Тема 2. Логіка.

Приклад. В функціональній схемі, наведеній на рис.1.4, визначити сигнал на виході Y, якщо значення на входах Х₁=1, Х₂=0.

Рис. 2.1

Розв’язання: На вхід елемента 1 НЕ (інвертор) подається сигнал 1; сигнал на виході 0. На входи елемента 2 І-НЕ (елемент Шффера) подаються сигнали 0 і 0; сигнал на виході 1. На входи елемента 3 АБО-НЕ (елемент Пірса) подаються сигнали 1 і 1; сигнал на виході 0. На входи елемента 4 І (кон’юнктор) подаються сигнали 0 і 1; на виході сигнал 0, і, нарешті, на входи елемента 5 АБО (диз’юнктор) подаються сигнали 0 і 0; сигнал на виході Y=0. Такий самий результат можна отримати за допомогою структурної формули схеми:

Алгебра логіки Висловлювання і числення висловлювань

Висловлювання - це двійкова змінна (0, 1),— запровадив Буль Д.

Висловлювання, твердження, відносно якого завжди можна сказати: істинне воно чи неправдиве. Твердження, які можуть бути подані двояко, або вони можуть бути одночасно істинними чи неправдивими, не розглядається.

Висловлювання позначають А, В,С.

А=1, якщо воно істинне, А=0, якщо воно неправдиве.

Закони алгебри логіки

1. Заперечення висловлювання А — Ā (не А).

Ā=1, коли А=0 і Ā=0, коли А=1;

=1, =0, ()=А.

2. Кон’юнкція (множення) АВ (А і В); АВ=ВА

00=0	А0=0
10=0	А1=А
01=0	АА=А
11=1	АĀ=А

3. Диз’юнкція (додавання) АВ (А або В): АВ=ВА

00=0	А0=А
01=1	А1=1
10=1	АА=А
11=1	АĀ=1

4. Рівнозначність (еквівалентність) А і В (заборона) А~В. Якщо і А і В обидва або істині або неправдиві, то вони рівнозначні:

0~0=1	1~1=1
0~1=0	А~1=А
1~0=0	А~0=Ā

5. Операція Шеффера (заперечення кон’юнкції) А|В (А несумісне В)

І–НІ	0|0=1	1|0=1	І–НІ
	0|1=0	1|1=0

6. Заперечення диз’юнкції (стрілка Пірса) АВ. Результат істинний, коли значення двох висловлювань дорівнюють нулю:

АБО–НІ	00=1	10=0
	01=0	11=0

7. Імплікація двох висловлювань А і В, АВ, А є частиною В, або А неможливе без В.

00=1	10=0	–тільки неправдиве в 1 випадку
01=1	11=1

Будь-яку з наведених логічних операцій можна виразити через інші.

Наприклад:

,

,

Ā=А|А,

(А|В)|(А|В).

Першочерговість виконання логічних операцій:

1-заперечення; 2-кон’юнкція; 3-диз’юнкція; 4-імплікація; 5-еквівалентність.

Кругла дужка збільшує пріоритет на 1.

Завдання на самостійну роботу по темі 2.

1. Дати характеристику логічних елементів. Навести електричні схеми логічних елементів АБО, І, НІ та правила виконання логічних операцій над двійковими змінними між їх входами і виходами.

В функціональній схемі, наведеній на рисунку 2.2, визначити сигнали на виходах Y₁,Y₂іY₃; значення сигналів на входахХ₁, Х₂, Х₃і Х₄дані в табл.2.1.

Таблиця 2.1

варіант	Х1	Х2	Х3	Х4	варіант	Х1	Х2	Х3	Х4
0	0	0	0	0	10	1	0	1	0
1	0	0	0	1	11	1	0	1	1
2	0	0	1	0	12	1	1	0	0
3	0	0	1	1	13	1	1	0	1
4	0	1	0	0	14	1	1	1	0
5	0	1	0	1	15	1	1	1	1
6	0	1	1	0	16	0	1	0	1
7	0	1	1	1	17	0	1	1	0
8	1	0	0	0	18	1	0	1	0
9	1	0	0	1	19	1	0	0	0
Рис.2.2