Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
281 |
||||
12.22. |
x2 |
+ y 2 |
+ z 2 |
=16, x2 + y 2 |
= 4 (x2 |
+ y 2 ≤ 4) , |
ρ = |
|
z |
|
. |
||||||||
|
|
||||||||||||||||||
12.23. |
x2 |
+ y 2 |
= 4, |
x2 + y 2 |
= 4z, |
x = 0, |
|
y = 0, |
z = 0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
(x ≥ 0, y ≥ 0 ), |
|
ρ = 5y . |
|
|
|
(x ≥ 0 , |
y ≥ 0) , |
|||||||||||
12.24. |
x2 |
+ y 2 |
= z 2 , |
x2 |
+ y 2 = z, |
x = 0, |
|
y = 0 |
|||||||||||
|
|
ρ = 35 yz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12.25. |
x2 |
+ y 2 |
+ z 2 =1, |
x2 |
+ y 2 = z 2 , x = 0, y = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), |
|
ρ = 32z . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12.26. |
x2 |
+ y 2 |
= z 2 , |
x2 |
+ y 2 = 4, |
x = 0, |
|
y = 0, |
z = 0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), |
|
ρ = |
|
5 |
(x2 + y2 ) . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
12.27. x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2 |
+ y 2 ≤ 4 , z ≥ 0) , |
||||||||
+ y 2 |
+ z 2 = 9, |
x 2 + y 2 = 4, z = 0 |
|||||||||||||||||
|
|
ρ = 2z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12.28. |
x2 |
+ y 2 |
=1, |
x2 + y 2 |
= 3z, |
x = 0, |
|
y = 0, |
z = 0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
(x ≥ 0, y ≥ 0), |
|
ρ =15x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12.29. |
x2 |
+ y 2 |
= |
4 |
z 2 , |
x2 |
+ y 2 = |
2 |
z, |
x = 0, |
y = 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
49 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(x ≥ 0, y ≥ 0), |
|
ρ = 20xz . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12.30. |
x2 |
+ y 2 |
+ z 2 |
=16, x2 + y 2 |
= 9z 2 , |
x = 0, y = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), |
|
|
ρ = 5z . |
|
|
|
|
|
|
Задача 13. Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого заданими поверхнями.
13.1. |
x2 + y 2 = 2z, |
x2 + y 2 |
= z 2 . |
|
|
|
|
|||
13.2. |
x + y =1, |
z = x2 |
+ y 2 , |
x = 0, |
y = 0, |
z = 0 . |
||||
13.3. |
z 2 = xy, |
x = 5 , |
y = 5, |
z = 0 . |
|
|
|
|
||
13.4. |
2x + 3y −12 = 0, |
x = 0, |
y = 0, |
z = 0, |
z = |
y 2 |
. |
|||
|
||||||||||
13.5. |
y = 4 − x2 − z 2 , |
y = 0 . |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
13.6. |
y = 3 − x2 |
− z 2 , |
y = 2 . |
|
|
|
|
|
||
13.7. |
x = 0 , y =1, |
y = 3, |
z = 0 , x + 2z = 3 . |
|||||||
13.8. |
3(x2 + y 2 ) = 2z, |
9(x2 |
+ y 2 ) = z 2 . |
|
|
|
282
13.9. |
z 2 = xy, x = 3, |
y = 3, |
z = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||
13.10. |
3x + 2 y −12 = 0, |
x = 0, y = 0, |
z = 0, |
z = y 2 . |
||||||||
13.11. |
y 2 + z 2 = 2x, |
y 2 |
+ z 2 |
= x2 . |
|
|
|
|
|
|
||
13.12. |
y + z =1, |
x = y 2 |
+ z 2 , |
x = 0, |
|
y = 0, |
|
z = 0 . |
||||
13.13. |
x2 = yz, |
x = 0, |
y = 5, |
z = 5 . |
|
|
|
|
|
|||
13.14. |
3y + 2z =12, |
x = 0, |
y = 0, |
z = 0, |
x = |
y 2 |
. |
|||||
|
||||||||||||
13.15. |
x = 4 − y 2 − z 2 , |
x = 0 . |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
13.16. |
z = 3 − x 2 |
− y 2 , |
z = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||
13.17. |
x = 0, y =1, |
y = 3, |
z = 0, 2x + z = 3 . |
|||||||||
13.18. |
3( y 2 + z 2 ) = 2x, |
9( y 2 |
+ z 2 ) = x2 . |
|
|
|
|
|||||
13.19. |
x2 = yz, |
x = 0, y = 3, |
z = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|||
13.20. |
2 y + 3z −12 = 0, |
x = 0, y = 0, |
z = 0, |
x = y 2 . |
||||||||
13.21. |
x2 + z 2 = 2 y, |
x2 |
+ z 2 |
= y 2 . |
|
|
|
|
|
|
||
13.22. |
x + z =1, |
y = x2 + z 2 , |
x = 0, |
y = 0, |
z = 0 . |
13.23y2 = xz, x = 5, y = 0, z = 5.
