1.3. Итерационные методы решения систем уравнений

1.3.1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.

Тема: Решение системы линейных уравнений методом Зейделя с точностью .

Пример.

Для вычисления по формулам составляются матрицы A1 (из исходной матрицыAберутся диагональные элементы) иA2 (из исходной матрицыAберутся элементы, стоящие ниже главной диагонали).

В качестве начального приближения берется произвольный вектор (можно взять вектор правых частей). Задается количество итераций.

 

Вычисления по формулам производятся до тех пор, пока не совпадут две последние итерации.

За решение системы можно принять результат последней итерации.

1.3.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом релаксации.

Тема: Решение системы линейных уравнений методом релаксации с точностью .

Пример.

Выбирается параметр релаксации. В качестве начального приближения берется вектор правых частей.

Вычисления производятся по формуле до тех пор, пока не совпадут две последние итерации.

1.4. Вычисление собственных чисел и собственных векторов матрицы.

Тема: Вычисление собственных чисел и собственных векторов матрицы методом вращения.

Пример.

В исходной матрице выше главной диагонали выбирается максимальный элемент. Определяется угол поворота.

Строится ортогональная матрица простого поворота. Угол подбирается так, чтобы у матрицы A0 элементобратился в нуль.

Дальнейшие преобразования проводятся аналогично.

Через конечное число шагов получена матрица, на главной диагонали которой стоят собственные числа исходной матрицы.

Столбцы матрицы U являются нормированными собственными векторами исходной матрицы.

2.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа

 

2.2. Использование интерполяционного многочлена для вычисления производной.

2.3. Интерполяционный кубический сплайн

2.4. Метод наименьших квадратов

2.5. Квадратурные формулы

2.5.1. Формула трапеций

 

2.5.2. Формула Симпсона

[

Оценкапогрешности и мера обусловленности

2.5. Оценка погрешности и мера обусловленности

Предположим, что матрица системы линейных уравнений и вектор правых частей заданы неточно и вместо предъявленной к решению системы

(30)

в действительности решается некоторая система

, где  (31)

Обозначим решения (30) и (31) через  и 

Оценим погрешность решения .

Подставим выражения ,  и  в (31)

Вычитая (30), получим

(32)

Если малы  и , то следует ожидать и малости . Тогда слагаемое  имеет более высокий порядок малости.

Отсюда следует оценка погрешности

. (33)

Довольно распространен случай, когда погрешность матрицы системы существенно меньше погрешности правой части; в качестве модели этой ситуации будем рассматривать случай точного задания матрицы системы. Тогда, полагая  в (33) имеем

(34)

Для качественной характеристики связи между погрешностями правой части и решения вводится понятие обусловленности матрицы системы. Абсолютные погрешности правой части и решения системы зависят от масштабов, которыми измеряется эти величины и матрица системы. Поэтому правильнее характеризовать свойства системы через связь между относительными погрешностями правой части и решения.

Для относительной погрешности решения из (34) имеем

(35)

отсюда .

Подставляя оценку для  в (35) имеем

(36)

Величину  называют мерой обусловленности матрицы.

Величина относительной погрешности решения при фиксированной величине относительной погрешности правой части может стать сколь угодно большой при достаточно большой мере обусловленности матрицы. Число обусловленности зависит от выбора нормы матрицы. Любая норма матрицы не меньше ее наибольшего по модулю собственного значения, т. е. . Собственные значения матрицы  и  взаимно обратны; поэтому .

Таким образом,

Системы уравнений и матрицы с большими значениями мер обусловленности принято называть плохо обусловленными, а с малыми - хорошо обусловленными.