2.1.3. Метод Ньютона

Геометрический смысл метода Ньютона (метода касательных) заключается в том, что на отрезке содержащем корень уравнения (1) график функциизаменяется отрезком касательной, проведенной к графикуприили. (Предполагая что функциядифференцируема на.)

При этом используется только одна точка, поэтому не обязательно задавать отрезок , содержащий корень, достаточно задать некоторое приближение.

Уравнение касательной в точке 

.

Для точки пересечения с осью 0x получаем

, и т. д.

(8)

Объем вычислений в методе Ньютона на каждом шаге выше, чем в предыдущих методах, т. к. в точке вычисляются значения функции и ее производной, что компенсируется более высокой скоростью сходимости этого метода.

Но в отличие от предыдущих методов метод Ньютона сходится не при всяком выборе начального приближения на отрезке, содержащем корень уравнения.

Легко проверить, что примером достаточных условий сходимости метода будет сохранение знака второй производной f(x) на некотором промежутке, содержащем корень, и выбор начального приближения с той стороны от корня, где знак функции совпадает со знаком второй производной.

При этом последовательные приближения будут сходится к корню монотонно.

Другой вариант достаточного условия сходимости получается при исследовании скорости сходимости вблизи корня

Перепишем формулу (8) в виде

Используя для разности разложение по формуле Тейлора до членов второго порядка, получим

.

Отсюда

, (9)

где .

Из неравенства (9) следует, что

при (10)

Условие (10) можно рассматривать как ограничение на выбор начального приближения: выполнение неравенства

достаточно для сходимости метод.

Если погрешности приближенных решений, полученных некоторым методом, удовлетворяют неравенству вида (9) (где ), то говорят, что метод имеет квадратичную скорость сходимости.

Наличие показателя степени 2 в правой части неравенства (9) определяет большее убывание погрешности приближенных решений, полученных методом Ньютона, по сравню, например, с методом хорд.

Оценки погрешности приближенных решений могут быть получены в аналогичном методу хорд виде. Из формулы (8) следует

-f(xn) = (xn+1 - xn )f'(xn),

отсюда получается формула, аналогичная (4)

( x* - xn )= ( xn+1 - xn )f'(xn).

Из этой формулы вытекает оценка (6)

.

Для погрешности приближенного решения также справедлива и оценка (7)

 

Примеры решения алгебраических уравнений

1.1. Методы решения алгебраических уравнений

1.1.1. Приближенное решение уравнений методом хорд.

Тема: Графическое отделение и вычисление методом хорд наименьшего положительного корня уравнения f(x)=0 с точностью.

Пример.

Для графического отделения корня необходимо построить график функции f(x), составив таблицу значений функции на интервале [0,2] с шагом равным 0.2

С помощью рисунка можно определить, что положительный корень лежит в промежутке [1.2, 1.4].

Для уточнения корня методом хорд проверяется достаточное условие применимости метода. Для этого определяются знаки функции и второй производной на концах выбранного промежутка. За начальное приближение принимается то из чисел, для которого эти знаки одинаковы.

Вычисления по формулам производятся до тех пор, пока не совпадут две последние итерации. Значение функции при x=1,31492 равно нулю, следовательно корень уравнения равен 1,31492.

Значение корня можно получить, используя стандартную функцию пакета root, предназначенную для нахождения корня уравнения, задавz=1,4 (приблизительное значение корня).

Корень уравнения равен 1.31492.

 

1.1.2. Приближенное решение уравнений методом касательных.

Тема: Графическое отделение и вычисление методом касательных наименьшего положительного корня уравнения f(x)=0 с точностью.

Пример.

Для графического отделения корня необходимо построить график функции f(x), составив таблицу значений функции на интервале [0,2] с шагом равным 0.2

С помощью рисунка можно определить, что положительный корень лежит в промежутке [1.2, 1.4].

Для уточнения корня методом касательных проверяется достаточное условие применимости метода. Для этого определяются знаки функции и второй производной на концах выбранного промежутка. За начальное приближение принимается то из чисел, для которого эти знаки одинаковы.

Вычисления по формулам производятся до тех пор, пока не совпадут две последние итерации. Значение функции при x=1,31492 равно нулю, следовательно корень уравнения равен 1,31492.

Значение корня можно получить, используя стандартную функцию пакета root, предназначенную для нахождения корня уравнения, задавz=1,4 (приблизительное значение корня).

Корень уравнения равен 1.31492.

 

 

1.1.3. Приближенное решение уравнений комбинированным методом хорд касательных.

Тема: Графическое отделение и вычисление комбинированным методом хорд и касательных наименьшего положительного корня уравнения f(x)=0 с точностью.

Пример.

Для графического отделения корня необходимо построить график функции f(x), составив таблицу значений функции на интервале [0,2] с шагом равным 0.2

С помощью рисунка можно определить, что положительный корень лежит в промежутке [1.2, 1.4].

Для уточнения корня комбинированным методом хорд и касательных проверяется достаточное условие применимости метода. Для этого определяются знаки функции и второй производной на концах выбранного промежутка.

За начальное приближение принимается то из чисел, для которого эти знаки одинаковы. За следующее приближение принимается другой конец промежутка. Вычисления по формулам производятся до тех пор, пока не совпадут две последние итерации. Значение функции при x=1,31492 равно нулю, следовательно корень уравнения равен 1,31492.

Значение корня можно получить, используя стандартную функцию пакета root, предназначенную для нахождения корня уравнения, задавz=1,4 (приблизительное значение корня).

Корень уравнения равен 1.31492.