Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",
.pdf301
19.30.частини площини 2x + 3y + 6z = 6 , вирізаної координатними площинами.
Задача 20. Знайти потік векторного поля a через частину
площини (P), розташовану в першому октанті у напрямі век- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тора нормалі nr, який утворює гострий кут з віссю Oz. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20.1. |
r |
r |
r |
|
(P): x |
+ y + z =1. |
||||||||||||||||||||||||||||||
a |
= xi |
+ yj + zk , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
20.2. |
r |
r |
r |
(P): x + y + z =1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
a |
= yj |
+ zk , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
20.3. |
ar = 2xir + yrj + zk , |
|
(P): x + y + z =1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
20.4. |
r |
r |
r |
|
|
|
(P): x + y + z =1. |
|||||||||||||||||||||||||||||
a |
= xi |
+3yj + 2zk , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
20.5. |
ar = 2xir +3yrj, |
(P): x + y + z =1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
20.6. |
ar = xir + yrj + zk , |
(P): |
|
x |
+ y + z =1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
r |
r |
r |
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
20.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a |
= xi |
+ 2 yj + zk , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(P): 2 + y + z =1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ar = xir + yvj + zk , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
20.8. |
(P): x + |
y |
+ |
|
|
z |
|
|
=1. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
ar = yrj +3zkr, |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
20.9. |
(P): |
+ y + z =1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ar = 2xir + yrj + zk , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
||||||||||
20.10. |
|
(P): x + |
+ |
|
=1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||
20.11. ar = 2xir +3yrj + zk , |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||||
(P): 3 |
+ y + |
2 |
|
|
=1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
20.12. |
ar = 3xir+2zk , |
(P): x + |
y |
|
+ |
z |
|
=1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
20.13. ar = xir+3yrj − zk , |
(P): |
x |
+ y + |
z |
=1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
z |
|
|||||||||||||||||
20.14. |
ar = −2xir + yrj + 4zk , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(P): |
3 |
|
+ y |
+ |
|
|
2 =1. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
20.15. |
ar = xir− yrj +6zk , |
(P): |
x |
|
+ y + |
y |
=1. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
302
20.16. |
ar = 2xir +5 yj + 5zk , |
|
(P): |
x |
|
+ |
y |
|
+ z =1. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
2 |
|
y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20.17. |
a |
= xi |
+ yj + zk , (P) |
: 2x + |
|
|
+ z =1. |
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
ar = 2xir + yrj − 2zk , |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
20.18. |
|
(P): 2x + |
|
+ z =1. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
20.19. |
r |
r |
|
|
r |
|
|
(P): 2x + |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
= xi |
+ yj + 2zk , |
|
|
|
|
|
+ z =1. |
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
ar = −xir + yrj +12zk , |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
20.20. |
|
(P): 2x + |
|
+ z =1. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
z |
|
|
|
||||||
20.21. |
r |
|
|
|
|
(P): x + |
2 y + |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a |
= xi |
+ |
3yj |
+8zk , |
|
|
|
|
|
=1. |