13.24. |
2x + 3z =12, x = 0, y = 0, |
z = 0, |
y = |
x2 |
. |
||||
|
|||||||||
13.25. |
z = 4 − x2 |
− y 2 , |
z = 0 . |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
||||||
13.26. |
x =3 − y 2 |
− z 2 , |
x = 2 (x ≥ 2) . |
|
|
|
|||
13.27. |
x = 0, |
y = 0, z =1, z = 3, |
x + 2 y = 3 . |
||||||
13.28. |
3(x2 |
+ z 2 ) = 2 y, |
9(x2 |
+ z 2 ) = y 2 . |
|||||
13.29. |
y 2 = xz, x = 3, y = 0, |
z = 3 . |
|
|
|
||||
13.30. |
3x + 2z =12, x = 3, y = 0, |
z = 0, |
y = z 2 . |
Задача 14. Знайти момент інерції однорідного прямого кругового конуса з радіусом основи R і висотою H відносно його осі ( прийняти ρ =1 ).
14.1. |
R = 7 , H = 7 . |
14.2. |
R = 6 , H = 7 . |
14.3. |
R = 6 , H = 6 . |
14.4. |
R = 5, H = 6 . |
14.5. |
R = 5 , H = 5 . |
14.6. |
R = 4 , H = 7 . |
283
14.7. |
R = 4 , H = 6 . |
14.8. R = 4 , H = 5 . |
||
14.9. |
R = 4 , H = 4 . |
14.10. |
R = 3, H = 7 . |
|
14.11. |
R = 3, H = 6 . |
14.12. |
R = 3, H = 5 . |
|
14.13. |
R = 3, H = 4 . |
14.14. |
R = 3, H = 3 . |
|
14.15. |
R = 2 , H = 8 . |
14.16. |
R = 2 , H = 7 . |
|
14.17. |
R = 2 |
, H = 6 . |
14.18. |
R = 2 , H = 5 . |
14.19. |
R = 2 |
, H = 4 . |
14.20. |
R = 2 , H = 3 . |
14.21. |
R = 2 |
, H = 2 . |
14.22. |
R =1, H = 8 . |
14.23. |
R =1, H = 7 . |
14.24. |
R =1, H = 6 . |
|
14.25. |
R =1, H = 5 . |
14.26. |
R =1, H = 4 . |
|
14.27. |
R =1, H = 3 . |
14. 28. |
R = 5, H = 2 . |
|
14.29. |
R = 7 |
, H =1 . |
14.30. |
R = 5, H = 7 . |
Задача 15. Обчислити криволінійні інтеграли. |
|
|
|||||||||||||
15.1. а) ∫(2z − |
|
|
x2 |
+ y 2 )dl , де L – дуга кривої |
|
|
|||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t cos t , |
|
y = t sin t , |
z = t , 0 ≤ t ≤ 2π ; |
|
|
||||||||||
б) ∫(x2 |
− 2xy)dx + (y2 |
− 2xy)dy , |
де L – дуга |
|
|
||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
від точки A(−1; 1) до точки B(1; 1) . |
||||
параболи y = x2 |
|||||||||||||||
15.2. а) ∫ |
(x2 |
+ y2 )dl , |
де L – коло x2 + y2 = 4 ; |
|
|
||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
x2 dy − y2 dx |
, де L – дуга астроїди x = 2 cos |
3 |
t , |
|||||||||||
3 |
x |
5 |
+ |
3 |
|
y |
5 |
|
|
||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y = 2 sin 3 t |
|
від точки A(2; 0) |
до точки B(2; 0) . |
||||||||||||
15.3. а) ∫ |
|
|
|
dl |
|
|
|
|
, де L – відрізок прямої, що з'єднує |
||||||
|
8 − x |
2 |
− y |
2 |
|||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
точки O(0; 0) і A(2; 2) ; |
|
|
|
||||||||||||
б) ∫(x2 |
+ y2 )dx + 2xy dy , де L – дуга кубічної |
|
|
||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
від точки O(0; 0) до точки A(1; 1) . |
||||
параболи |
|
|
y = x3 |
284 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.4. а) ∫(43 x −3 |
|
y )dl , де L – відрізок прямої, що |
||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з’єднує точки A(−1; 0) і B(0; 1) ; |
|
|
|
|||||||||
б) ∫(x + 2 y)dx + (x − y)dy , де L –коло x = 2 cos t , |
