Vischa_matematika_Dovidnik

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Луцкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

U n2 Vn2 збігається, то ряд

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.02.2016

Размер:

665.36 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Вища математика
Зміст
І. Аналітична геометрія на площині. ................................................................	1
II. Диференціальне числення функцій однієї змінної. .....................................	2
III. Інтегральне числення. .................................................................................	3
ІV. Комплексні числа, визначники та системи рівнянь. ...................................	7
V. Елементи векторної алгебри........................................................................	8
VI. Аналітична геометрія в просторі.................................................................	8
VII. Диференціальне числення функції декількох змінних. .............................	9
VIII. Ряди..........................................................................................................	10
IX. Диференціальні рівняння. .........................................................................	11
Х. Криволінійні інтеграли. ...............................................................................	12
XI. Подвійні та потрійні інтеграли. ..................................................................	14

І. Аналітична геометрія на площині.

1. Паралельне перенесення системи координат:

х'=х-а, у'=у-в,

де О' (а; в) - новий початок, (х;у) - старі координати точки, [х';у'] - її нові координати.

2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):

х = х'cos - у'sin ; y= x'sin + y'cоs ,

де (х,у) - старі координати точки, [х',у'] - її нові координати, - кут повороту.

3.	Відстань між точками (х1,у1) і (х2,у2):

	d= (х		2	х )2		( у	2	у )2
			2		1		2	1
4.	Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х1,у1) і (х2,у2) в даному
відношенні :
	x=	x1 x2			;	y=	y1 y2		.
		1						1

При =1, маємо координати середини відрізка:

		х=			x1 x2		;	у=	y1 y2			.
				2							2
5. Площа трикутника з вершинами (х1,у1), (х2,у2) і (х3,у3):
S=	1	(x		x )( y			y ) (x				x )( y			y ) .
S=		(x	2	x )( y		3	y ) (x			3	x )( y		2	y ) .
	2		2	1		3	1			3	1		2	1
	2

6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

у=кх+в,

де к=tg (кутовий коефіцієнт) - нахил прямої до осі Ох, в - довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу.

7. tg =	k k	- тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к і к/.


1 k k

Умова паралельності прямих: к/=к.

Умова перпендикулярності прямих: к/= 1k .

8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1,у1):

у-у1=к(х-х1)

9.Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1,у1) і (х2,у2):

xx1 y y1

x2 x1 y2 y1

10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат:

ax by 1

11. Загальне рівняння прямої:

Ах+Ву+С=0, (А2+В2 0).

12. Відстань від точки (х1,у1) до прямої Ах+Ву+С=0:

= Ax1 By1 C

A2 B 2

13. Рівняння кола з центром (х0,у0) і радіусом R:

(х-х0)2+(у-у0)2=R2

14. Канонічне рівняння еліпса з півосями а і в:

x2	y 2	1 (1)
a 2	b2

Фокуси еліпса F(c;0) i F/(-c;0), де с2=а2-в2 15. Фокальні радіуси точки (х,у) еліпса (1):

r=a-Ex; r/=a+Ex,

де Е= ac 1 - ексцентриситет еліпса.

16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а і в:

x2	y 2	1 (2)
a 2	b2

нерівностями a x b, y1(x) y y2(x), z1(x, y) z z2(x, y)

де yi(x), zі(x, y), (і=1, 2) – неперервні функції, то потрійний інтеграл в прямокутних координатах від неперервної функції f(x, y z) можна обчислити за формулою:

		b	y2 ( x) z2	( x, y)
	f (x, y, z)dxdydz dx dy			f (x, y, z)dz .
	V	a	y1 ( x) z1 ( x, y)
24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а і в:
	x=a cos t,		y=b sin t.
25. Параметричні рівняння циклоїди:
	x=a(t-sin t),		y=a(1-cos t).
II. Диференціальне числення функцій однієї змінної.
1. Основні теореми про границі:
	а) lim[ f (x) g(x) h(x)] lim f (x) lim g(x) lim h(x).
	x a		x a	x a	x a
	б) lim[ f (x) * g(x)] lim f (x) * lim g(x)
	x a		x a	x a
Зокрема, lim[cf (x)] c lim f (x)
x a	x a

