3.7.2. Формула трапеций.

Построение.

Аппроксимируем подинтегральную функцию интерполяционным многочленом 1-й степени

Тогда (66)

Геометрический смысл этой формулы - площадь трапеции, у которой одна из сторон это хорда, соединяющая точки графика , соответствующие и .

Оценка погрешности.

Обозначим . Тогда

, .

Дифференцируя по , получаем:

, .

Теперь интегрируя по , находим:

Используя теорему о среднем получаем: , где .

Еще раз интегрируя и применяя теорему о среднем, получаем

Отсюда следует оценка погрешности квадратурной формулы трапеций:

(67)

При разбиении отрезка на промежутков () длины , получаем обобщенную формулу трапеций:

(68)

Из (67) следует оценка погрешности обобщенной формулы

(69)

3.7.3.Формула Симпсона (парабол).

Построение.

Аппроксимируем подинтегральную функцию интерполяционным многочленом 2-й степени, совпадающим с в точках .

(70)

Заменяя Ошибка! Закладка не определена., гдеи интегрируя (70), получаем

Таким образом, квадратурная формула имеет вид:

(71)

Она называется квадратурной формулой Симпсона или формулой парабол (т. к. дуга кривой заменяется на дугу кривой второго порядка).

Оценка погрешности .

Для получения выражения остаточного члена, которое позволяет установить оценку погрешности, используется тот же прием последовательного дифференцирования, а затем интегрирования, что применялся в предыдущем случае. Введем обозначение . Последовательно получаем:

,

Теперь интегрируем по , учитывая что , и применяя каждый раз теорему о среднем:

Наконец

(72)

Отсюда, кстати, следует, что для многочленов до 3 - й степени включительно. Из (72) получаем оценку погрешности формулы Симпсона:

, где (73)

Разбивая промежуток на равных частей точками , и применяя формулу (71) к каждому из частичных промежутков длины , получаем обобщенную формулу Симпсона:

Оценка погрешности этой формулы следует из (72):

(74)

3.7.4. Оценка погрешности численного интегрирования.

Оценки погрешности квадратурных формул, полученные в предыдущем разделе, дают представление о влиянии исходных данных задачи (подинтегральной функции, длины промежутка интегрирования) на величину погрешности.

В случае обобщенных квадратурных формул эти оценки содержат параметр - длину каждого из равных частичных промежутков, на которые разбивается отрезок . При (т.е. когда число частичных промежутков ) погрешность каждой из этих квадратурных формул стремится к нулю. Причем скорость стремления к нулю (порядок малости относительно ) для разных квадратурных формул у этих оценок разная: от у обобщенных формул левых (правых) прямоугольников до у оценки погрешности обобщенной формулы Симпсона. Показатель степени в этих оценках еще называют порядком точности квадратурной формулы.

Практически использование оценок (65) , (69), (74) затруднено, а иногда и не возможно из-за наличия в них величин , , - верхних границ абсолютных значений соответствующих производных подинтегральной функции.

Исходя из формул, выражающих остаточные члены квадратурных формул через значения производных подинтегральных функций, можно получить представление для остаточных членов вида (31), которые позволяют использовать для оценки погрешности интегрирования метод Рунге.

Например, выражение для остаточного члена формулы трапеций имеет вид:

.

Для остаточного члена обобщенной формулы трапеций получаем:

, где

- это интегральная сумма для , т.е.

, где - это величина, стремящаяся к нулю при (). Таким образом, для погрешности обобщенной формулы трапеций имеем формулу вида:

, где (75)

Аналогично, для погрешности обобщенной формулы Симпсона выводится формула , где выражается через интеграл от производной четвертого порядка подинтегральной функции. Тогда первая формула Рунге (31) дает оценку погрешности значения интеграла, вычисленного о обобщенной квадратурной формуле с шагом () через это приближение и приближение, вычисленное с шагом ():

для формулы трапеций ,

для формулы Симпсона .

Пример использования