2.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа

 

2.2. Использование интерполяционного многочлена для вычисления производной.

Итерационныеметоды. Общая схема

2.3. Итерационные методы. Общая схема

Рассмотрим общее описание метода итераций для системы линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей В этом случае по некоторому алгоритму, начиная с выбранного вектора строится последовательность векторов.

При этом вектор выражается через известные предыдущие вектораЕсли при вычислениииспользуется только вектор, то итерационный метод называется одношаговым (или двухслойным) методом.

Общий вид линейного одношагового метода

(18)

Важную роль играет запись итерационных методов в единой (канонической) форме.

Она имеет вид:

, (19)

где A - матрица исходной системы уравнений (1),

- некоторая последовательность невырожденных матриц,

- итерационные параметры, 

Связь между записью итерационного метода в виде (18) и в виде (19) выражается формулами:

Выбирая различным образом и, можно получить разные варианты итерационных методов, которые различаются скоростью сходимости, сложностью реализации.

Если - единичная матрица, то метод называют явным:находится по явной формуле

(20)

В общем случае, при , метод называют неявным итерационным методом: для определениянадо решать систему уравнений

(21)

Естественно требовать, чтобы объем вычислений для решения системы (21) был меньше, чем объем вычислений для исходной системы (1).

Точность метода характеризуется величиной погрешности , т.е. разностью между решениемуравнения (19) и точным решениемисходной системы линейных алгебраических уравнений. Подстановкав (19) приводит к системе уравнений для погрешности:

(22)

Говорят, что итерационный метод сходится, если при.

В случае, когда и(и- соответственно) не зависят от номера итерацииk, итерационный метод называется стационарным (иначе - нестационарным).

Критерий сходимости стационарного линейного одношагового итерационного метода

(23)

формулируется в теореме 1.

Теореме 1. Метод (23) сходится для любого начального приближения тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы переходаS по модулю меньше единицы.

Доказательство.

Необходимость. Пусть некоторое собственное число матрицы перехода по модулю больше единицы. Возьмем в качестве начального приближения вектор, гдеs - собственный вектор, соответствующий собственному числу .

Тогда ,

при .

Если , топри.

Достаточность. Пусть матрица S имеет n линейно независимых собственных векторов (т.е. является матрицей простой структуры): , соответствующих собственным числам, каждое из которых по модулю меньше единицы. Разложим погрешность начального приближенияпо базису из собственных векторов.

Тогда

где (спектральный радиус). Так как, топри, т.е. метод сходится.

Замечание. В общем случае, когда система собственных векторов матрицы S не является полной, доказательство достаточности проводится с использованием жордановой формы матрицы.

В качестве следствия из теоремы 1 можно получить легко проверяемые на практике достаточные условия. Норма матрицы S, согласованная с векторной нормой удовлетворяет неравенству для любого вектораx. Так как для максимального по модулю собственного числа матрицы S и соответствующего собственного вектора y выполняется равенство , то для любой согласованной нормы матрицы.

Примерами легко вычисляемых согласованных норм являются:

, .

Таким образом, выполнение любого из неравенств ,достаточно для сходимости итерационного метода.

Достаточные условия сходимости для итерационного метода, записанного в канонической форме, содержатся в следующей теореме, которая приводится без доказательства.

Теорема 2. Пусть A - симметричная положительная матрица и выполнено условие

(24)

Тогда метод итераций

(25)

сходится.

Напомним, что матрица положительная, если для любого ненулевого вектора x (Ax,x)>0.

Неравенство (24) означает, что для любого ненулевого вектора x матрица положительна.

не стремится к нулю при .