Задачи по мат.физике

sODERVANIE

1wSPOMOGATELXNYE SWEDENIQ IZ FUNKCIONALXNOGO

2oB]IE PONQTIQ TEORII URAWNENIJ S ^ASTNYMI

1

pREDISLOWIE

nIVE PRIWODQTSQ NEKOTORYE ZADA^I, PREDLAGAW[IESQ STUDENTAM MEHANIKO{MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA mgu NA PISXMENNYH \KZAMENAH PO URAWNENIQM S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI I URAWNE- NIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI W 1994{2003 GODAH. pRI PODGOTOW- KE DANNOGO SPISKA BYLO UMENX[ENO KOLI^ESTWO STANDARTNYH ZA- DA^, KOTORYE MOVNO NAJTI W SU]ESTWU@]IH U^EBNIKAH I U^EB- NYH POSOBIQH. kROME TOGO, PRI NALI^II NESKOLXKIH BLIZKIH PO FORMULIROWKAM ZADA^ W SPISOK, KAK PRAWILO, WKL@^ALASX LI[X ODNA IZ NIH. w ZADA^NIK TAKVE NE WKL@^ALISX TEORETI^ESKIE WOPROSY IZ PROGRAMMY KURSA (OPREDELENIQ, POSTANOWKI ZADA^, FORMULIROWKI I DOKAZATELXSTWA TEOREM), KOTORYE OBQZATELXNO PRISUTSTWOWALI W L@BOM \KZAMENACIONNOM WARIANTE. dLQ TOGO, ^TOBY U ^ITATELQ WOZNIKLO PREDSTAWLENIE OB \TIH \KZAMENAH, W KONCE ZADA^NIKA PRIWEDENY NEKOTORYE WARIANTY S UKAZANIEM USLOWIJ PROWEDENIQ \KZAMENA I KRITERIEW OCENOK.

w SOSTAWLENII WARIANTOW \KZAMENACIONNYH ZADANIJ U^AST- WOWALI PREPODAWATELI KAFEDRY DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ MEHANIKO{MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA mgu IM. m. w. lOMO- NOSOWA: t. d. wENTCELX, a. `. gORICKIJ, a. s. kALA[NIKOW, w. a. kONDRATXEW, s. n. kRUVKOW, e. m. lANDIS, e. w. rADKE- WI^, g. a. ~E^KIN, a. s. {AMAEW, t. a. {APO[NIKOWA. oTBOR ZADA^ 1994{1998 GODOW I IH REDAKTIROWANIE WYPOLNENY a. s. kA- LA[NIKOWYM. w OKON^ATELXNOM SOSTAWLENII SBORNIKA PRINIMA- LI U^ASTIE t. d. wENTCELX, a. `. gORICKIJ, t. o. kAPUSTINA, o. s. rOZANOWA, g. a. ~E^KIN.

zADA^I RAZDELENY NA PQTX TEMATI^ESKIH RAZDELOW. w KAV- DOM RAZDELE KRATKO PRIWEDENY OSNOWNYE FAKTY, OTNOSQ]IESQ K DANNOJ TEME. ~ASTX ZADA^ SNABVENA PODROBNYMI RE[ENIQMI, I WSE ZADA^I (KROME ZADA^ NA DOKAZATELXSTWO) | OTWETAMI.

kURS URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI, KAK POKAZYWAET PRAKTIKA, QWLQETSQ TRADICIONNO ODNOJ IZ SAMYH TRUDNOWOSPRI- NIMAEMYH MATEMATI^ESKIH DISCIPLIN NA MEH-MATE. nADEEMSQ, ^TO \TOT SBORNIK POMOVET STUDENTAM LU^[E OSWOITX MATERIAL KURSA.

04.04.04.

2

nEKOTORYE ISPOLXZUEMYE OBOZNA^ENIQ

N | MNOVESTWO WSEH NATURALXNYH ^ISEL. Z| MNOVESTWO WSEH CELYH ^ISEL.

Z+ = N[f0g | MNOVESTWO WSEH NEOTRICATELXNYH CELYH ^ISEL. R| MNOVESTWO WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL.

R+ | MNOVESTWO WSEH POLOVITELXNYH DEJSTWITELXNYH ^ISEL. R; | MNOVESTWO WSEH OTRICATELXNYH DEJSTWITELXNYH ^ISEL. Rn | n-MERNOE DEJSTWITELXNOE LINEJNOE PROSTRANSTWO.

(x1 n) | DEKARTOWY KOORDINATY W Rn. ( ) | POLQRNYE KOORDINATY W R2.

| OBLASTX (T. E. SWQZNOE, OTKRYTOE MNOVESTWO) W Rn, OGRANI- ^ENNAQ, ESLI NE OGOWORENO PROTIWNOE.