||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 sin t |
при додатному напрямі обходу . |
|||||||||||
15.5. а) |
∫ |
dl |
|
|
, L – відрізок прямої, що з'єднує |
|||||||
5(x − y) |
||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
||||
точки A(0; 4) і B(4; 0) ; |
|
|
|
|||||||||
б) |
|
∫(x2 y − x)dx + ( y2 x − 2 y)dy , |
де L – дуга еліпса |
|||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 3cos t , y = 2 sin t |
при додатному напрямі обходу. |
|||||||||||
15.6. а) |
∫ |
dl |
|
|
, де L – відрізок прямої, що з’єднує |
|||||||
x + y + 5 |
|
|||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точки A(0; − 2) і B(1; 0) ; |
|
|
|
|||||||||
б) ∫(xy −1)dx + x2 ydy , |
де L – дуга еліпса |
|||||||||||
|
L |
|
|
|
|
від точки A(1; 0) до точки B(0; 2) . |
||||||
x = cos t, y = 2 sin t |
||||||||||||
15.7. а) |
∫ydl , |
де L – дуга астроїди |
x = cos3 t, y = sin 3 t , |
|||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
що з’єднує точки A(1; 0) і B(0; 1) ; |
||||||||||||
б) |
∫ |
2xydx − x2 dy , |
де L – ламана ОВА : O(0; 0), |
|||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(2; 0), A(2; 1) . |
|
|
|
|
|
|
||||||
15.8. а) |
∫ydl , |
де L – дуга параболи y 2 = |
2 |
x між точками |
||||||||
|
||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||
O(0; 0) і |
|
35 ; |
35 |
|
; |
|
|
|
||||
B |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
∫(x2 − y2 )dx + xydy , |
де L – відрізок прямої, що |
L
з’єднує точки A(1; 1) і B(3; 4) .
|
|
|
|
|
|
|
|
287 |
б) |
∫(xy − y2 )dx + xdy , |
де L – дуга параболи y = x2 |
||||||
|
L |
|
|
|
|
|
||
від точки O(0; 0) до точки A(1; 1) . |
||||||||
15.20. а) |
∫xy dl , |
де L – контур прямокутника з |
||||||
|
L |
|
|
|
|
|
||
вершинами O(0; 0), A(5; 0), B(5; 3), C(0; 3) ; |
||||||||
б) ∫xdy − ydx , |
де L – дуга астроїди x = 2 cos3 t , |
|||||||
|
L |
від точки A(2; 0) до точки B(0; 2) . |
||||||
y = 2 sin 3 t |
||||||||
15.21. a) |
∫(x2 + y2 )dl , |
де L – коло x = cos t , y = sin t ; |
||||||
|
L |
|
1 |
|
|
|
||
б) |
∫(xy − x)dx + |
x2 dy , |
|
де L – дуга параболи |
||||
|
|
|||||||
|
L |
2 |
|
|
|
|||
y2 = 4x від точки O(0; 0) до точки A(1; 2) . |
||||||||
15.22. а) ∫(43 x −33 y )dl , де L – дуга астроїди |
||||||||
|
L |
y = sin 3 t від точки A(1; 0)до точки B(0; 1) ; |
||||||
x = cos3 t , |
||||||||
б) |
∫(xy −1)dx + x2 ydy , |
де L – відрізок прямої, що |
||||||
|
L |
|
|
|
|
|
||
з’єднує точки A(1; 0) і B(0; 2) . |
||||||||
15.23. a) ∫xydl , |
де L – контур квадрата зі сторонами |
|||||||
|
L |
|
|
|
|
|
||
x =1, x = −1, y =1, y = −1 ; |
||||||||
б) ∫2xy dx + y2 dy + z 2 dz , |
де L – дуга одного витка |
|||||||
|
L |
|
|
|
|
|
||
гвинтової лінії x = cos t , |
y = sin t , z = t , 0 ≤ t ≤ 2π . |
|||||||
15.24. а) |
∫y2 dl , |
де L – перша арка циклоїди |
||||||
|
L |
|
|
|
|
|
||
x = t −sin t , y =1 − cos t |
; |
|
||||||
б) |
∫ |
y |
dx + xdy , |
де L – дуга дуга лінії y = ln x від |
L x
точки A(1; 0) до точки B(e; 1) .