		в) lim[		f (x)	] lim f (x) : lim g(x), (lim g(x) 0).
		в) lim[		g(x)	] lim f (x) : lim g(x), (lim g(x) 0).
		x a		g(x)	x a				x a	x a
2.	Чудові границі:
	а) lim	sin x	1;		б) lim(1		1		) x lim 1 1 e 2,7182.
	а) lim		1;		б) lim(1				) x lim 1 1 e 2,7182.
	x 0	x			x		x		0
3.	Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:
		lg x=М ln x, де М=lg e=0,43429…
4.	Приріст функції у=f(x), що відповідає приросту x аргументу х:
					y f (x x) f (x).
5.	Умова неперервності функції у=f(x):
					lim y 0
					x 0
Основна властивість неперервної функції:
					lim f (x) f (lim x).
					x x1				x x1
6.	Похідна
					y	dy		lim		y .
					y			lim		y .
						dx			x 0	x

Геометрично y /=f /(x) - кутовий коефіцієнт дотичної до

III. Інтегральне числення.

1.Якщо dy=f(x)dx, то y= f (x)dx (незвичайний інтеграл).

2.Основні властивості незвичайного інтеграла:

а) d f (x)dx f (x)dx	[ f (x)dx] f (x);
б) dF(x) F(x) C;	в) Af (x)dx A f (x)dx; (А0)

г) [ f (x) g(x) h(x)]dx f (x)dx g(x)dx h(x)dx

Таблиця найпростіших невизначених інтегралів.

1) xm dx	xm 1	C	(m -1).
	m 1

2)dxx ln x C , (при х<0 i при x>0).

3)e x dx e x C ;

4)	a x dx	a x	C,	(a>0, a 1).
		ln a

5)	cos xdx sin x C .

де h=(b-a)/n, x0=a, xn=b, y=f(x), yi=f(x0+ih), (i=0,1,2,…,n).

		b	h			a b
		ydx	h			a b
11.	Формула Сімпсона:			y(a) 4 y(			) y(b) ,
11.	Формула Сімпсона:			y(a) 4 y(			) y(b) ,
		a	3			2
де h=(b-a)/2.
					b
12.	Невласний інтеграл:	f (x)dx lim			f (x)dx.
				b

13. Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у=f(x) (f(x) 0),

віссю Ох і двома вертикалями х=а, х=b (a<b): S f (x)dx .

14. Площа сектора обмеженого неперервною лінією =f( ) ( i - полярні

координати) і двома промінями = , = ( < ): S 1 2 d .

15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x) в прямокутних координатах х і у від точки х=а до точки х=b (a<b):

l 1 y 2 dx .

16. Довжина дуги гладкої кривої =f( ) в полярних координатах і від точки

= до точки = ( < ):

l 2 2 d ,

17. Довжина дуги гладкої кривої х= (t) y= (t), задано параметрично (t0<T):

x 2 y 2 dt.

18.Об’єм тіла з відомим поперечним перерізом S(x):

9. Ряд Маклорена.

f (x)

f (0) f (0)x

f (0)

x2 ...

f (n) (0)

...

10. Розклад в степеневі ряди функцій:

а)

1 x x

2 ... xn

... , при x < 1;

1 x

б) ln(1+x) = x

... ( 1)n 1

... , при –1<x 1;

в) arctgx x

... ( 1)n 1

x2n 1

... , при x 1;

2n 1

г)

e x 1 x

...

..., при x < +;

... ( 1)n 1

x2n 1

д) sin x x

... ,

(2n 1)!

при x < +;

е)

cos x 1

... ( 1)n

x2n

...

, при x < +;

(2n)!

ж)

(1 x)m 1 mx

m(m 1)

...

m(m 1)...[m (n 1)]

xn ... ,

1 2

1 2 ... n

при x < 1.

11. Ряд Тейлора.

f (x) f (a) f (a)(x a)

f (a)

(x a)2 ...

f (n) (a)

(x a)n ...

an bn


12. Ряди в комплексній області: (U n iVn ) U n i Vn .
n 1	n 1	n 1

13. Абсолютна збіжність рядів з коиплексними членами. Якщо ряд

(U n iVn ) також збігається (абсолютно).

n 1

14.Формули Ейлера: eix cos x i sin x , e ix cos x i sin x .

15.Тригонометричний ряд Фур є кусково-гладкої функції f(x) періоду 2l має вигляд:

n x

f (x)

(an

cos

bn sin

) , (1)

n 1

де an

1 l

f (x) cos

n x

(n=0, 1, 2,…);

1 l

f (x) sin

n x

dx ,

(n=1, 2,…).

(коефіцієнти Фур є функції f(x)). Для функції f(x) періоду 2 маємо

	a0
f (x)		(an cos nx bn sin nx)

2		n 1

де

В точках розриву функцій f(x)

1
	cos nx
	f (x)	dx , (n=0, 1, 2,…).
	f (x)	dx , (n=0, 1, 2,…).
	sin nx

сума ряду (1) дорівнює

S(x)

f (x 0) f (x 0)

16. Якщо 2l – періодична функція f(x) парна, то

n x

f (x)

an cos

n 1

де

f (x) cos

n x

dx ,

(n=0,1, 2,…).

Якщо 2l – періодична функція f(x) непарна, то

n x

f (x) bn

sin

n 1

m 1

f (x)dx

lim

f (

) xi ,

де x xi , xi 1 і xi

max

0 i 0

xi 1 xi .

6. Основні властивості визначеного інтегралу (розглядувані функції неперервні):

b	b	b
а) f (x)dx f (t)dt ;		б) f (x)dx 0;
a	a	a
b	a	b	b
в) f (x)dx f (x)dx;		г)	Af (x)dx A f (x)dx;
a	b	a	a
c	b	b
д) f (x)dx f (x)dx		f (x)dx;

е) f (x) g(x) h(x) dx f (x)dx

g(x)dx h(x)dx;

ж)

f (t)dt f (x),

f (t)dt f (x)

7. Теорема про середнє: якщо f(x) - неперервна на [a,b], то

f (x)dx (b a) f (c) ,

де а<c<b.

8. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:

u(x)v (x)dx u(x)v(x)

ba v(x)u (x)dx

9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі:

де а= ( ), b= ( ).

f (x)dx f ( (t)) (t)dt,

10. Формула трапецій:

ydx h(

y0 y1

... yn 1

yn ) ,

z=r(cos +isin ), де r= z ; =Arg z

5. Теореми про модуль та аргумент:

а) z1+z2 z1 + z2 ;

б) z1z2 z1 z2 ,

Arg z1z2=Arg z1+Arg z2;

=Arg z1-Arg z2; (z2 0);

в)

;

Arg

г) zn = z n; Arg zn=n Arg z

(n - ціле).

6. Корінь з комплексного числа:

				arg z 2k

n	z n
n
		z	cos
		z	cos
				n
				n

i sin	arg z 2k	, (k=0,1,2,…,n-1)


	n

7. Показникова формула комплексного числа:

z= r ei , де z = z , = Arg z.

8.Визначник другого порядку:

9. Розв’язок системи a1 x b1 y C1

a2 x b2 y C2

a1	b1	a b a b .
a2	b2	1	2	2	1
a2	b2

знаходяться за формулами: х= х/ ; у= у/

(правило Крамера), де

a1		b1	0; x	c1		b1	; y	a1		c1		.
a	2	b		c	2	b		a	2	c	2
	2	2			2	2			2		2

10. Розв’язок однорідної системи: a1 x b1 y c1 z 0 визначається за формулами:

a2 x b2 y c2 z 0

х= 1t, y=- 2t, z= 3t; (- <t< ),

де

, 2

, 3

				a1		b1
		мінори матриці
						b2
				a2		b2
z	lim	f (x x, y) f (x, y)	;	z	lim
x	lim	x	;	y	lim
x	x 0	x		y		y 0

1. c2

f (x, y y) f (x, y)

3. Повний диференціал функції z = f(x, y) від незалежних змінних х, у:

dy,

де dx= x,

dy= y.