@ | GRANICA OBLASTI .

| EDINI^NAQ WNE[NQQ NORMALX K @ .

Ban(x0) = fx 2 Rn j jx ; x0j < ag | n-MERNYJ [AR RADIUSA a S CENTROM W TO^KE x0.

San(x0) = @Ban(x0) = fx 2 Rn j jx ; x0j = ag | SFERA RADIUSA a S CENTROM W TO^KE x0 W Rn.

Lp( ) | PROSTRANSTWO FUNKCIJ, SUMMIRUEMYH S p-J STEPENX@ W OBLASTI .

L1( ) | PROSTRANSTWO FUNKCIJ, OGRANI^ENNYH I IZMERIMYH W OBLASTI .

Lp loc( ) | PROSTRANSTWO FUNKCIJ, PRINADLEVA]IH Lp( 1) DLQ L@BOJ OGRANI^ENNOJ PODOBLASTI 1, TAKOJ ^TO 1 .

Lp loc(Rn) | PROSTRANSTWO FUNKCIJ, PRINADLEVA]IH PROST- RANSTWU Lp(Ban(0)) PRI L@BOM a > 0.

3

Cl( ) | MNOVESTWO FUNKCIJ, l RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRU- EMYH W OBLASTI .

Cb( ) = C( ) \ L1( ) | MNOVESTWO OGRANI^ENNYH NEPRERYW- NYH W OBLASTI FUNKCIJ.

C1( ) | MNOVESTWO BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH W OBLAS- TI FUNKCIJ.

D( ) = C1( ) | MNOVESTWO BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH W

0

OBLASTI FUNKCIJ, RAWNYH NUL@ W OKRESTNOSTI @ .

D(Rn) = C01(Rn) | PROSTRANSTWO BESKONE^NO DIFFERENCIRUE- MYH FINITNYH FUNKCIJ W Rn.

H1( ) | PROSTRANSTWO FUNKCIJ, PRINADLEVA]IH PROSTRANST- WU L2( ) WMESTE SO SWOIMI OBOB]ENNYMI PROIZWODNYMI W SMYS- LE sOBOLEWA PERWOGO PORQDKA.

1 1 1

H ( ) | POPOLNENIE MNOVESTWA C0 ( ) PO NORME H ( ).

D0(Rn) | PROSTRANSTWO LINEJNYH NEPRERYWNYH FUNKCIONALOW NA D(Rn).

2 D0(Rn) | \DELXTA-FUNKCIQ", T. E. FUNKCIONAL, OPREDELQE- MYJ FORMULOJ

4

wWEDENIE

uKAVEM NEKOTORYE OPREDELENIQ I TEOREMY, KOTORYE NEOBHODI- MO ZNATX, ^TOBY RE[ATX ZADA^I NASTOQ]EGO SBORNIKA, A TAKVE U^EBNIKI, W KOTORYH MOVNO NAJTI \TI FAKTY. nOMERA ZADA^, PRIWODIMYE W POSLEDU@]IH PUNKTAH, PRIWEDENY DLQ PRIMERA I MOGUT NE OHWATYWATX WSEH ZADA^ NA DANNU@ TEMU.

1. wSPOMOGATELXNYE SWEDENIQ IZ FUNKCIONALX- NOGO ANALIZA

1.oPREDELENIE OBOB]ENNYH FUNKCIJ, OSNOWNYH OPERACIJ NAD NIMI I FUNDAMENTALXNOGO RE[ENIQ DIFFERENCIALXNOGO OPERA-

TORA. [5, gL. II, xx 5{7] (ZADA^I 1.1{1.5, 2.17 B))

1 1

2.oPREDELENIE PROSTRANSTW H I H . [20, gL. III, x 5] (ZADA-

^I 1.8{1.16, 1.19{1.21)

3.nERAWENSTWO fRIDRIHSA. [20], [22] (ZADA^I 1.17{1.19)

2. oB]IE PONQTIQ TEORII URAWNENIJ S ^ASTNY- MI PROIZWODNYMI

1.kLASSIFIKACIQ LINEJNYH URAWNENIJ WTOROGO PORQDKA I PRI-

WEDENIE IH K KANONI^ESKOMU WIDU. [23, gL. I, x 6] (ZADA^I 2.1{2.4, 2.7{2.9, 2.14, 2.15, 2.17 A))

2.oPREDELENIE HARAKTERISTIK. [23, gL. I, x 3] (ZADA^I 2.5{2.7, 2.11{2.13, 3.3, 3.4)