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20.22. |
r |
r |
|
|
r |
|
|
(P): x + 2 y + |
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a |
= xi |
− yj + 6zk , |
|
|
|
|
|
=1. |
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
||||
20.23. |
r |
|
|
|
|
(P): x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
= xi |
+ |
2 yj |
+ 5zk , |
|
2 y + |
|
|
|
|
=1. |
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20.24. |
r |
r |
|
|
r |
|
|
(P): x + |
2 y + |
|
|
z |
|
|
|
||||||||||||||
a |
= xi |
+ |
4 yj |
+ 5zk , |
|
|
|
|
|
=1. |
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
r |
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20.25. |
|
|
|
(P): 2x +3y + z =1. |
|
||||||||||||||||||||||||
a |
= xi |
+ yj + zk , |
|
||||||||||||||||||||||||||
20.26. |
ar = 2xir |
+ yrj + zk , |
|
(P): 2x +3y + z =1. |
|
||||||||||||||||||||||||
20.27. |
ar = 2xir |
+ 3yrj + zk , |
|
(P): 2x +3y + z =1. |
|
||||||||||||||||||||||||
20.28. |
ar = 2xir |
+ 3yrj + 4zk , |
|
(P): 2x +3y + z =1. |
|
||||||||||||||||||||||||
20.29. |
r |
r |
+ |
r |
+8zk , |
|
(P): x +2 y +3z =1. |
|
|||||||||||||||||||||
a |
= xi |
9 yj |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
20.30. |
ar = 8xir |
+11yrj +17zk , |
(P): x +2 y +3z =1. |
|
|||||||||||||||||||||||||
Задача 21. Задані векторне поле |
r |
= |
|
|
|
|
r |
r |
і пло- |
||||||||||||||||||||
a |
|
Pi |
+Qj + Rk |
||||||||||||||||||||||||||
щина Ax + By +Cz + D = 0 (P), |
яка разом з координатними пло- |
||||||||||||||||||||||||||||
щинами утворює піраміду V . Нехай σ - основа піраміди, яка |
|||||||||||||||||||||||||||||
належить площині |
(P); L − контур, який обмежує σ; |
nr −зов- |
нішня нормаль до σ. Обчислити:
304
|
21.21. |
ar = (2z − x)ir + (x − y)j + (3x + z)k , (P): x + y + 2z = 2. |
||||||
|
21.22. |
ar = (x + z)ir |
+ (x + 3y)j + yk , |
|
(P): x + y + 2z = 2. |
|||
|
21.23. |
ar = (x + z)ir |
+ zj + (2x − y)k , |
(P): 2x + 2 y + z = 4. |
||||
|
21.24. |
ar = (3x + y)ir + (x + z)j + yk , |
|
(P): x + 2 y + z = 2. |
||||
|
21.25. |
ar = (y + z)ir |
+ (2x − z)j + (y + 3z)k , |
|||||
|
|
|
|
(P): 2x + y +3z = 6. |
|
|
||
|
21.26. |
ar = (y + z)ir |
+ (x + 6 y)j + yk , |
|
(P): x + 2 y + 2z = 2. |
|||
|
21.27. |
ar = (2 y − z)ir + (x + 2 y)j + yk , |
|
(P): x +3y + 2z = 6. |
||||
|
21.28. |
ar = (y + z)ir |
+ xj + (y − 2z)k , |
(P): 2x + 2 y + z = 2. |
||||
|
21.29. |
ar = (x + z)ir |
+ zj + (2x − y)k , |
|
(P): 3x + 2 y + z = 6. |
|||
|
21.30. |
av = (2z − x)ir + (x + 2 y)j +3zk , |
(P): x + 4 y + 2z = 8. |
|||||
r |
Задача |
r |
22. |
|
Перевірити, чи |
є векторне поле |
||
r |
|
r |
потенціальним і соленоїдним. У випадку по- |
|||||
a |
= Pi + Qj |
+ Rk |
||||||
тенціальності поля знайти його потенціал. |
||||||||
|
22.1. |
ar = (x2 |
− 2 yz)i + (y 2 − 2xz)j + (z 2 − 2xy)k . |
|||||
|
22.2. |
ar = (x2 |
+ yz)i + (2xy + z)j + (x2 |
|
− y 2 )k . |
|||
|
22.3. |
ar = (yz − 2x)i + (xz + 2 y)j + xyk . |
||||||
|
22.4. |
ar = yzir |
+ xzrj + xyk . |
|
|
|||
|
22.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ar = (x2 − y 2 − 2xz)i + (y 2 − z 2 − 2xy)j + (z 2 − x2 − 2zy)kr. |
|||||||
|
22.6. |
ar = (x2 |
− y 2 )i + (y2 − z 2 )j + (z 2 |
− x2 )k . |
||||
|
22.7. |
ar = (2xz + y)i + (x − 2 yz)j + (x2 |
− y 2 )k . |
|||||
|
22.8. |
ar = (9x +5 yz)i + (9 y +5xz)j + (9z +5xy)k . |
||||||
|
22.9. |
ar = (6x + 7 yz)i + (− 6 y + 7xz)j + (6z + 7xy)k . |
||||||
|
22.10. |
|
ar = (3x − yz)i + (3y − xz)j + (3z − xy)k . |
|||||
|
22.11. |
|
ar = (8x −5 yz)i + (8 y −5xz)j + (8z −5xy)k . |
|||||
|
22.12. |
|
ar = (x + 2 yz)i + (y + 2xz)j + (z + 2xy)k . |
305
22.13.ar = (5x + 4 yz)i + (5 y + 4xz)j + (5z + 4xy)k .
22.14.ar = (10x −3yz)i + (10 y −3xz)j + (10z −3xy)k .
22.15.ar = (7x − 2 yz)i + (7 y − 2xz)j + (7z − 2xy)k .
22.16.ar = (12x + yz)i + (−12 y + xz)j + (4 + xy)k .
22.17.ar = (−3x − 2 yz)i + (3y − 2xz)j − 2xyk .
22.18.ar = (4x −7 yz)i + (4 y − 7xz)j + (4z − 7xy)k .
22.19.ar = 8 yzir + (3y +8xz)j + (−3z +8xy)k .
22.20.ar = (20x + yz)i + xzj + (− 20z + xy)k .
22.21.ar = (x2 −6 yz)i + (y 2 −6xz)j + (z 2 −6xy)k .
22.22.ar = (5x2 −6 yz)i − (5 y 2 + 6xz)j − 6xzk .
22.23.ar = (7x2 −3yz)i +3xzj + (− 7z + 3xz)k .
22.24.ar = x2 ir + y 2 j + z 2 k .
22.25.ar = (x + z)ir + (y + z)j + (x + y)k .
22.26.ar = 2xyir + (x2 + z 2 )j + 2 yzk .
22.27.ar = (x + y − 2)i + (x + y)j − 2zk .
22.28.ar = (x + y +5z)i + (x +3y + z)j + (5x + y)k .
22.29.ar = xir + y 2 j + z 2 k .
22.30.ar = 2 yzir + 2xzj + (2xy + z)k .
306
11 Теорія функцій комплексної змінної. Операційне числення
Теоретичні питання
1.Комплексні числа. Різні форми представлення комплексних чисел. Дії над комплексними числами в алгебраїчній, тригонометричній та показниковій формах.
2.Поняття функції комплексної змінної. Границя і неперервність функції комплексної змінної.
3.Похідна функції комплексної змінної. Правила диференціювання. Геометричний зміст модуля і аргумента похідної.
4.Умови Коші-Рімана. Аналітичні функції. Гармонічні функції.
5.Функції zn ( n - ціле ), ez .
6. |
Функції sin z , cos z , |
tgz , ctgz , shz , chz , thz , |
cthz . |
7. |
Деякі багатозначні функції комплексної змінної: Lnz , |
||
|
Arcsin z , Arc cos z , |
Arctgz , Arcctgz , Arshz , |
Archz , Arthz , |
nz ( n - натуральне ).
8.Інтеграл від функції комплексної змінної: означення, властивості, обчислення.
9.Теорема Коші для простого і складного контура.
10.Інтегральна формула Коші.
11.Ряд Тейлора функції комплексної змінної. Розклад в ряд
за степенями z |
функцій ez , sin z , cos z , shz , chz , |
|
|
1 |
. |
|
1 |
− z |
|||||
|
|
|
12.Ряд Лорана функції комплексної змінної.
13.Ізольовані особливі точки функцій, їх класифікація.
14.Лишки функцій, їх обчислення. Основна теорема про лишки.
15.Застосування лишків до обчислення деяких невласних інтегралів і інтегралів від тригонометричних функцій дійсної змінної.
307
16.Перетворення Лапласа, його властивості. Зображення одиничної функції, функцій sin t , cost .
17.Теореми подібності і зміщення. Зображення функцій
sin at , cos at , e−αt , e−αt , e−αt sin at , e−αt cos at .
18.Диференціювання зображення. Зображення функцій tn , t sin at , t cos at , te−αt .
19.Диференціювання оригіналу. Застосування операційного числення до розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.
20.Теорема про згортку.
21.Інтеграл Дюамеля.
Розрахункові завдання
Задача 1. Знайти множину точок на площині комплексної змінної z , яка визначається заданими умовами. Зробити рисунок.
1.1. а) |
0 ≤ Im z ≤1 ; |
б) |
Re |
1 |
=1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.2. а) |
2 ≤ |
|
|
z −i |
|
|
< 4 ; |
|
|
б) |
|
z2 + z 2 |
=1. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.3. а) |
|
|
z +1 |
|
|
|
|
≤1; |
б) |
|
z |
|
−3Im z = 6 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.4. а) |
|
|
z −1 |
|
< |
|
|
|
z −i |
|
; |
|
|
б) |
Re |
1 |
|
= |
|
|
|
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z +1 |
8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.5. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
z −5 |
|
− |
|
z +5 |
|
> 8 ; |
б) |
|
z −i |
|
|
|
− |
|
z +i |
|
= 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6. а) 4 ≤ |
|
z −1 |
|
+ |
|
|
|
z +1 |
|
≤ 8 ; |
б) |
|
|
z −1 + 2i |
|
|
=1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.7. а) 1 < Re z ≤ 2 ; |
б) |
|
|
|
z −1 |
|
=1. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z + 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1.8. а) |
0 < Re(iz)<1; |
б) Re |
1 |
= 4 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.9. а) 1 − Re z < |
|
z |
|
; |
|
б) Im |
z −1 |
|
= 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z +1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
308
1.10. а) |
|
π ≤ arg(z −i)< |
π |
; |
|
б) |
|
Im |
1 |
|
=1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.11. а) Re(z + 2)≥ |
|
|
|
z |
|
; |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
z + i |
|
+ |
|
|
|
|
z −i |
|
= 4 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.12. а) Re z(1 −i)< |
|
1 |
; |
π |
|
б) |
|
|
|
|
z + 2i |
|
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.13. а) |
0 < arg(z + i)< |
; |
б) |
|
|
Re |
1 |
|
= |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1.14. а) Re |
|
|
|
|
|
|
≤ |
; |
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
z − 2 |
|
|
= |
|
1 − 2z |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1.15. а) Im z 2 |
<1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
z − 2 |
|
+ |
|
|
z + 2 |
|
= 5 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.16. а) Re z + Im z ≤ 2 ; |
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re(1 + z)= |
|
z |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.17. а) |
|
z |
|
|
− Re z ≤ 0 ; |
|
|
б) z2 + z 2 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.18. а) |
|
z −1 |
|
≤1; |
|
|
б) |
|
|
|
|
z |
|
|
|
= Re z +1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) 2zz + (2 + i)z + (2 −i)z = 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.19. а) Im |
1 |
|
|
|
|
< − |
1 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.20. а) |
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Re z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Im z ≤ 4 ; |
|
|
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.21. а) |
0 < Re(z +1)<1 ; |
|
б) Im z 2 |
= 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.22. а) Re z ≥ 2 ; |
|
|
б) Im z2 = 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.23. а) |
|
z |
|
> 2 + Im z ; |
|
|
б) Re z 2 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.24. а) |
0 ≤ arg(z −1)≤ |
π |
; |
б) Re |
|
z −1 |
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.25. а) |
|
z2 + z 2 ≤ 4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
б) |
|
|
Re z = Im z . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.26. а) Re |
1 |
|
|
|
|
≥ 4 ; |
|
|
б) |
|
|
z −1 |
|
