3.6.2. Среднеквадратичные приближения.
Однозначной
задача определения параметров 
станет,
если рассматривать как показатель
качества аппроксимации величину
(54)
и
искать 
,
минимизирующие функцию 
.
Решение
задачи о нахождении 
в
такой постановке называется методом
наименьших квадратов.
В
теории вероятностей показано, что
полученные методом наименьших квадратов
параметры наиболее вероятны, если
отклонения 
подчиняются
нормальному закону распределения.
Необходимые условия минимума функции
дают
систему уравнений
,
(55)
Важный
частный случай: 
,
где 
-
линейно независимые функции. Тогда
система уравнений (55) будет линейной.
На
практике часто используются функции
.
Тогда
-
многочлен степени 
.
......................................................
Таким образом, получается система следующего вида:
(56)
При
полученный
многочлен совпадает с интерполяционным
многочленом Лагранжа.
Система уравнений для коэффициентов аппроксимирующегомногочлена
2.4. Метод наименьших квадратов
Квадратурныеформулы
3.7. Квадратурные формулы.
Постановка задачи численного интегрирования.
Пусть требуется вычислить
(57)
Если
-
первообразная для 
,
то 
.
Часто получить выражение для первообразной
не удается. Подинтегральная функция
может быть задана в табличном виде. В
этих случаях подинтегральную функцию
заменяют на некоторую аппроксимирующую
функцию, интеграл от которой легко
вычисляется в элементарных функциях.
Для аппроксимации подинтегральной
функции часто используют интерполяцию.
Во многих случаях формулы для приближенного
вычисления интегралов (57) можно записать
в виде
(58)
Формулы
такого вида называются квадратурными.
-
узлы квадратурной формулы.
-
коэффициенты.
-
погрешность (остаточный член ) квадратурной
формулы.
3.7.1. Формула прямоугольников.
Построение.
Простейшая квадратурная формула получается при использовании интерполяционного многочлена нулевой степени.
Фиксируем
и
заменяем подинтегральную функцию
интерполяционным многочленом нулевой
степени, который совпадает со значением
:
.
Тогда
(59)
Частные случаи:
-
формула левых прямоугольников
-
формула правых прямоугольников
-
формула средних прямоугольников.
Оценка погрешности.
Пусть
существует 
,
непрерывная на 
.
По
формуле Тейлора: 
.
Интегрируя, получаем:
(60)
Обозначим
.
Используем вариант теоремы о среднем, который имеет вид:
если
непрерывна
и 
-
интегрируема, то 
,
где 
.
Пусть
.
Имеем 
.
(61)
Пусть
.
Имеем 
и
оценка для 
будет
того же вида (61).
Таким образом, (61) - оценка погрешности формул правых и левых прямоугольников.
Оценим погрешность для формулы средних прямоугольников.
Пусть
существует 
.
По формуле Тейлора имеем:
.
Интегрируя, получаем
Так
как, 
,
то
.
Отсюда следует оценка
(62)
Для
повышения точности квадратурных формул
можно промежуток 
разбить
точками 
,
,
на
частичные промежутки, к каждому из
которых применяется формула прямоугольников
,
,
(63)
Суммируя
по 
,
получаем обобщенную формулу прямоугольников.
(64)
при
-
формула левых прямоугольников,
при
-
формула правых прямоугольников,
при
-
формула средних прямоугольников.
Оценка остаточного члена для обобщенной формулы получается на основе оценок (61) или (62) соответственно.
При
,
:
(65)
При
:
Из
оценок (65) следует, что выбирая достаточно
большое число точек разбиения (т.е. делая
достаточно
малым) можно получить результат с
необходимой точностью.