3.tEOREMA kO[I{kOWALEWSKOJ O SU]ESTWOWANII I EDINSTWEN-

NOSTI ANALITI^ESKOGO RE[ENIQ ZADA^I kO[I. [23, gL. I, xx 10, 11] (ZADA^I 2.16, 2.22 a))

4.kORREKTNOSTX POSTANOWKI ZADA^ DLQ URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. [23, gL. I, x 8] (ZADA^I 2.17{2.23)

3. uRAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA

1. pOSTANOWKA ZADA^I kO[I DLQ ODNOMERNOGO URAWNENIQ KOLE- BANIJ. fORMULa dALAMBERA. oBLASTX ZAWISIMOSTI. [23, gL. II, xx 11{13] (ZADA^I 3.1{3.2, 3.5{3.12)

5

2.zADA^A kO[I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ W SLU^AE DWUH I TREH PROSTRANSTWENNYH IZMERENIJ. fORMULY pUASSONA I kIRHGOFA. iSPOLXZOWANIE SIMMETRII W NA^ALXNYH USLOWIQH. oBLASTX ZA- WISIMOSTI. [23, gL. II, xx 12, 13] (ZADA^I 3.13{3.23)

3.kRAEWYE ZADA^I DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY. uSLOWIQ SO- GLASOWANIQ DLQ NA^ALXNYH I GRANI^NYH ZNA^ENIJ. mETOD PRO- DOLVENIQ NA^ALXNYH ZNA^ENIJ I SWEDENIE KRAEWOJ ZADA^I K ZA-

DA^E kO[I. [29, gL. II, xx 2, 4] (ZADA^I 3.24{3.28, 3.31, 3.32)

4.pOSTANOWKA OSNOWNYH KRAEWYH ZADA^. |NERGETI^ESKOE TOV-

DESTWO DLQ RE[ENIJ KRAEWYH ZADA^. [23, gL. II, x 18] (ZADA-

^I 3.33{3.36)

5.rE[ENIE KRAEWYH ZADA^ S POMO]X@ METODA fURXE. pERIODI^-

NOSTX RE[ENIJ KRAEWYH ZADA^. [23, gL. III, x 20], [29, gL. II, x 3] (ZADA^I 3.37{3.40)

4. uRAWNENIQ PARABOLI^ESKOGO TIPA.

1.pOSTANOWKA ZADA^I kO[I I OSNOWNYH KRAEWYH ZADA^. [23, gL. IV, xx 38, 40], [21, x 4.3]

2.pRINCIP MAKSIMUMA W CILINDRE. eDINSTWENNOSTX RE[ENIQ

PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I [23, gL. IV, x 38], [21, x 4.4] (ZADA^I 4.1, 4.3, 4.6, 4.7, 4.20, 4.21)

3.rE[ENIE KRAEWYH ZADA^ METODOM fURXE. [23, gL. IV, x 39] (ZADA^I 4.8{4.19)

4.pRINCIP MAKSIMUMA W SLOE. [23, gL. IV, x 40], [21, x 4.4] (ZA-

DA^I 4.27, 4.31)

5.tEOREMY O STABILIZACII DLQ RE[ENIQ ZADA^I kO[I. (ZADA-

^I 4.33{4.36)

5. uRAWNENIQ \LLIPTI^ESKOGO TIPA.

1.oPREDELENIE GARMONI^ESKIH FUNKCIJ. tEOREMY O SREDNEM.

tEOREMA lIUWILLQ. [23, gL. III, x 30], [21, xx 3.5, 3.9] (ZADA^I 5.1,

5.2, 5.3, 5.6, 5.7, 5.15, 5.42)

2.pRINCIP MAKSIMUMA. tEOREMA O NORMALXNOJ PROIZWODNOJ. [23,

gL. III, x 8], [21, x 3.5] (ZADA^I 5.9, 5.10, 5.11, 5.12, 5.13, 5.28,

5.33, 5.18)

6

6. oBOB]ENNYE PROIZWODNYE W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ I W SMYSLE sOBOLEWA. oBOB]ENNOE RE[ENIE ZADA^I dIRIHLE. wA- RIACIONNYJ METOD RE[ENIQ ZADA^I dIRIHLE. [21, x 1.3], [20, gL. IV, x 1] (ZADA^I 5.48, 5.49, 5.50, 5.52, 5.51)

bIBLIOGRAFIQ

1.aRNOLXD w. i., lEKCII PO URAWNENIQM S ^ASTNYMI PROIZ-

WODNYMI | m.: iZD-WO mk nmu, 1995.

2.bERS l., dVON f., {EHTER m. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PRO-

IZWODNYMI | m.: iZD-WO mIR, 1966. | 351 S.

