Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ивано-Франковский национальный технический университет нефти и газа

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",

.pdf

Скачиваний:

1138

Добавлен:

17.02.2016

Размер:

2.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 4618 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

				171
9.23.	Ф обмежена	дугою параболи	y = b		x	,

(a > 0, b > 0), віссю Oy і прямою y = b .					a

9.24. Ф	обмежена осями	координат і дугою	астроїди
x = a cos3 t ,	x = asin3 t , яка розташована в першому квадранті.

9.25.Ф – сектор круга радіуса R з центральним кутом, який дорівнює 2α .

9.26.Ф обмежена кардіоїдою r = a(1+cosϕ).

9.27.Ф обмежена першою петлею лемніскати Бернуллі r 2 = a2 cos 2ϕ .

9.28.	Ф обмежена осями координат і кривою
x + y =	a .

9.29.Ф обмежена півкубічною параболою ay2 = x3 і прямою x = a (a > 0).

9.30.Ф обмежена параболою y = 2x − x2 і прямою y = 0 .

172

7 Диференціальне числення функцій декількох змінних

Теоретичні питання

1.Поняття функції декількох змінних. Область визначення, границя і неперервність функції декількох змінних.

2.Частинні похідні функції декількох змінних.

3.Диференційованість і повний диференціал функції декількох змінних.

4.Геометричний зміст повного диференціала. Дотична площина та нормаль до поверхні.

5.Похідні і повний диференціал складеної функції. Повна похідна.

6.Неявно задані функції і їх похідні.

7.Похідна за напрямом. Градієнт.

8.Частинні похідні та повні диференціали вищих порядків. Незалежність результату від порядку диференціювання.

9.Формула Тейлора для функції декількох змінних.

10.Екстремум функції декількох змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму.

11.Найменше і найбільше значення функції в обмеженій замкненій області.

12.Умовний екстремум.

13.Метод найменших квадратів.

Розрахункові завдання

Задача 1. Знайти та побудувати область визначення функ-

ції z = f (x, y).

1.1.	z =	x2	− y + 4 − x2 − y2 .
1.2.	z =	4 − x2 − y2 +		x2 + y2 −1 .
1.3.	z =	x2	+ y2 −1 .	1.4. z = x + y − x2 − y .

x − y2

1.5.z = x − y .

1.7.z = ln (y2 − x + 2).

1.9.z = x +1 +arccos y .


1.11.	z = arcsin				x	+		1− y2 .

		2
1.13.	z = 4 x2 − y .
1.15.	z = ln(x2 + y 2							−9).
1.17.	z =	x + y			.

		x2 − y
1.19.	z =	1	+	1			.

		x				y

173

1.6. z = 3 x2 −1 + y .

1.8.z = x2 + y2 −4 .

1.10.z = ln xy .

1.12.z = ln (4 − x2 − y2 ).

1.14. z = x2 − y + 2 .

1.16.z = y2 − x .

1.18.z = x2 −1 y2 .

1.20.z = xx2−+yy .

1.21.	z = x2 − y2 .			1.22.	z = 2xy .
1.23.	z = arcsin	(2 y (1+ x2 )−1).
1.24.	z = arcsin	y	.	1.25.	z = ln	x2	+ y2	.
		x2					xy

1.26.	z = (x2 + y2 −1)(9 − x2 − y2 ).

1.27. z = arcsin y x−1 .

1.29. z = ln (1 − x2 − y2 ).

1.28. z = arccos yx−2 1 .

1.30. z = ln(x2 + y 2 −1). y − x2

Задача 2. Знайти повний	диференціал заданої функції
z = f (x, y).
2.1. z = 4 x2 + y2 .	2.2. z = 4 x2 − y2 .

