МетодЭйлера

4.3. Метод Эйлера

4.3.1. Разностная схема

Метод Эйлера - простейший одношаговый метод. Его можно выводить из разных соображений. Например, пусть - скалярная непрерывно дифференцируемая функция, т.е. в каждой точкесуществует производная

.

Тогда при малых

,

и выражение может использоваться в качестве разностной аппроксимации для первой производной. Рассмотрим задачу Коши для одного скалярного уравнения

,

на отрезке и в узлах сетки заменим производную ее разностной аппроксимацией. В результате получим систему уравнений для нахождения сеточной функции:

,,

Эта система уравнений называется разностной схемой Эйлера. Для нахождения имеем явную формулу

Аналогично можно получить неявную схему Эйлера

,

если с самого начала использовать в качестве разностной аппроксимации для производной выражение .

4.3.2. Погрешность аппроксимации

Если в разностную схему подставить точное решение исходной задачи, то возникнет невязка (точное решение не удовлетворяет разностной схеме). Эта невязка называетсяпогрешностью аппроксимации разностной схемы:

, где.

С учетом того, что , можно получить дляследующее выражение:

Если ввести теперь норму погрешности аппроксимации ,то она также будет иметь первый порядок малости относительно:. В связи с этим говорят, что явная схема Эйлера имеет первый порядок аппроксимации.

То же верно и для неявной схемы Эйлера. Действительно, для нее

,

поэтому .

4.3.3. Сходимость

Пусть - погрешность приближенного решения в узлах сетки, т.е.. Тогда,, кроме того,

,.

Следовательно, можно получить соотношение

,

или

, гдепри.

В итоге получим

,

или

.

Таким образом, если выполнены условия

и, (1)

то ,, и, пользуясь тем, что, получим неравенство

.

Итак, можно сделать вывод, что при выполнении условий (1) при, т.е. метод Эйлера сходится к точному решению с первым порядком относительно шага сетки (имеет первый порядок точности).

В случае неявной схемы Эйлера для погрешности решения получим формулу

т.е.

.

Если поставить условие

,

то будет справедливо соотношение , тогда

.

Отсюда, как уже было показано, следует, что

при.

Пример решения задачи Коши

Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пример. Решить задачу Коши:

,

на отрезке с шагомс помощью различных методов. Известно точное решение задачи Коши:.

Начальные данные в пакете MathCAD вводятся для всех методов одинаково:

Простейший метод Эйлера первого порядка точности. Введем равномерную сетку и воспользуемся разностной схемой

Результаты представлены в виде графиков:

Неявный метод Эйлера.

Мы можем воспользоваться другой разностной схемой, также имеющей первый порядок точности:

.

В таком случае для определения на каждом шаге приходится решать нелинейное уравнение. Для этого можно использовать встроенную функциюпакета MathCAD. В качестве начального приближения дляпредлагается взять начальное значение.

Метод Рунге-Кутты второго порядка точности.

Согласно этому методу, для решения задачи Коши используется семейство разностных схем вида

.

Все эти схемы при любом параметре имеют порядок аппроксимации. В частности, причисленное решение исходной задачи Коши принимает вид: