
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
б) |
z = x2 + xy + y2 , |
де |
y = cos2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
в) |
z = x2 ln y , |
|
де x = 3u −2 v , |
y = |
v |
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
z = tg (3t + 2x2 − y), |
|
|
|
1 , |
|
u |
|
||||||||||||||||
5.26. |
а) |
|
де |
x = |
y = |
t ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
z = arccos |
|
|
|
|
, |
де |
y = |
1 − x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де x = eu+v , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
в) z = x2 + y2 , |
|
|
|
y = u v . |
||||||||||||||||||||
5.27. |
а) |
z = |
y |
|
, |
|
|
|
|
де |
|
|
x = et |
, |
y = ln t ; |
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
(x2 − y2 +1), |
|
де y = e−x2 ; |
|
|||||||||||||||||||
|
б) z = ln |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
в) z = ln (x2 + y2 ), |
|
де |
x = u , |
y = u v . |
||||||||||||||||||||
|
|
z = e2 x−y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.28. |
а) |
|
|
|
де |
x = sin t , |
y = t2 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
б) z = ln (ex +ey ), |
|
де y = x3 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
в) |
z = xy2 − x2 y , |
|
|
|
де |
x = u sin v , |
y = v cos u . |
|||||||||||||||||
5.29. |
а) |
z = x + xy + y , |
|
|
|
де |
|
x = sin t , |
y = et ; |
|
|||||||||||||||
|
б) |
z = xy2 , |
|
|
|
де |
|
y = sin 2x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
в) |
z = y2 ln x , |
|
|
|
де x = u2 +v2 , |
y = |
v |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
184 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.30. |
а) |
z = arccos (x − y), |
де |
x = 4t3 , |
y = 3t ; |
||||||||||
|
б) |
z = arcsin |
|
y |
|
, |
де y = |
1 − x2 ; |
|
|
|
||||
|
x |
+1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
в) z = x3 y3 , |
|
|
де x = u2 +v2 , |
|
y = u2 −v2 . |
|||||||||
Задача 6. В пункті а) знайти похідну |
dy |
функції, заданої |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
∂z |
, ∂z функції, |
|||
неявно; |
в пункті б) знайти частинні похідні |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|||
заданої неявно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.1. |
а) |
|
arctg x − ln |
|
x2 + y 2 |
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
x2 + 2 y2 + z3 −3xyz − 2 y +3 = 0 . |
|
|
|
|
||||||||
6.2. |
а) |
|
x3 + y3 −3x2 y2 = 0 ; |
б) |
z3 −4xz + y2 −4 = 0 . |
||||||||||
6.3. |
а) |
x2 y2 −ln y −1 = 0 ; |
б) |
z ln (x + z ) |
= xy . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
6.4. |
а) |
x3 y −e3xy = 0 ; |
|
|
б) z ln (x + z)= |
|
x2 y |
. |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
6.5.а) (x2 + y2 )2 −2(x2 − y2 )= 0 ;
б) x3 + 2 y3 + z3 −3xyz −2 y = 0 .
6.6.а) x2e2 y − y2e2 x = 0 ;
б) 3x2 −2 y2 + z2 + 4xz + 2z −5 = 0 .
6.7. |
а) |
y sin x −cos (x −2 y)= 0 ; |
б) x2 + y2 + z2 = ez . |
||
6.8. |
а) |
x2 |
+ y2 = ex−2 y ; |
б) |
x2 z −arctg (xz )= 0 . |
6.9. |
а) x2 |
− y + arctg y = 0 ; |
|
б) z3 +5xyz2 = 4 . |
|
6.10. |
а) 1 + xy = (exy + e−xy ); |
|
б) ez − xyz2 = z . |
185
6.11.а) x2 + 2xy2 + x4 = 0 ;
б) x2 −2 y2 + z2 −4x + 2z +10 = 0 .
6.12. |
а) |
x3 + y3 −3xy = 0 ; |
|
б) z3 |
+3xyz = 8 . |
||
6.13. |
а) |
xy −ln y = 0 ; |
|
б) yz = arctg (xz). |
|||
|
|
x2 y = ey ; |
|
|
z |
|
|
6.14. |
а) |
б) |
xz −e |
y |
+ x3 |
+ y3 = 0 . |
6.15.а) x3e2 y − y3e2 x = 0 ;
б) x2 −2 y2 + z2 −4x + 2z −3 = 0 .
6.16.а) x2 + 2xy + y2 −4x + 2 y − 2 = 0 ; б) x + y + z2 = ez .
6.17. |
а) |
x3 y − xy3 =10 ; |
|
б) |
x2 |
|
+ |
y2 |
− |
z2 |
=1 . |
|||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
xey + yex −exy |
|
16 |
|
9 |
4 |
|
||||||
6.18. |
а) |
= 0 ; |
б) |
z3 −4xz + y2 = 4 . |
||||||||||
6.19. |
а) |
xy2 −ln y =1 ; |
б) |
y cos x −sin (y − z )+ y2 = 0 . |
||||||||||
6.20. |
а) |
x2 + y2 +ln (x2 + y2 )= 0 ; |
б) |
ez − x2 yz = 0 . |
||||||||||
6.21. |
а) |
y |
+sin |
y |
= a , ( a = const ); |
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) |
x2 + y2 − z2 = xyz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.22. |
а) |
x3 + 2 y3 −2xy |
2xy +1 = 0 ; |
б) |
x2 y2 −ln z = z2 . |
6.23.а) ln (x2 + y2 )−2arctg y = 0 ;
x
|
б) x3 + y3 + z3 = ln xy . |
|
|
6.24. |
а) |
x2 + y2 −ex2 +y2 = 0 ; |
б) x2 + y2 + z2 = 4 . |
6.25. |
а) |
(x2 + y2 −2x)2 = 2(x2 + y2 ); |
186
б) |
1 |
+ |
1 |
− |
1 |
+ z = 0 . |
|
y2 |
|
||||
|
x2 |
|
z2 |
|||
6.26. а) |
x2 −3xy + |
4 y2 −2x +3y +3 = 0 ; |
||||
б) x3 −3xy3 − z3 = xz2 . |
||||||
6.27. а) |
x3 + y3 −3axy = 0 , ( a = const ); |
б) x2 + xy + y2 − z2 + xz = 0 .
6.28.а) sin x ln y +cos y ln x = 0 ;
б) z2 ln (x − y)− x2 yz = 0 .
6.29.а) x sin y −cos y +cos 2 y = 0 ;
б) ln (x + y)− x2 yz3 = 0 .
6.30.а) y sin x +cos (x − y)= 0 ;
б) x2 z −arcsin (yz)= 0 .
Задача 7. Дослідити на екстремум функцію z = f (x, y).
7.1.z = 3x2 − x3 +3y2 + 4 y .
7.2.z = x3 +3xy2 −15x −12 y .
7.3.z = 2x3 − xy2 +5x2 + y2 .
7.4.z = x3 + y3 − x2 −2xy − y2 .
7.5.z = x3 −2x2 y2 + y4 .
7.6.z = x3 −2 y3 −3x + 6 y .
7.7.z = x2 −2xy + 2 y2 + 2x .
7.8.z = x2 − xy + y2 .
7.9.z = x2 − xy − y2 .
7.10.z = 2x3 + 2 y3 −6xy +5 .
7.11.z = 6(x − y)−3x2 −3y2 .
7.12.z = x2 + xy + y2 −6x −9 y .
187
7.13.z = 3x3 +3y3 −9xy +10 .
7.14.z = xy (6 − x − y).
7.15.z = x2 + y2 − xy + x + y .
7.16.z = 6x − x2 − xy − y2 −3x −6 y .
7.17.z = x2 + xy + y2 −3x −6 y .
7.18.z = xy2 (1− x − y).
7.19.z = x3 + y2 −6xy −39x +18 y + 20 .
7.20. z = x2 + y2 −2 ln x −18ln y ,
7.21.z = x2 + y2 + xy − 4x −5 y .
7.22.z = y x − y2 − x + 6 y .
7.23.z = x3 − y3 −3xy .
7.24.z = x3 y2 (12 − x − y).
7.25.z = xy (xy (x + y −1))
7.26.z = −y2 − x2 − xy +6x +1.