174
2.3.	z = 3 x sin y .									2.4.	z = cos (x3 −2xy).
2.5.	z = arccos					xy .				2.6.	z = arcsin (x + y2 ).
2.7.	z = arc tg (x2 + y2 ).									2.8.	z = arctg (x2 + 3 y ).
2.9.	z = 3 xy2 tgx .									2.10.	z = x2 + y2 +5x2 y2 .
2.11.	z = xy ln (xy).									2.12.	z = arctg		y	.

												x	x
								x
2.13.	z = arc sin								.	2.14.	z = e y tg(x + y).
							x2	+ y2
											z = arccos (x − y2 ).
2.15.	z = arcsin(2x3 y).									2.16.
2.17.	z = cos (x2 + 2xy).									2.18.	z = tg (x3 y2 ).
2.19.	z = arctg				x3		.			2.20.	z = arc sin xy −2x2 y .

	z = ln (				y2
2.21.			3x2 + y2 ).							2.22.	z = sin x − y2 .
2.23.	z = ln (		xy −1).							2.24.	z = arccos (x + y2 ).
2.25.	z = e	− x2		+y2						2.26.	z = arc tg		2 y − x		2
				.										y	.
	z = sin (x2 + y2 )+ y3 .
2.27.										2.28.	z = arc tg (x2 + y2 ).
2.29.	z = 3x2 + y2 − x .									2.30.	z = ln (2		y + 4x).

Задача 3. Задана функція z = f (x, y). Перевірити, чи задовольняє ця функція заданому рівнянню; переконатись та-

кож, що ∂2 z = ∂2 z .

∂x∂y ∂y∂x

3.1.z = exy , x2 ∂2 z −2xy

∂x2

3.2.z = cos y +(y − x) sin y ,

3.3.z = e−(x+3 y) sin (x +3y),

175

∂2 z

+ y

∂2 z

+ 2xyz = 0 .

∂x∂y

∂y2

(x − y)

∂2 z

− ∂z

= 0 .

∂x∂y

∂y

∂2 z

= 0 .

∂x2

∂y2

3.4.

z = sin (x + ay),

∂2 z

− a 2

∂2 z = 0 .

∂y 2

∂x2

3.5.

z =

∂2 z

−

∂z

= 0 .

∂x∂y

∂y

3.6.

z = xe

x2 ∂2 z + 2xy

∂2 z

+ y 2 ∂2 z

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y 2

z = ln (x2 + y2 + 2x +1),

∂2 z

3.7.

∂x2

+ ∂y2 = 0 .

3.8.

z = ln (x2 +(y +1)2 ),

∂2

2z +

∂2 2z = 0 .

∂x

∂y

3.9.z = arctg xy ,

3.10.z = ln (x2 + y2 ),

3.11.z = ln (x +e−y ),

∂2 z + ∂2 z = 0 . ∂x2 ∂y2

∂z	∂2 z	−	∂z	∂2 z	= 0 .
∂x	∂x∂y		∂y	∂x2

3.12.

z = x y ,

∂2 z

−(1+ y ln x)

∂z

= 0 .

∂x∂y

∂x

3.13.

z = e

∂2 z

−2xy

∂2 z

+ y

∂2 z

+ 2xyz = 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

176

3.14.

z =

∂2 z

+ 2xy

∂2 z

+ y

∂2 z

= 0 .

∂x

∂x∂y

∂y2

3.15.

z = y

∂2 z

− y

∂2 z

= 0 .

∂x2

∂y2

3.16.

z =

+arcsin

(xy),

∂z

− xy

∂z

+ y2 = 0 .

∂x

∂y

3.17.

z =

cos y2

∂2 z

+ 2

∂z

= 0 .

∂x2

∂x

3.18.

z = ln

∂2 z

= 0 .

x2 + y2

∂x2

∂y

3.19.

z = ex (x cos y − y sin y),

∂2 z +

∂2 z

= 0 .