Якщо U = f(x, y, z), то du

dz .

4. Малий приріст диференційованої функції:

5. Похідна функції U = f(x, y) по напряму l, заданому одиничним вектором {cos , cos } дорівнює:

u		u cos	u cos .
l		x	y

Аналогічно, якщо U = f(x, y, z) і {cos , cos , cos } – одиничний вектор напряму l, то

u		u cos	u cos	u cos
l		x	y	z

6. Точки можливого екстремуму диференціальної функції U = f(x, y, z) визначаються з рівнянь:

f х(x, y, z)=0;	f y(x, y, z)=0;						f z(x, y, z)=0
7. Градієнтом скалярного поля U = f(x, y, z) є вектор
		u	,	u	,	u
gradU
		x		y		z

u 2

Звідси

gradU

8. Якщо P(x, y)dx + Q(x, y)dy є повним диференціалом в області G, то

P		Q	((x, y) є G).
y		x

(ознака повного диференціалу.).

ІV. Комплексні числа, визначники та системи рівнянь.

1. Комплексне число z=x+iy, де х=Re z, y=Im z - дійсні числа, і2=-1. Модуль комплексного числа:

z x2 y 2 0.

Рівність комплексних чисел:

z1=z2 Re z1=Re z2, Im z1=Im z2

2. Спряжене число для комплексного числа z=x+iy: z x iy

3. Арифметичні дії над комплексними числами z1=x1+iy1, z2=x2+iy2:

a) z1 z2 x1 x2 i y1 y2 ;

б) z1 z2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 ;

в)

z1 z

x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2

;

(z2 0)

x22 y

Зокрема Re z =1/2 (z+ z ), Im z= (z- z )/2і, z 2=z z .

V. Елементи векторної алгебри.

Сумою векторів a , b ,

є вектор S a b c .

Різницею векторів a і b

є вектор d a b a ( b ) , де

- b

- вектор, протилежний вектору b .

* a , де a

Добутком вектора a на скаляр k є вектор b ka такий що b

b b , причому напрям вектора b співпадає з напрямком вектора a , якщо k > 0, і

протилежний до нього, якщо k < 0.

Вектор a

і b колінеарні, якщо b ka (k - скаляр).

Вектори a ,

b ,

компланарні, якщо c ka lb ,(k,l-скаляри)

Скалярним добутком векторів a

і b є число

cos ,

де

=<( a , b ).

= 0.

Вектори a і b ортогональні, якщо a * b

Якщо a ax , ay , az і

bx ,by ,bz , то a *

axbx

ay by az bz .

Векторним добутком векторів a

і b є вектор c a * b ,

c a

sin , ( = <(a,b)),

де c a, c b ,

причому а, b, с - права трійк.

Якщо a ax , ay , az і b bx ,by ,bz , то a *

, де

a y

i, j, k - одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами.

7. Мішаний добуток ab c a *b * c являє собою об’єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с.

Якщо a ax , ay , az ,	b bx ,by ,bz ,	c cx , cy , cz , то
			ax	a y	az
			ax	a y	az

		ab c	bx	by	bz	.
			cx	cy	cz

VI. Аналітична геометрія в просторі.

1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у, z) простору Охуz є:

x=rx , y=ry , z=rz , де r= OM - радіус-вектор точки М. 2. Довжина та напрям вектора а={ax,ay,az} визначаються формулами:

a a ax2 ay2 az2 ;

cos =ax/a; cos =ay/a; cos =az/a, (cos2 +cos2 +cos2 =1),

де cos , cos , cos - напрямні косинуси вектора а. 3. Відстань між двома точками M1(x1,y1,z1) i M2(x2,y2,z2):

d M1M 2 (x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2 .

4.Рівняння площини з нормальним вектором N={A,B,C} 0, що проходить через точку M0(x0,y0,z0) є N (r-r0)=0,…(1)

де r - радіус-вектор текучої точки площини M(x,y,z) і r0 - радіус-вектор точки М0. В координатах рівняння (1) має вид:

А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 або Ax+By+Cz+D=0 (2)

де D= -Ax0-By0-Cz0 (згальне рівняння площини).

