Типовая задача

Пример.Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность =0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.

Решение.

Интенсивность обслуживания автомобилей:

.(авто/час)

Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей и,т. е.

Вычислим предельные вероятности системы:

Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

P_отк = P₄ = ⁴P₀  0,158.

Относительная пропускная способность поста диагностики:

q = 1 - P_отк= 1 - 0,158 = 0,842.

Абсолютная пропускная способность поста диагностики

А = q = 0,85  0,842 = 0,716(автомобиля в час).

Среднее число автомобилей, находящихся в системе – среднее число заявок, находящихся в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:

Среднее время пребывания автомобиля в системе складывается из среднего времени ожидания в очереди и продолжительности обслуживания (если заявка принята к обслуживанию):

Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Р_отк= 0,158).

Задачи для самостоятельного решения

Задание 1.Вспомним о ситуации, рассмотренной в задаче 1, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена.

Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:

• вероятности состояний системы (поста диагностики);

• среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);

• среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди);

• среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;

• среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.

Задание 2. На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностьюλ= 2 (состава в час). Среднее время, в течение которого горка обрабатывает состав, равно 0,4 часа. Составы, прибывшие в момент, когда горка занята, становятся в очередь и ожидают в парке прибытия, где имеются три запасных пути, на каждом из которых может ожидать один состав. Состав, прибывший в момент, в очередь на внешний путь. Все потоки событий – простейшие. Найти:

• среднее число составов, ожидающих очереди (как в парке прибытия, так и вне его);

• среднее время ожидания состава в парке прибытия и на внешних путях;

• среднее время нахождения состава на сортировочной станции (включая ожидание и обслуживание);

• вероятность того, что прибывший состав займет место на внешних путях.