= Re z . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.27. а) Re z2 |
|
≥ 4 ; |
|
|
б) |
|
|
z |
|
|
|
|
=1 + Im z . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.28. а) 0 < Rei(z −1)<1 ; |
б) Im |
|
1 |
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1.29. а) 1 ≤ |
|
z +1 +i |
|
< 2 ; |
|
б) Im |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.30. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
z +1 |
|
< |
|
z −1 |
|
; |
|
|
б) 3 |
|
z |
|
− Re z =12 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
309
Задача 2. Подати функцію w = f (z), де z = x +iy , у виді w = u(x, y)+iv(x, y) і, користуючись умовами Коші-Рімана,
перевірити, чи є вона аналітичною. Якщо так, то знайти значення її похідної в точці
2.1. |
w = z3 +3z −i , |
z0 |
=1 +i . |
|||||||||
2.2. |
w = eiz −1 , |
|
|
z0 |
= π −i . |
|||||||
2.3. |
w = (1 + 2z − z2 )i , |
|
z0 =1. |
|||||||||
2.4. |
w = z3 + z , |
|
z0 = |
2 |
i . |
|||||||
|
3 |
|||||||||||
2.5. |
w = z2 − 2z , |
|
|
|
|
|
||||||
z0 = i . |
||||||||||||
2.6. |
w = e1−2 z , |
z0 = |
π i . |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
2.7. |
w = |
, |
z0 |
=1 +i . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
z |
|
|
= π . |
|
|
|||||
2.8. |
w = e1−2iz |
, |
z0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
1 + 3 i . |
||
2.9. |
w = z2 + z + 2 , |
z0 |
= |
|||||||||
2.10. |
w = z2 + iz , |
|
|
|
|
2 |
||||||
z0 |
=1 + i . |
|||||||||||
2.11. |
w = (z −1)2 , |
z0 |
= 2 +i . |
|||||||||
2.12. |
w = e−z 2 |
, |
z0 |
= i . |
|
|
|
|
||||
2.13. |
w = 2z2 −iz , |
z0 |
=1 −i . |
|||||||||
2.14. |
w = zez , |
z0 |
= −1 +πi . |
|||||||||
2.15. |
w = (z + 2i)2 , |
z0 |
=1 −i . |
|||||||||
2.16. |
w = i(1 − z2 )− 2z , |
|
z0 =1. |
|||||||||
2.17. |
w = z3 + 2z +1 , |
z0 |
= −2 −i |
|||||||||
2.18. |
w = z2 + 3iz , |
z0 = |
1 |
−i . |
||||||||
2 |
||||||||||||
2.19. |
w = z3 + 5iz +i , |
|
|
|
|
|||||||
|
z0 =1 + i . |
310
2.20. |
w = |
|
z |
|
|
, |
z0 |
= 2i . |
|
|
||
z |
+ |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.21. |
w = |
i |
, |
|
|
z0 |
= 3i . |
|
|
|
||
z |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.22. |
w = |
|
|
|
, |
z0 |
= −1 + i . |
|
|
|||
z |
+ |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.23. |
w = eiz 2 |
, |
|
|
z0 = |
π i . |
|
|
||||
2.24. |
w = e−iz , |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
z0 = 0 . |
|
|
|||||||||
2.25. |
w = (iz)3 , |
z0 |
= −1 +i . |
|
|
|||||||
2.26. |
w = z3 − 2iz + 5 , |
z0 = i . |
|
|
||||||||
2.27. |
w = ze−2 z , |
z0 |
= πi . |
|
|
|||||||
2.28. |
w = 2z2 +iz + 2 , |
z0 = 2 −i . |
||||||||||
2.29. |
w = z −e−z |
, |
z0 |
= πi . |
|
|
||||||
2.30. |
w = i(z2 + 3z)− z |
, z0 =1 − |
1 |
i . |
||||||||
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3. Відновити аналітичну в околі точки z0 |
функцію |
f (z) за відомою дійсною u(x, y) або уявною v(x, |
y) части- |
ною і значенням f (z0 ). |
|
|
f (1 +i)= 2 +i . |
|||||
3.1. |
u = −2xy + 2x + y +1 , |
|||||||
3.2. |
v = 4xy + x + y +3 , |
f (1 −i)= 4 −i . |
||||||
3.3. |
u = x2 − y2 − 2xy + x +3 , |
f (−1 +i)= 4 +i . |
||||||
3.4. |
v = e−y sin x + y , |
f (0)=1 . |
f (−1 −i)= −5(1 +i). |
|||||
3.5. |
u = −x2 + y2 − 2xy + 2x −1 , |
|||||||
3.6. |
v = 2x2 − 2 y2 + x + y +1 , |
f (2 +i)= −8 +10i . |
||||||
3.7. |
1+2 y |
cos2x , |
|
π |
|
= −e |
3 |
. |
u = e |
f |
2 |
+i |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.8. |
u = x3 −3xy2 +3x , |
f (i)= 2i . |
|
|