Задача для самостоятельного решения

Задание. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телефонном ателье поступают с интенсивностью, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефонуt_o6=2 мин.

Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

Лабораторная работа №2 «Одноканальная смо с ожиданием»

Цель работы: приобрести навыки, ознакомится с различными методами расчета производительности многоканальной модели массового обслуживания

Теоретическая часть

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью . Интенсивность потока обслуживания равна(т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдаватьобслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более Nтребований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 2.

Рис. 0.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема гибели и размножения)

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S₀­ «канал свободен»;

S₁­ «канал занят» (очереди нет);

S₂– «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);

S_k– «канал занят» (k-1заявок стоит в очереди);

S_m+1– «канал занят» (mзаявок стоит в очереди).

Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

Пользуясь уравнениями для процесса гибели и размножения получим:

(0.0)

где – приведенная интенсивность (плотность) потока;

Тогда вероятность что занят 1 канал и к-1 мест в очереди:

Следует отметить, что выполнение условия стационарности < 1 для данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышатьm), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением.

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N- 1):

вероятность отказа в обслуживании заявки;

; (0.0)

относительная пропускная способность системы:

; (0.0)

абсолютная пропускная способность:

А = q; (0.0)

среднее число заявок, находящихся в очереди:

; (0.0)

среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:

(0.0)

среднее число заявок, находящихся в системе(связанных с СМО):

; (0.0)

среднее время пребывания заявки в системе:

Т_сист.= Т_ож. + t_об; (0.0)

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

. (0.0)

Если имеется неограниченное число мест ожидания в очереди m, то вышеуказанные формулы справедливы только приρ < 1, так как приρ 1 нет установившегося режима (очередь неограниченно растет) и приq=1, A=λq=λ.

Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.