3.1.3. Остаточный член

В узлах многочлен Лагранжа совпадает с заданной функцией, в остальных точках в общем случае не совпадает с (кроме случая, когда многочлен степени не выше ). Разность - - остаточный член. Запишем ее в виде .

При . Найдем постоянную такую, чтобы в некоторой фиксированной точке , в которой мы рассматриваем погрешность.

Относительно будем предполагать кратную дифференцируемость.

Значение c, при котором существует и равно . Тогда функция равна нулю по крайней мере в точках .

По теореме Ролля производная равна нулю по крайней мере в точках . Далее, равна нулю по крайней мере в n точках и т.д.

Для - производной получаем, что существует по крайней мере одна точка такая, что .

Отсюда получаем при . В этом случае в точке , т.е. остаточный член в точке имеет вид:

Значение зависит от - точки, в которой рассматривается погрешность.

Оценка остаточного члена:

,

где

Минимизацияостаточного члена

3.2. Минимизация остаточного члена

3.2.1. Постановка задачи

- остаточный член формулы Лагранжа.

Для получено выражение :

(7)

Оно получено в предположении, что производная существует и ограничена. Для одной определенной функции точность интерполирования характеризуется величиной .

Если интерполируется некоторое множество функций , то точность можно оценить величиной:

Oна зависит только от выбора узлов .

Пусть

Задача: найти такие узлы для которых величина (8)

минимальна.

Задача (8) есть задача об определении на многочлена степени , все корни которого простые и лежат на , наименее отклоняющегося от нуля.

3.2.2. Многочлены Чебышева

Пусть . Рассмотрим функцию вида:

(9)

При :

При : ,

При используем тригонометрическое тождество

Пусть многочлен степени . Получим рекурентное соотношение, связывающее .

Сложим почленно эти равенства и перенесем в другую сторону. Получим

(10)

Полагая в (10) , получим

(11)

Из (11) следует, что многочлен степени . Коэффициент при равен .

Корни многочлена Чебышева :

(12)

Формула (12) дает различных значений при . Значение при других значениях совпадает с одним из значений из указанных. Например, при получаем то же значение, что и при :

Значения при совпадают со значениями при и т.д.

на отрезке [-1,1] равен 1. Он достигается в точках, когда

.

, (13)

Покажем, что среди всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 многочлен наименее отклоняется от нуля на отрезке [-1,1].

Покажем, что для любого со старшим коэффициентом 1

.

Разность есть многочлен степени . В точках принимает поочередно значения +1, -1. Если , то разность в точках будет принимать поочередно положительные и отрицательные значения и будет иметь нулей (между значениями ). Получаем противоречие.

3.2.3. Минимизация оценки остаточного члена

Пусть приближена на отрезке интерполяционным многочленом степени . Оценка остаточного члена:

.

Величина на отрезке [-1,1] будет минимальна, если окажется многочленом . совпадает с этим многочленом, если в качестве узлов интерполяции взять корни многочлена Чебышева , вычисляемые по формуле (12).

Сделаем замену , задающую отображение [-1, 1] в отрезок. Отсюда . Тогда и многочлен является наименее уклоняющимся от нуля многочленом степени со старшим коэффициентом 1 на отрезке . Нули определяются формулой

.

Если в качестве узлов интерполяции взять эти значения, то

и для нее на отрезке

- минимальная величина. Тогда оценка остаточного члена будет .