7.27.z =14x3 + 27xy2 −69x −54 y .
7.28.z = x3 + y3 −15xy .
( )2
7.29. z = 4 − x2 + y2 3 .
7.30.z = 2x3 + xy2 +5x2 + y2 .
Задача 8. Знайти умовні екстремуми функції z = f (x, y)
( 8.1 – 8.18 ), або функції u = f (x, y, z) ( 8.19 – 8.30 ).
8.1. |
z = x2 + y2 − xy + x + y , |
за умови x + y +3 = 0 . |
|||||
8.2. |
z = |
1 |
+ |
1 |
, за умови |
x + y −2 = 0 . |
|
x |
y |
||||||
|
|
|
|
|
188 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.3. |
z = |
|
2 |
|
(x − y −4), |
за умови |
|
|
x2 + y2 =1. |
||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.4. |
z = xy2 , |
за умови |
x + 2 y =1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8.5. |
z = 2x + y , |
за умови |
x2 + y2 =1. |
|
|
|
|||||||||||||||
8.6. |
z = x2 + y2 , |
за умови 3x + 4 y −12 = 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||
8.7. |
z = xy , |
за умови |
x2 + y2 =1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8.8. |
z = x2 + y2 , |
за умови |
x + y = 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8.9. |
z = xy , |
за умови 2x +3y = 5. |
|
|
|
||||||||||||||||
8.10. |
z = x2 + y2 − xy + x + y − 4 , |
за умови |
x + y = 3 . |
||||||||||||||||||
8.11. |
z = x2 + y2 , |
за умови 3x + 2 y −6 = 0 . |
|||||||||||||||||||
8.12. |
z = xy , |
за умови |
x + y =1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8.13. |
z = |
1 |
+ |
1 |
, |
за умови |
x + y = 2 . |
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.14. |
z = cos2 x +cos2 y , |
за умови y − x = π . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
за умови x2 + y2 = 5 . |
4 |
|
|||||||||||
8.15. |
z = x + 2 y , |
|
|
|
|||||||||||||||||
8.16. |
z = xy2 , |
за умови |
x + 2 y =1. |
|
|
|
|||||||||||||||
8.17. |
z = x + y , |
за умови |
|
1 |
+ |
|
1 |
|
= 1 . |
|
|
|
|||||||||
|
|
y2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
4 |
|
|
|
|||||
8.18. |
z = sin 2 x +sin 2 y , |
за умови y − x = |
π . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
8.19. |
u = 2x + y −2z , |
за умови x2 + y2 + z2 = 36 . |
|||||||||||||||||||
8.20. |
u = x2 + y2 + z2 , |
за умови |
|
|
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
=1. |
|||||||||||
16 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
4 |
|
||||||
8.21. |
u = xy 2 z3 , |
за умови x + 2 y +3z =12 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x > 0 , y > 0 , z > 0 ). |
|||||||||||
8.22. |
u = x − y + 2z , |
за умови |
|
|
x2 + y2 + z2 = 9 . |
|
|
|
|
189 |
8.23. |
u = x2 y3 z 4 , |
за умови 2x +3y + 4z =12 . |
||
8.24. |
u = xyz , |
за умов x + y + z = 5 , |
xy + xz + yz = 8 . |
|
8.25. |
u = x2 + 2 y2 +3z2 , |
за умов x2 + y2 + z2 =1 , |
||
|
|
|
x + 2 y +3z = 0 . |
|
8.26. |
u = xyz , |
за умов x + y + z = 4 , |
xy + yz + xz = 5 . |
|
8.27. |
u = xy 2 z3 |
, |
за умови x + 2 y +3z = 6 |
|
|
|
|
(x > 0, y > 0, z > 0). |
|
8.28. |
u = x −2 y + 2z , |
за умови x2 + y2 + z2 =1 . |
||
8.29. |
u = x2 + y2 + 2z2 , |
за умови |
x − y + z =1. |
|
8.30. |
u = x −2 y + z , |
за умови |
x + y2 − z2 =1. |
Задача 9. Знайти найменше та найбільше значення функції z = f (x, y) в обмеженій замкненій області D .