∂x2

∂y2

− y

3.20. z = x e x ,

3.21. z = x ln xy ,

3.22. z = e y ,

x	∂2 z		∂z ∂z	− y	∂2 z
		+ 2	∂x + ∂y		∂ 2	= 0 .
	∂x∂y
					y

x ∂z + y2 ∂2 z + 2x − z = 0 . ∂x ∂y2

∂z − ∂z + y ∂2 z = 0 . ∂x ∂y ∂x∂y

3.23.

z = cos2 (y −0,5x),

2 ∂2 z

∂2 z

= 0 .

∂x∂y

∂x2

3.24.

z =

y2 + 2xy ,

∂z

+ ∂z

x + 2 y

∂x

∂y

y2 + 2xy

3.25.

z =

∂z + y

∂z

x + y

∂y

x + y

∂x

3.26.

z = e

−cos(x+3 y)

∂2 z

−

∂2 z

= 0 .

∂x2

∂y

177

3.27.

z = ln

+ x

− y

∂z

+ y

∂z

= 3(x

− y

∂

3.28.

z = (x2 + y2 ) tg

∂z

+ y

∂z −2z = 0 .

∂x

∂y

z =

∂z

3.29.

∂x

∂y =

(x2 − y2 )5

3.30.

z = e

∂2 z

− y

∂2 z

= 0 .

∂x2

∂y2

Задача 4.

Задані функція

z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) і

вектор a . Знайти: а) grad z в точці

б) похідну функції в

точці A за напрямом вектора a .

4.1.

z = ln (3x2 + 4 y2 ),

A(1;3),

ar = 2i − rj .

4.2.

z = 5x2 +6xy ,

A(2;1),

ar = i + 2 rj .

4.3.

z = 3x2 y2 +5 y2 x ,

A(1;1),

ar = 2i + rj .

4.4.

z = x2 + xy + y2 ,

A(1;1),

ar = 2i − rj .

4.5.

z = ln (5x2 +3y2 ),

A(1;1),

ar = 3i + 2 rj .

4.6.

z = 2x2 +3xy + y2 ,

A(2;1),

ar = 3i −4 rj .

4.7.

z = arctg (xy2 ), A(2;3),

ar = 4i −3 rj .

4.8.

z = ln (5x2 + 4 y2 ),

A(1;1),

ar = 2i − rj .

A(1; 2),

4.9.

z = arcsin

= 5i −12 j .

A(−1; 2),

ar = 4i −3 rj .

4.10.

z = 3x4 + 2x2 y3 ,

178

z = 3x2 −6xy + y2 ,

2 r

4.11.

A −

; −

, a

i +

j .

4.12.

z = x2 − xy + y2 ,

A(1;1),

ar = 6i +8 rj .

4.13.

z = x3 −3x2 y +3xy2 +1,

A(3;1),

ar = 3i + 4 rj .

4.14.

z = x2 + y2 ,

A(3; 2),

ar = 2i +3 rj .

4.15.

z = ln (3x2 + 2 y2 ),

A(2; 2),

ar = 3i −2 rj .

4.16.

z = x2 + xy − y2 ,

A(2; 2),

ar = 5i +3 rj .

4.17.

z = 5x2 y2 −3y2 x ,

A(1;1),

ar = i + 2 rj .

4.18.

z = ln (2x2 + y2 ),

A(1;3),

ar = 2i + rj .

A(1; 2),

4.19.

z = arccos

a = 5i −

2 j .

A(−2;1),

ar = 3i + 4 rj .

4.20.

z = 5x3 + 2xy3 ,

4.21.

z = 3x2 +5xy2 ,

A(2; 2),

ar = 2i + rj .

4.22.

z = arcctg (xy2 ),

A(3; 2),

ar = 4i +3 rj .

4.23.

z = x2 − y2 ,

A(2;3),

ar = 2i −3 rj .

4.24.

z = arc tg

A(2;5),

= 2i +3 j .

A(1;3),

ar = 3i +3 rj .

4.25.

z = 3x4 −2x3 y2 ,

4.26.

z = 3x2 − 2 y3 ,

A(3; 2),

ar = 2i −3 rj .

