Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",
.pdf
|
291 |
|||||||||
17.5. |
|
|
|
= x3 i − y3 |
|
, |
|
|
||
F |
j |
|||||||||
|
|
|
|
L: x2 + y2 = 4 (x ≥ 0 , y ≥ 0), M (2; 0), N (0; 2) . |
||||||
17.6. |
|
|
= (x + y) |
|
+(x − y) |
|
, L : y = x2 , M (−1; 1), N(1; 1) . |
|||
F |
i |
j |
||||||||
17.7.F = x2 yi − yj , L – відрізок прямої, M (−1; 0), N(0; 1) .
17.8.F = (2xy − y)i +(x2 + x) j ,
|
|
|
|
|
L: x2 + y2 = 9 (y ≥ 0), M (3; 0), N (−3; 0) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
17.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F |
= (x + y) |
i |
+(x − y) |
j |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L: x2 + |
y2 |
|
=1 (x ≥ 0 , y ≥ 0), M (1; 0), N (0; 3) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
17.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
= yi |
− xj , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L : x2 + y2 =1 ( y ≥ 0) , M (1; 0), N(−1; 0) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
17.11. |
|
|
|
|
|
= (x2 + y2 ) |
|
|
|
+( y2 − x2 ) |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
F |
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L : y = |
|
x, |
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤1 |
, |
M (2; 0), N(0; 0) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− x, |
|
1 ≤ x ≤ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
17.12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
F |
|
= yi |
− xj , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L: x2 + y2 = 2 (y ≥ 0), M ( 2 ; 0), N(− 2 ; 0). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
17.13. |
|
|
|
= xyi +2 y |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
F |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L: x2 + y2 =1 (x ≥ 0 , y ≥ 0), M (1; 0), N(0; 1) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
17.14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
F |
= yi |
− xj , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L: 2x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
; 0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 (y ≥ 0), M |
2 |
; 0 |
, N − |
2 |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
17.15. |
|
|
|
|
= (x2 + y2 )( |
|
+ 2 |
|
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
F |
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L: x2 + y2 = R (y ≥ 0), M (R; 0), N(− R; 0) . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
17.16. |
|
|
|
|
= (x + y |
x2 + y2 ) |
|
+( y − x |
x2 + y2 ) |
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
F |
i |
j |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L: x2 + y2 =1 (y ≥ 0), M (1; 0), N(−1; 0) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
17.17. |
|
|
|
|
|
|
− xy2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
F |
= x2 yi |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L: x2 + y2 = 4 (x ≥ 0 , y ≥ 0), M (2; 0), N(0; 2) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
17.18. |
|
|
|
|
= (x + y |
x2 + y2 ) |
|
+( y − x |
x2 + y2 ) |
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
F |
i |
j |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
293
б) ∫∫( y2 + z 2 )dydz , де σ - частина параболоїда
σ
x = 9 − y2 − z 2 (вектор нормалі n утворює гострий кут з віссю Оx), яка відтинається площиною x = 0 .
18.2. а) ∫∫(2 + y −7x +9z)dσ , |
(P) : 2x − y − 2z = −2 ; |
|||||
|
|
σ |
|
|
|
|
б) ∫∫z 2 dxdy , |
де σ - зовнішня сторона поверхні еліпсоїда |
|||||
|
σ |
|
|
|
|
|
x2 + y2 + 2z 2 = 2 . |
|
|
|
|
||
18.3. а) |
∫∫(6x + y + 4z)dσ , |
(P) : 3x + 3y + z = 3 ; |
||||
|
|
σ |
|
|
|
|
б) |
∫∫zdxdy + ydxdz + xdydz , |
де σ - зовнішня сторона повер- |
||||
|
σ |
|
|
|
|
|
хні |
куба, |
обмеженого |
площинами x = 0 , y = 0 , z = 0 , |
|||
x =1, y =1, z =1 . |
. |
|
|
|
||
18.4. а). ∫∫(x + 2 y +3z)dσ , |
(P) : x + y + z = 2 ; |
|||||
|
|
σ |
|
|
|
|
б) ∫∫(z +1)dxdy , |
де σ - зовнішня сторона поверхні сфери |
|||||
|
σ |
|
|
|
|
|
x2 + y2 + z 2 =16 . |
|
|
|
|
||
18.5. а) |
∫∫(3x − 2 y + 6z)dσ , |
(P) : 2x + y + 2z = 2 ; |
||||
|
|
σ |
|
|
|
|
б) |
∫∫yzdydz + xzdxdz + xydxdy , |
де σ - верхня сторона час- |
||||
|
σ |
|
|
|
|
|
тини площини x + y + z = 4 , |
яка відтинається координатними |
|||||
площинами. |
|
|
|
|
||
18.6. а) |
∫∫(2x +5 y − z)dσ , |
(P) : x + 2 y + z = 2 ; |
||||
|
|
σ |
|
|
|
|
б) |
∫∫x2 dydz + y2 dxdz + z 2 dxdy , |
де σ - зовнішня сторона |
||||
|
σ |
|
|
|
|
|
частини сфери x2 + y2 + z 2 =16 , що міститься у першому октанті.