9.1. |
z = x −2 y +5 , |
D : x = 0 , |
y = 0 , x + y −1 = 0 . |
||||
9.2. |
z = x2 + y2 − xy − x − y , |
D : |
x = 0 , |
y = 0 , |
|||
|
|
|
|
|
|
x + y −3 = 0 . |
|
9.3. |
z = xy , |
D : |
x2 + y2 ≤1. |
|
|||
9.4. |
z = x −2 y +5 , |
D : x = 0 , |
y = 0 , x − y −1 = 0 . |
||||
9.5. |
z = x2 + 2 y 2 +1, |
D : |
x = 0 , |
y = 0 , |
x + y −3 = 0 . |
||
9.6. |
z = x3 + y3 −3xy , |
D : |
x = 0 , |
x = 2 , y = 0 , y = 2 . |
|||
9.7. |
z = 3x2 +3y2 −2x −2 y + 2 , |
|
D : |
x = 0 , y = 0 , |
|||
|
|
|
|
|
|
x + y +1 = 0 . |
|
9.8. |
z = x2 + 2xy −10 , |
D : y = 0 , |
y = x2 −4 . |
||||
9.9. |
z = x2 −2 y2 + 4xy −6x −1, |
D : x = 0 , |
y = 0 , |
||||
|
|
|
|
|
|
x + y = 3 . |
9.10.z = 2x3 − xy2 + y2 , D : x = 0 , x =1 , y = 0 , y = 6 .
9.11.z = xy −2x − y , D : x = 0 , x = 3 , y = 0 , y = 4 .
190 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.12. |
z = x2 −2xy − y2 + 4x +1 , |
|
D : x = −3 , |
y = 0 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x + y +1 = 0 . |
||
9.13. |
z = x2 + xy −2 , |
|
D : |
y = 0 , y = 4x2 −4 . |
|||||
9.14. |
z = xy − x −2 y , |
D : x = 3 , y = 0 , y = x . |
|||||||
9.15. |
z = x2 + 2xy −4x +8 y , |
D : |
x = 0 , |
x =1 , y = 0 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
y = 2 . |
|
||
9.16. |
z = x2 + y2 −2x −2 y +8 , |
|
D : x = 0 , |
y = 0 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x + y =1. |
||
9.17. |
z = x2 +3y2 + x − y , |
D : |
x =1 , |
y = −1, x + y =1. |
|||||
9.18. |
z = x2 −2xy + 2,5 y2 −2x , |
|
|
D : |
x = 0 , |
x = 2 , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
y = 0 , |
y = 2 . |
|
9.19. |
z = 5x2 −3xy + y2 + 4 , |
|
D : |
x = −1, y = −1, |
|||||
|
|
|
|
|
|
x + y −1 = 0 . |
|||
9.20. |
z =10 + 2xy − x2 , |
D : |
y = 0 , |
y = 4 − x2 . |
|||||
9.21. |
z = 5x2 −3xy + y2 + 4 , |
D : |
x = −1, |
x =1, |
|||||
|
|
|
|
|
y = −1, |
y =1. |
|||
9.22. |
z = x2 + 2xy − y 2 |
− 4x , |
D : x = 3 , |
y = 0 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
x − y +1 = 0 . |
|||
9.23. z = 4 y − xy − y2 , |
D : |
x = 0 , |
y = 0 , |
x + y −6 = 0 . |
|||||
9.24. |
z = 3x2 +3y2 − x − y +1, |
|
D : |
x = 5 , |
y = 0 , |
||||
|
|
|
|
|
|
x − y −1 = 0 . |
|||
9.25. z = 2x2 + 2xy −0,5 y2 − 4x , |
|
D : x = 0 , |
y = 2 , y = 2x . |
||||||
9.26. |
z = x2 − xy + y2 −4x , |
D : x = 0 , |
y = 0 , |
||||||
|
|
|
|
|
|
2x +3y −12 = 0 . |
|||
9.27. |
z =1 − x2 − y2 , |
|
D : (x −1)2 +(y −1)2 ≤1. |
||||||
9.28. |
z = 4(x − y)− x2 − y2 , |
D : |
x + 2 y = 4 , |
x −2 y = 4 , |
x = 0 .