4.8.2. Погрешность аппроксимации

Определим порядок аппроксимации двухточечной явной схемы Адамса (15):

.

Разложим в этом представлении слагаемые по степеням:

,

.

Получим такое выражение для погрешности аппроксимации:

.

Учитывая теперь, что иОшибка! Закладка не определена., получим результат:

,

т.е. двухшаговая явная схема Адамса имеет второй порядок аппроксимации.

4.8.3. Устойчивость на модельной задаче

Исследуем устойчивость разностной схемы (15) на модельной задаче

,,.

Для модельного уравнения схема примет вид

или

Ошибка! Закладка не определена..

Последнее уравнение является частным случаем трехточечного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами:

(16)

В уравнении (16) любое его решение однозначно определяется заданием значений в двух соседних узлах сетки. Действительно, зная , находим, и т.д. Если- два линейно независимых решения уравнения (16), то общее решение этого уравнения можно записать в виде линейной комбинации:

(17)

Убедимся, что формула (17) в самом деле дает общее решение уравнения (16). Пусть - некоторое решение (16), и- его значения в узлах. Тогда из (17) получаем систему

которая однозначно разрешима относительно в силу линейной независимости решений.

Общее решение (17) можно найти явно. Для этого находим два решения вида , подставляяв уравнение (16). В таком случае получается квадратное уравнение относительно:

.

Для устойчивости разностной схемы должно выполняться неравенство

(18)

В нашем случае , поэтому неравенство (18) будет выполняться, еслиКвадратное уравнение дляв нашем случае имеет вид

, где.

Заметим, что дискриминант этого уравнения всегда положителен, поскольку

.

Кроме того, заметим, что в квадратном уравнении вида

условие на корни выполняется, если, т.к.

.

В нашем случае , поэтому условие устойчивости запишется как неравенство

,

выполняющееся при

.

Таким образом, условие устойчивости двухточечной схемы Адамса на модельной задаче принимает вид ( допустимый шаг в два раза меньше, чем в схеме Эйлера).

Явный двухшаговый метод Адамса.

Двухшаговая схема Адамса имеет вид:

.

Погрешность аппроксимации этой схемы имеет второй порядок по . Для начала работы схемы необходимо знать не только, но и, значение которого можно определить с помощью рассмотренного выше метода Рунге-Кутты. Тогда решение исходной задачи Коши средствами пакета MathCAD примет вид:

Явный двухшаговый метод Адамса.

Двухшаговая схема Адамса имеет вид:

.

Погрешность аппроксимации этой схемы имеет второй порядок по . Для начала работы схемы необходимо знать не только, но и, значение которого можно определить с помощью рассмотренного выше метода Рунге-Кутты. Тогда решение исходной задачи Коши средствами пакета MathCAD примет вид:

4.7. Многошаговые схемы. Метод Адамса

4.7.1. Сценарий построения разностных схем

В разделе 3.2.1. был приведен общий вид разностной схемы для многошаговых методов. В частности, для решения задачи Коши

,.

наиболее употребительными являются -шаговые методы вида

,,(12)

Рассмотренные нами в предыдущих разделах одношаговые методы являются частными случаями формулы (12). Например, при ,,,получаем явную схему Эйлера.

Схема (12) будет явной, если ( в таком случае она называется экстраполяционной). Значениябудут тогда определяться из предыдущих значений по явной формуле

.

Вычисления начинаются с . Чтобы найти, надо знать значения сеточной функции. Значенияприходится вычислять с помощью какого-нибудь другого метода (например, Рунге - Кутта), используя начальное условие. Если же, то схема (12) будет неявной (интерполяционной). Тогда для нахождениянеобходимо решать нелинейное уравнение

Это уравнение можно решать, например, методом Ньютона.

Погрешность аппроксимации схемы (12) определяется формулой

, (13)

где - точное решение задачи Коши. Если, то схема имеет порядок аппроксимации, равный.

Коэффициенты в схеме (12) выбираются из условий аппроксимации и устойчивости. Кроме того, поскольку коэффициенты схемы определены с точностью до постоянного множителя, можно считать, что

.

Второе условие можно получить из того факта, что функция есть решение дифференциального уравнения при. В таком случае из (12) имеем

.

Разлагая (13) по степеням и требуя, чтобы погрешность имела заданный порядок, получим остальной набор условий для нахождения.

Исторически первые многошаговые схемы появились способом, отличным от вышеизложенного. Если проинтегрировать дифференциальное уравнение на отрезке , то получим формулу

.

Заменяя теперь в этом соотношении интеграл некоторой квадратурной формулой, выведенной с помощью замены подинтегральной функции интерполяционным многочленом, построенным по узлам , получим разностную схему Адамса. Ее можно записать в виде

, (13)

где

- квадратурная формула для интеграла. Очевидно, что формула (13) - частный случай разностной схемы (12).