Численные методы

С СИСТЕМОЙ MathCAD

Учебно-методический комплекс для изучения алгоритмов решения математических задач с использованием системы MathCad Рассматриваются методы, алгоритмы и их реализация в среде системы MathCAD для численного решения различных математических задач, встречающихся в курсах высшей математики, вычислительной математики, математического моделирования для физико-математических и инженерных специальностей вузов.

Комплекс предназначен для:

- Обучение студентов физико-математических и инженерных специальностей вузов

- Переподготовка специалистов в области численного решения математических задач.

Комплекс состоит из: - Учебное пособие по курсу численных методов. - Учебно-справочное пособие по пакету MathCAD. - Задания для практических работ в среде пакета  MathCAD. - Раздаточный материал для лекций. - Набор MathCAD-документов с алгоритмами решения типовых задач - Методические рекомендации для преподавателя

Комплекс позволяет получить: - Теоретические знания по методам численного решения математических задач, свойствам и возможностям вычислительных алгоритмов. - Умение работать с пакетом MathCAD, как средством реализации на ЭВМ вычислительных алгоритмов. - Навыки численного решения типовых задач из различных областей математики

Версия учебно - методического комплекса по численным методам разработана на кафедре Информатики и Математического Обеспечения Петрозаводского государственного университетагруппой преподавателей и студентов в составе:

Сиговцев Генадий Сергеевич, заведующий кафедрой имо

Чарута Марина Анатольевна, преподаватель

Гладышев Павел, студент 4-го курса МФ

Галактионов Антон, студент 4-го курса МФ

Аннотация

Данное учебное пособие предназначено для преподавателей, проводящих лекционные и практические занятия по курсу "Компьютерная технология изучения алгоритмов решения математических задач на базе системы MathCAD", и слушателей этого курса. Пособие содержит методы приближенного решения некоторых базовых типов математических задач, встречающихся в курсах высшей математики, вычислительной математики, математического моделирования для физико-математических и инженерных специальностей вузов. Рассматриваемые методы решения сгруппированы в три раздела: численные методы алгебры, численные методы анализа и численные методы решения дифференциальных уравнений.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Развитие численных методов решения задач. Понятие вычислительного эксперимента. Классификация и элементы анализа погрешностей приближенных вычислений

Численные методы алгебры

Итерационные методы решения алгебраических уравнений и систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений. Приближенные методы нахождения собственных чисел и собственных векторов матриц

Численные методы математичекого анализа

Приближения функций интерполяционными многочленами и сплайнами. Среднеквадратичные приближения. Численное дифференцирование и интегрирование.

Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений

Одношаговые и многошаговые разностные схемы для задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. Разностные схемы для краевых задач для ОДУ 2-го порядка.

Введение

1.Роль численных методов

2.Источники и классификация погрешностей

3.Погрешности арифметических операций

Роль численныхметодов

Понятие точного и приближенногорешения математической задач Суть метода математического моделирования Развитие инструментальных средств вычислений.

Вычислительный эксперимен. как современная компьютерная форма метода математического моделирования. Технологическая цепочка вычислительногоэксперимента. - построение математической модели - конструирование вычислительного алгоритма - реализация алгоритма на ЭВМ - проведение расчетов - анализ результатов.

Метод вычислительной математики.

Источники и классификацияпогрешностей

Источники погрешностей: - погрешность модели - погрешность метода - вычислительная погрешность.

Абсолютная и относительнаяпогрешность приближенного значения.

Погрешности арифметическихопераций

Оценка абсолютной погрешностизначения функции через погрешности ее аргументов.

Оценки абсолютной и относительной погрешностей арифметическихопераций: - сложение - вычитание - умножение - деление.

Обратная задача оценкипогрешности.

Методы решенияалгебраических уравнений

Этапы приближенного решенияуравнения - поиск начального приближения или отрезка, содержащего корень - уточнение приближенного решения иетационным методом

Метод деления отрезка пополам(метод дихотомии) (на каждом шаге итерационного процесса отрезок, содержащий корень, делится пополам)

Метод хорд (на каждом шаге итерационного процесса кривая на отрезке, содержащем корень, заменяется хордой)

Метод Ньютона (метод касательных) (на каждом шаге итерационного процесса кривая на отрезке, содержащем корень, заменяется касательной)

Примеры решения алгебраических уравнений метод хорд метод касательных комбинированный метод хорд и касательных с помощью встроенной функции root