4.27.

z = 5x3 −2 y2 ,

A(−3; 2),

ar = 3i + 2 rj .

4.28.

z = x2 y2 +3xy2 ,

A(3; −3),

ar = 2i −3 rj .

4.29.

z = ln (2x2 +3y2 ),

A(3; 2),

ar = 3i + 2 rj .

179

A(3;3),

4.30.

z = arcsin

2i −3 j .

Задача 5. В пункті а) знайти

; в пункті б) знайти

;

∂z

∂z .

в пункті в) знайти

∂u

∂v

x = e−3t ,

5.1.

а)

z = x2 − xy + y2 ,

де

y = cos 2t ;

б) z = ln (x2 − y2 +1),

де y = e−x2 ;

в) z = x3 ln y ,

де

x =

y = u2v .

z = e2 x−y ,

5.2.

а)

де

x =

t ,

y = sin 2t ;

б)

z = (sin x)y ,

де

y = ln x ;

в) z = tg (2x +3y)

де x =

y = 2u −v .

z = arcsin (x − y),

5.3.

а)

де

x = t3 −1, y = t2 ;

б)

z =

x2 + y2 ,

де y = sin2 x ;

в) z = x2 y2 ,

де x = u ev ,

y = v eu .

5.4.

а)

z = arctg

де

x = t2 ,

y = t +1;

б)

z = arctg (xy),

де

y = ex ;

в) z = x2 + y2 ,

де x = u v , y = eu+v .

5.5.

а)

z = x2 + y2 ,

де

x = sin t ,

y = ln t ;

б)

z = arcsin

де

y =

x2 +1 ;

180

в)

5.6.а)

б)

в)

5.7.а)

б)

в)

5.8.а)

б)

z = x2 ln y ,

де

x =

y = u2 +v2 .

z = e2 y−3x ,

де x = t2 −1, y = tg t ;

z = arccos

де

y =

1 − x2 ;

y = u .

z = ln (x2 + y2 ),

де x = u v ,

z = arctg

де

x = e2t

−1,

y = e2t +1;

z = tg (2x + y),

де y = ex ;

z = ln (x2 + y2 ),

де

x = u cos v , y = v sin u .

z = 0,5ln

де

x = tg 2t ,

y = ctg 2t ;

z = arctg

x + y

де y = cos x ;

1 − xy

	в)	z = xy2 ,			де	x = sin u ,		y =	u .
		z = yx ,					v		v
5.9.	а)	z = yx ,			де	x = sin t ,		y = ln t ;
	б)	z = x2 + y2 ,				де	y = cos2 x ;
	в)	z = arctg	x	,		де x = v sin u ,			y = u cos v .
	в)	z = arctg	y	,		де x = v sin u ,			y = u cos v .
			y
5.10.	а)	z = ex−2 y ,			де x = sin t ,			y = t3 ;
	б)	z = x y ,			де	y = cos 2x ;
	в)	z = x2 y ,			де	x = cos uv ,		y = u 2		− 2v .
5.11.	а)	z = tg (3t + 2x2 − y),					де	x = 1	,	y = t ;
								t

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 4618 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.11.2019387.58 Кб6ГОТОВО Вимірювання вологості.doc
#
09.11.201912.95 Mб27ГП лаб_роб 281111.doc
#
16.07.2019179.2 Кб7ГПЗ_Технологічний процес.doc
#
17.02.20162.3 Mб37граві-магніто розв.посібник.doc
#
14.11.20181.07 Mб23грунтознавство (Дутчин М.М.) 310111.doc
#
17.02.20162.45 Mб1138Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",.pdf
#
07.12.20181.13 Mб3дільниця (1).doc
#
13.11.2019445.95 Кб18движок_60.doc
#
12.08.2019166.4 Кб0Дейдей.doc
#
12.11.2019103.94 Кб1Декларація про валютні цінності, доходи та майн...doc
#
14.09.2019744.96 Кб4Державний екзамен з англійської мови 2011-2012...doc