298 |
|
|
|
б) ∫∫3x2 dydz − y2 dxdz − zdxdy , |
де σ - частина поверхні |
||
σ |
|
|
|
параболоїда |
1 − z = x2 + y2 (нормальний вектор n |
утворює |
|
гострий кут з віссю Oz), що відтинається площиною |
z = 0 . |
||
18.28. а) |
∫∫(2x +3y + z)dσ , |
(P) : 2x + 2 y + z = 2 ; |
|
|
σ |
|
|
б) ∫∫(1 + 2x2 )dydz + y2 dxdz + zdxdy , де σ - частина поверхні
σ
конуса x2 + y2 = z 2 (нормальний вектор |
n утворює тупий кут |
з віссю Oz), що відтинається площинами |
z = 0 і z = 4 . |
18.29. а) |
∫∫(5x − y +5z)dσ , |
(P) : 3x + 2 y + z = 6 ; |
|
|
σ |
|
|
б) ∫∫x2 dydz + z 2 dxdz + ydxdy , |
де σ - частина поверхні |
||
σ |
|
|
|
параболоїда |
4 − z = x2 + y2 (нормальний вектор n |
утворює |
|
гострий кут з віссю Oz), що відтинається площиною |
z = 0 . |
||
18.30. а) ∫∫(x +3y + 2z)dσ , |
(P) : 2x + y + 2z = 2 ; |
||
|
σ |
|
|
б) ∫∫( y2 |
+ z 2 )dydz − y2 dxdz + 2 yz 2 dxdy , |
|
|
σ |
|
|
|
де σ - частина поверхні конуса |
x2 + z2 = y2 (нормальний |
||
вектор n утворює тупий кут з віссю Oy), що відтинається площинами y = 0 і y =1.
Задача 19. Знайти площу:
19.1. частини поверхні конуса z 2 = 2xy , розташованої в першому октанті між площинами x =1, y = 2 .
19.2. частини поверхні сфери x2 + y 2 + z 2 =1, розташованої всередині циліндра x2 + y 2 = x .
19.3.частини поверхні циліндра x2 + y 2 = x , розташованої всередині сфери x2 + y 2 + z 2 =1.
299
19.4. частини поверхні сфери x2 + y2 + z 2 = 4 , вирізаної циліндром x2 + y2 =1 .
19.5. частини поверхні конуса z = x2 + y 2 , розташованої всередині циліндра x2 + y2 = 2x .
19.6.частини поверхні параболоїда x =1 − y2 − z 2 , вирізаної циліндром y2 + z 2 =1 .
19.7.частини поверхні сфери x2 + y2 + z 2 = 4 , вирізаної
циліндром |
x2 |
+ y 2 =1 . |
|
4 |
|||
|
|
19.8.частини площини z = x , що міститься всередині циліндра x2 + y 2 = 4 .
19.9.частини поверхні циліндра z = x2 , вирізаної площи-
нами x + y = 
2, x = 0, y = 0 .
19.10.частини поверхні циліндра z 2 = 4x , що міститься у першому октанті і вирізається циліндром y2 = 4x та площиною x =1.
19.11.частини поверхні параболоїда 2 y = x2 + z 2 , вирізаної циліндром x2 + z 2 =1 .
19.12.частини площини 2x + 3y + 6z = 6 , вирізаної коорди-
натними площинами.
19.13.частини поверхні конуса 2xy = z 2 , розташованої в першому октанті між площинами x = 2, y =1.
19.14.частини поверхні сфери x2 + y2 + z 2 = 4 , розташованої всередині циліндра x2 + y2 = 2x .
19.15.частини поверхні циліндра x2 + y2 = 2x , розташованої всередині сфери x2 + y2 + z 2 = 4 .
19.16. частини поверхні конуса z = x2 + y 2 , що міститься всередині циліндра x2 + y2 = 2 y .
300
19.17. частини поверхні параболоїда y =1 − x2 − z 2 , вирізаної циліндром x2 + z 2 =1 .
19.18.частини поверхні сфери x2 + y2 + z 2 = 4 , вирізаної циліндром 4x2 + y 2 = 4 .
19.19.частини площини z = y , що міститься всередині циліндраx2 + y 2 = 4 , вище площини z = 0 .
19.20.частини поверхні циліндра z = y2 , вирізаної площи-
нами x + y = 
2, x = 0, y = 0 .
19.21.частини поверхні параболоїда 2x = y2 + z 2 , вирізаної циліндром y2 + z 2 =1 .
19.22.частини поверхні сфери x2 + y2 + z 2 = 9 , вирізаної циліндром x2 + z 2 = 4 .
19.23.частини площини 2x + 1y + 4z =1, вирізаної координа-
тними площинами.
19.24.частини поверхні сфери x2 + y2 + z 2 = 4 , розташованої всередині циліндра x2 + y2 = 2 y .
19.25.частини поверхні циліндра x2 + y2 = 2 y , розташованої всередині сфери x2 + y2 + z 2 = 4 .
19.26.частини поверхні параболоїда z =1 − x2 − y2 , вирізаної циліндром x2 + y2 =1.
19.27.частини поверхні сфери x2 + y2 + z 2 = 9 , вирізаної
циліндром |
x2 |
+ y 2 =1 . |
|
9 |
|||
|
|
19.28.частини площини y = x , що міститься всередині циліндра x2 + z 2 = 4 ( y ≥ 0) .
19.29.частини поверхні параболоїда 2z = x2 + y2 , вирізаної циліндром x2 + y2 =1.