5.Відстань від точки M1(x1,y1,z1) до площини (2) дорівнює:

d Ax1 By1 Cz1 D

A2 B2 C 2

6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі: r=r0+st (3)

де r{x,y,z} - текучий радіус-вектор прямої; r0{x0,y0,z0} - радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m,n,p} 0 - напрямний вектор прямої і t - параметр (- <t<+ ).

Вкоординатній формі рівняння прямої (3) має вигляд:

xx0 y y0 z z0 . m n p

7.Пряма лінія як перетин площин визначається рівняннями: Ax By Cz D 0

A x B y C z D 0

(4)

Напрямним вектором прямої (4) є S=N N , де N={A,B,C}, N ={A ,B ,C }. 8. Рівняння сфери радіуса R з центром (x0,y0,z0):

(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 .

9. Рівняння трьохосьового еліпса з півосями a,b,c:

x2	y 2	z 2	1.
a 2	b2	c2

10. Рівняння параболоїда обертання навколо осі Оz: x2+y2=2pz.

VII. Диференціальне числення функції декількох змінних.

1. Умова некперервності функції z=f(x,y):
lim z lim f (x x, y y) f (x, y) 0		,
x0	x0
y 0	y 0

або lim f (x1, y1) f (x, y)

x1 x y1 y

Аналогічно визначається неперервність функції f(x, y, z). 2. Частинні похідні функції z = f(x, y) по змінних х, у:

11. Визначник третього порядку:

a1	b1	c1
a2	b2	c2	a1 A1 b1 B1 c1C1 ,
a3	b3	c3

де

; B

- алгебраїчні

доповнення відповідних елементів визначника.

a1 x b1 y c1 z d1

12. Розв’язок системи a2 x b2 y c2 z d2

визначається за формулою Крамера

x b y c

z d

х= х/ ; у= у/ ; z= z/ ,

	a1	b1	c1
де	a2	b2	c2	0;
	a3	b3	c3
					a1	d1
					a1	d1
				y	a2	d2
					a3	d3

13. Розв’язок однорідної системи

a2 a3

a x b y c z 0

a2 x b2 y c2 z 0 , якщо

x b y c

z 0

b c

a x b y c z 0

знаходяться з підсистеми: 1 1 1 .

a2 x b2 y c2 z 0

VIII. Ряди.

1.Основне означення: U n

n 1

lim U n .

N n 1

2.	Необхідна ознака збіжності ряду:

	якщо ряд U n	збігається, то lim U n 0 .
	n 1	n
	n 1
				a
3.	Геометрична прогресія: aq n 1			a	, якщо q < 1.
3.	Геометрична прогресія: aq n 1		1	q	, якщо q < 1.
		n 1	1	q
		n 1
4.	Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + … (розбігається).

5.	Ознака Даламбера. Нехай для ряду U n (Un>0) існує

n 1

lim U n 1 l U n

Тоді: а) Якщо l < 1, то ряд збігається;

б) Якщо l > 1, то ряд розбігається, Un непрямує до 0.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.02.20167.07 Mб133TOPOGR_MET_2011.doc
#
16.02.20168.57 Mб25tze electronika ta mpt mv rgr.doc
#
16.11.2019397.82 Кб2Tема 5 Казначейська справа.doc
#
14.07.201965.54 Кб1Unit 2.doc
#
16.02.2016225.79 Кб14Unit_1-3_computers.doc
#
16.02.2016665.36 Кб7Vischa_matematika_Dovidnik.pdf
#
18.11.201812.02 Mб64VSTV_lektsiyi.doc
#
16.02.201640.87 Кб7vyp.docx
#
16.09.20194.63 Mб18zapiska.doc
#
26.09.2019292.86 Кб2Zavdannya_na_praktiku_1_kurs.doc
#
16.02.20161.78 Mб9Zavdannya_om_1sem.doc