3.bICADZE a.w., kALINI^ENKO d.f. sBORNIK ZADA^ PO URAW-

NENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKE | m.: iZD-WO nAUKA, 1977. | 222 S.

4.bUDAK b.m., sAMARSKIJ a.a., tIHONOW a.n. sBORNIK ZADA^ PO MATEMATI^ESKOJ FIZIKE | m.: gOS. IZD-WO TEHNIKO{

TEORETI^ESKOJ LITERATURY, 1956. | 683 S.

5.wLADIMIROW w.s. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. | 5-OE IZDANIE. | m.: nAUKA, 1988. | 512 c.

6.wLADIMIROW w.s. sBORNIK ZADA^ PO URAWNENIQM MATEMA-

TI^ESKOJ FIZIKE | m.: iZD-WO nAUKA, 1982. | 256 S.

7.wLADIMIROW w.s. oBOB]ENNYE FUNKCII W MATEMATI^ES-

KOJ FIZIKE. | 2-OE IZDANIE | m.: nAUKA, 1979. | 320 c.

8.gILBARG d., tRUDINGER n. |LLIPTI^ESKIE DIFFERENCIALX- NYE URAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI WTOROGO PORQD-

KA | m.: iZD-WO nAUKA, 1989. | 463 S.

9.gODUNOW s.k. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. u^EB- NOE POSOBIE DLQ STUDENTOW FIZIKO{MATEMATI^ESKIH SPE- CIALXNOSTEJ UNIWERSITETOW. | 2-OE IZDANIE. | m.: nAU-

KA, 1979. | 392 c.

7

10.gODUNOW s.k., zOLOTAREWA e.w. sBORNIK ZADA^ PO URAWNE-

NIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. u^EBNOE POSOBIE. | nO-

WOSIBIRSK: iZD-WO nOWOSIBIRSKOGO GOS. UN-TA, 1987. | 96 c.

11.gORICKIJ a.`., kRUVKOW s.n., ~E^KIN g.a. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI PERWOGO PORQDKA (u^EBNOE POSO-

BIE) | m.: iZDATELXSTWO cENTRA PRIKL. ISSLEDOWANIJ PRI MEH-MAT F-TA mOSK. GOS. UN-TA, 1999. | 96 S.

12.eGOROW `.w. lEKCII PO URAWNENIQM S ^ASTNYMI PROIZ- WODNYMI. dOPOLNITELXNYE GLAWY. u^EBNOE POSOBIE DLQ STUDENTOW, OBU^A@]IHSQ PO SPECIALXNOSTI \MATEMATI-

KA". | m.: iZD-WO mOSK. GOS. UN-TA, 1985. | 164 c.

13.iLXIN a.m., kALA[NIKOW a.s., oLEJNIK o.a. lINEJ- NYE URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA PARABOLI^ESKOGO TIPA

//umn.{ 1962.{ T. 17, WYP. 3.{ S. 3{146 (SM. TAKVE tRUDY SEMINARA IM. i.g.pETROWSKOGO.{ 2001.{ T. 21.{ S. 9{193.)

14.kOME^ a. i., pRAKTI^ESKOE RE[ENIE URAWNENIJ MATEMA- TI^ESKOJ FIZIKI (u^EBNO-METODI^ESKOE POSOBIE DLQ STU- DENTOW UNIWERSITETOW) | m.: iZD-WO MEH-MAT F-TA mOSK.

GOS. UN-TA, 1993.

15.kURANT r. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. | m.: mIR, 1964.

16.lADYVENSKAQ o.a. kRAEWYE ZADA^I MATEMATI^ESKOJ FI-

ZIKI | m.: nAUKA, 1973.

17.mASLENNIKOWA w.n. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ S ^AST- NYMI PROIZWODNYMI. u^EBNOE POSOBIE. | 2-E IZDANIE. | m.: iZD-WO rudn, 2000. | 229 c.

18.mIZOHATA s., tEORIQ URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNY-

MI | m.: iZD-WO mIR, 1977. | 504 S.

19.mIHAJLOW w.p. lEKCII PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI: U^EBNOE POSOBIE DLQ STUDENTOW WUZOW. | m.: fIZ-

MATLIT, 2001. |206 S.

20.mIHAJLOW w.p. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH. | m.: nAUKA, 1984.

21.oLEJNIK o.a. lEKCII OB URAWNENIQH S ^ASTNYMI PROIZ-

WODNYMI. I ^ASTX. | m.: iZD-WO MEH-MAT F-TA mOSK. UN-TA,

1976.

8

22.oLEJNIK o.a. lEKCII OB URAWNENIQH S ^ASTNYMI PROIZ-

WODNYMI. | m.: iZD-WO mOSK. UN-TA, 2004.

23.pETROWSKIJ i.g. lEKCII OB URAWNENIQH S ^ASTNYMI PROIZ-

WODNYMI. | 3-E IZDANIE | m.: fIZMATGIZ, 1961. | 400 S.

24.sMIRNOW w.i. kURS WYS[EJ MATEMATIKI (DLQ MEHANIKO- MATEMATI^ESKIH I FIZIKO{MATEMATI^ESKIH FAKULXTE- TOW UNIWERSITETOW. | m.: fIZMATGIZ, 1959.

25.sMIRNOW m.m. zADA^I PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. u^EBNOE POSOBIE. | 6-OE IZDANIE. | m.: nAUKA, 1975. | 126 c.

26.sOBOLEW s.l. nEKOTORYE PRIMENENIQ FUNKCIONALXNOGO ANALIZA W MATEMATI^ESKOJ FIZIKE. | 3-E IZDANIE. | m.: nAUKA, 1988. | 336 c.

27.sOBOLEW s.l. iZBRANNYE WOPROSY TEORII FUNKCIONALX- NYH PROSTRANSTW I OBOB]ENNYH FUNKCIJ. | m.: nAUKA,

1989. | 254 c.

28.sOBOLEW s.l. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. | 5-E IZDANIE. | m.: nAUKA, 1992. | 432 S.

29.tIHONOW a.n., sAMARSKIJ a.a. uRAWNENIQ MATEMATI^ES- KOJ FIZIKI. | 6-E IZDANIE. | m.: iZD-WO mOSK. UN-TA, 1999. | 798 S.

30.{ILOW g.e. mATEMATI^ESKIJ ANALIZ. wTOROJ SPECIALX-

NYJ KURS. | 2-OE IZDANIE | m.: iZD-WO mOSK. UN-TA, 1984. | 208 S.

31.{UBIN m.a. lEKCII OB URAWNENIQH MATEMATI^ESKOJ FI-

ZIKI | m.: iZD-WO mcnmo, 2001. | 302 S.

32.|WANS l.k. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI | nO-

WOSIBIRSK.: iZD-WO tAMARA rOVKOWSKAQ, 2003.

9

1wSPOMOGATELXNYE SWEDENIQ IZ FUNK- CIONALXNOGO ANALIZA

oBOB]ENNYE FUNKCII I FUNDAMENTALXNYE RE[ENIQ

oBOB]ENNYMI FUNKCIQMI NAZYWA@TSQ \LEMENTY PROSTRAN- STWA D0(Rn) (ILI D0( )), T. E. PROSTRANSTWA LINEJNYH NEPRE-

RYWNYH FUNKCIONALOW NAD D(Rn) = C1(Rn) (SOOTWETSTWENNO,

0

NAD D( ) = C1( )). dEJSTWIE FUNKCIONALA f 2 D0 NA ' 2 D

0

OBOZNA^AETSQ f(') ILI (f ' ).

w PROSTRANSTWE OBOB]ENNYH FUNKCIJ WYDELQETSQ KLASS RE- GULQRNYH OBOB]ENNYH FUNKCIJ, TO ESTX OBY^NYH FUNKCIJ

f(x) 2 L1 loc(Rn) (ILI f(x) 2 L1 loc( )), DEJSTWIE KOTORYH OPRE- DELQETSQ TAK:

(f ' ) = Z f(x)'(x)dx 8' 2 D

(INTEGRIROWANIE IDET PO PROSTRANSTWU Rn ILI PO OBLASTI SOOTWETSTWENNO). oBOB]ENNYE FUNKCII, NE QWLQ@]IESQ REGU- LQRNYMI, NAZYWA@TSQ SINGULQRNYMI. pRIMEROM SINGULQRNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCII QWLQETSQ {FUNKCIQ.

pROIZWODNOJOBOB]ENNOJ FUNKCII f 2 D0 PO PEREMENNOJ xi NAZYWAETSQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, OPREDELQEMAQ RAWENSTWOM

pO INDUKCII OPREDELQ@TSQ PROIZWODNYE OBOB]ENNOJ FUNKCII PROIZWOLXNOGO PORQDKA.

fUNDAMENTALXNYM RE[ENIEM DIFFERENCIALXNOGO OPE-

RATORA L NAZYWAETSQ (WOOB]E GOWORQ, OBOB]ENNAQ) FUNKCIQ E TAKAQ, ^TO L(E) = , TO ESTX (L(E) ) = '(0) 8' 2 D.

10