288 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.25. a) ∫xydl , |
|
де L – контур прямокутника з вершинами |
||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(2; 0), B(4; 0), C(4; 3), D(2; 3) ; |
|
|
|
||||||||||
|
б) ∫ydx − xdy , |
де L – еліпс x = 3cos t , |
y = 2 sin t , |
|||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
який пробігається в додатному напрямі. |
|
|
|
||||||||||
15.26. |
а) ∫ydl , |
|
де L – дуга параболи y2 = 2x , |
яка |
||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
відтинається параболою x2 = 2 y ; |
|
|
|
||||||||||
|
б) ∫2xydx + x2 dy , |
де L – дуга параболи y = |
x2 |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||
|
від точки O(0; 0) до точки A(2; 1) . |
|
|
|
||||||||||
15.27. |
а) ∫ |
|
dl |
|
, |
|
де L – відрізок прямої, що з’єднує |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
L x − y |
|
|
|
і B(6; 1) ; |
|
|
|
||||||
|
точки A(4; 0) |
|
|
|
||||||||||
|
б) ∫(x2 + y2 )dx + (x2 |
− y2 )dy , де L – ламана лінія |
||||||||||||
|
L |
від точки A(−1; 1 ) до точки B(2; 2) . |
||||||||||||
|
y=|x| |
|||||||||||||
15.28. |
а) ∫(x2 + y 2 )2 dl , де L – перша чверть кола |
|||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2 cos t , |
y = 2 sin t |
; |
|
|
|
||||||||
|
б) ∫2xydx − x2 dy + zdz , де L – відрізок прямої, що |
|||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з’єднує точки O(0; 0; 0) і A(2; 1; −1 ) . |
|
|
|
||||||||||
15.29. |
а) ∫ |
|
|
|
dl |
|
|
|
2 , |
де L – відрізок прямої, що |
||||
x |
2 |
+ y |
2 |
+ z |
||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
з’єднує точки |
A(1; 1; 1) і B(2; 2; 2) ; |
|
|
|
|||||||||
|
б) ∫xdy − ydx , |
|
де L – контур трикутника з |
|||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вершинами A(−1; 0), B(1; 0) , C(0; 1) |
|
|
|
при додатному напрямі обходу.
|
|
|
|
|
|
289 |
15.30. |
а) ∫(xy + x2 )dl , де L – відрізок прямої, що з’єднує |
|||||
|
L |
|
|
B(3; 3) ; |
||
|
точки A(1; 1) і |
|||||
|
б) ∫(x2 |
+ y)dx + (x + y2 )dy , де L – ламана АВС: |
||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
A(2; 0), B(5; 0), C(5; 3). |
|||||
Задача 16. Знайти центр мас однорідної кривої. |
||||||
16.1. |
2x + y −2 = 0, |
x ≥ 0, |
y ≥ 0. |
|||
16.2. |
x = 1 y2 − |
1 ln y, |
1 ≤ y ≤ 2. |
|||
16.3. |
4 |
2 |
|
|
|
|
y2 = 2x, |
0 ≤ x ≤ 2. |
|
|
|||
16.4. |
y = chx, |
−2 ≤ x ≤ 2. |
|
|
||
16.5. |
x = cos3 t, |
y = sin3 t |
0 ≤ t ≤ π . |
|||
16.6. |
|
|
|
|
|
2 |
x = t −sin t, |
y =1−cos t, |
0 ≤ t ≤ 2π . |
||||
16.7. |
r = cosϕ, |
0 ≤ϕ ≤ π . |
|
|
||
16.8. |
r = eϕ , |
|
|
2 |
|
|
0 ≤ϕ ≤ 2π. |
|
|
||||
16.9. |
r2 = cos 2ϕ, |
− |
π ≤ϕ ≤ |
π . |
||
16.10. |
r =ϕ, |
|
|
4 |
|
4 |
0 ≤ϕ ≤π. |
|
|
||||
16.11. |
x +2 y −2 = 0, |
|
x ≥ 0, |
|
y ≥ 0. |
|
16.12. |
y = 1 x2 |
− 1 ln x, |
1 ≤ x ≤ 2. |
|||
16.13. |
4 |
2 |
|
|
|
|
x2 = 2 y, |
0 ≤ y ≤ 2. |
|
|
|||
16.14. |
y = shx, |
−1 ≤ x ≤1. |
|
|
16.15. |
x = 2 cos3 t, |
y = 2sin3 t 0 ≤ t ≤ |
π . |
16.16. |
|
|
3 |
x = 2t −2sin t, |
y = 2 −2 cos t 0 ≤ t ≤π . |
||
16.17. |
r = 2sinϕ, |
0 ≤ϕ ≤ π . |
|
16.18. |
|
2 |
|
r = 2eϕ , 0 ≤ϕ ≤π. |
|