Типовая задача

Пример.Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих и мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность= 2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равноt_об= 0,5 суток. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.

Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:

• вероятности состоянии системы;

• среднее число заявок в очереди на обслуживание;

• среднее число находящихся в системе заявок;

• среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;

• среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

Решение

Так как то каждая заявка будет рано или поздно обслужена:Р_отк=0, q=1,A=λq=λ.

1. Определим параметр потока обслуживаний

2. Приведенная интенсивность потока заявок

 =  /  = 2,5 / 2,0 = 1,25,

при этом  / (n) = 2,5 / (23) = 0,41.

Поскольку /(n)<1, то очередь не растет безгранично, и в системе наступает предельный стационарный режим работы.

3. Вычислим вероятности состояний системы:

4. Вероятность отсутствия очереди у мастерской

P_от.оч = P₀ + P₁ + P₂ + P₃  0,285 + 0,356 + 0,223 + 0,092 = 0,987.

5. Среднее число заявок в очереди на обслуживание при

.

6. Среднее число находящихся в системе заявок

.

7. Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание

t_ож=0,113/2,5=0,0452 суток.

8. Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (системе)

t_сист=0,0452+0,5=0,5452 суток.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Автозаправочная станция (АЗС) с двумя колонками (n= 2) предназначена для обслуживания машин. Поток машин, прибывающих на АЗС, имеет интенсивность λ = 2 (машины в минуту); среднее время обслуживания одной машины 2 мин .

Площадка у АЗС может вместить очередь не более m= 3 (машин). Машина, прибывшая в момент, когда все три места в очереди заняты, покидает АЗС (получает отказ). Найти характеристики СМО:

• вероятность отказа;

• относительную и абсолютную пропускную способности;

• среднее число занятых колонок;

• среднее число машин в очереди;

• среднее время ожидания и пребывания машины на АЗС.

Лабораторная работа №5 «смо с ограниченным временем ожидания»

Цель работы:приобрести навыки, ознакомится с различными методами расчета производительности СМО с ограниченным временем ожидания

Теоретическая часть

Предположим, что имеется n– канальная СМО с ожиданием, в которой число мест в очереди не ограничено, но время пребывания заявки в очереди ограничено некоторым случайным срокомТ_оч.со средним значение_оч., таким образом, на каждую заявку, стоящую в очереди, действует как бы «поток уходов» с интенсивностью

.

Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. Найдем для него вероятности состояний. Будем снова нумеровать состояния системы по числу заявок, связанных с системой – как обслуживаемых, так и стоящих в очереди:

S₀– все каналы свободны,

S₁– занят один канал,

S₂– заняты два канала,

Формулы для расчета характеристик СМО будут следующие:

вероятность того, что все посты свободны:

,

где β=ν/μ.

вероятность того, что занято k постов и r заявок стоит в очереди

;

абсолютная пропускная способность:

;

относительная пропускная способность:

;

среднее число заявок в очереди:

среднее число занятых каналов: