Задачи по мат.физике

yg(x y ) = 0

;E

y

( g(x y )

y2@

;

=

(x

2 y):

tEOREMA. fUNKCIQ gRINA UDOWLETWORQET SLEDU@]IM SWOJ-

STWAM:

G(x y) = G(y x) | PRINCIP WZAIMNOSTI

G(x y) 6 0 DLQ WSEH x 2

2 | NEPOLOVITELXNOSTX.

G(x x0) = 0

PRI

x 2 @

USLOWIEM

@G(x x0)

= 0

PRI

x 2 @ ?

@

DLQ URAWNENIQ lAPLASA W KRUGE B2

(0) S GRANI^NYM USLOWIEM

1

@u

= cos4 + 2 cos2 ?

@ =1

61

URAWNENIQ lAPLASA W KOLXCE B22(0)nB12(0) S GRANI^NYMI USLOWI-

QMI

@u

@u

@ =1 = 1

@ + u =2 = ?

nAJTI RE[ENIE WO WSEH SLU^AQH, KOGDA ONO SU]ESTWUET.

5.31. sU]ESTWUET

LI GARMONI^ESKAQ

W B12(0)

nf

0

g

FUNKCIQ

u(x y ), UDOWLETWORQ@]AQ USLOWI@

@u

= x ; y2?

@

=1

5.32. nAJTI RE[ENIE u(x y ) SLEDU@]EJ ZADA^I:

u = 0 > 1

@u

= x(1

;

y)

inf u(x y ) = 0:

@

=1

>1

ZADA^I: u 2

5.33. A) eDINSTWENNO LI RE[ENIE

SLEDU@]EJ

C2( ), GDE

= B23(0)nB13(0)

@u(x)

u(x) = 0

x 2

; 1u(x) = f1(x)

x 2 S13(0)

@

@u(x)

+ 2u(x) = f2(x)

x 2 S23(0)

@

k = const > 0 (k = 1 2)?

B) tOT VE WOPROS PRI k = const < 0

(k = 1 2):

5.35. nAJTI WSE TAKIE > 0, ^TO RE[ENIE u(x y ) ZADA^I dI-

2

x

RIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA W OBLASTI

(x y ) 2 R

jyj < p

3

UDOWLETWORQ@]EE NERAWENSTWU

u(x y ) 6 M;1 + x2 + y2

GDE M = const > 0 EDINSTWENNO.

5.36. nAJTI ZNA^ENIQ W TO^KAH OTRICATELXNOJ POLUOSI Oy

LOGARIFMI^ESKOGO POTENCIALA

PROSTOGO SLOQ u(x y )

RASPRE-

DELENNOGO NA OTREZKE x = 0 0 6 y 6 2 S PLOTNOSTX@, RAWNOJ

EDINICE.

5.37. nAJTI

lim

2

;

2 2

ln

(x

;

)2 + (y

;

)2

ds:

x2

+y2

!12

2

Z

+ =1;

5.38. pUSTX

B

= B2(0): sU]ESTWU@T LI DWE RAZLI^NYE FUNK-

1

CII ui(x y ) co cLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: ui 2 C2(B)

W

@ui

NA

ui = 0

B

@y ; ui

= 3x

@B

(i = 1 2)?

5.39. A) pUSTX K =

1 < jxj < 2

| "KOLXCEWAQ" OBLASTX W

R2

2

C

2

(K)

\

C

1

(K) SLEDU@]EJ

: eDINSTWENNO LI RE[ENIE u

KRAEWOJ ZADA^I:

u = 0

W

K

@u

= '1(x1 2) u jxj=2 = '2(x1 2)

@n

jxj=1

'1 2 { PROIZWOLXNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA OKRUVNOSTQH

jxj = 1

I

jxj

= 2

SOOTWETSTWENNO?

B) nAJDITE RE[ENIE POSTAWLENNOJ W P. (a) ZADA^I, ESLI

'1 = cos

'2 = sin

(x y ) : 0 < x < 1 ;1 < y < +1

1

2 2

u = 0

W

u

x=0

= '1

(y)

u x=1

= '2(y)

'

C(

R1

NEEDINSTWENNO.

)

B) eDINSTWENNO LI RE[ENIE PREDYDU]EJ ZADA^I S DOPOLNI-

TELXNYM USLOWIEM

u(x y ) ! 0

PRI

jyj ! 1?

C1: mOVET LI RE[ENIE u 2 C2(Q) \ C1(Q) KRAEWOJ ZADA^I

u ; u = 1 W Q

@u

= 0

@n

@Q

(~n |

@Q)

Q?

WNE[NQQ NORMALX K

BYTX STROGO POLOVITELXNYM W

5.42. pUSTX K = B12(0)

(x y ) | RE[ENIE ZADA^I

nAJDITE u(0 0):

u = x2y

u @K = 0:

5.43. pRI KAVDOM LI 2 R1 ZADA^A

u = 1

W K = (r ) 1 < r < 2

@u

= sin '

@u

+ u

= sin2 '

@n

@n

r=1

r=2

2

1

(K)

? (~n

|

u 2 C

(K)\C

WNE[NQQ

IMEET HOTQ BY ODNO RE[ENIE

NORMALX K GRANICE KOLXCA K:)

5.44. pRI KAKIH a 2 R1 KRAEWAQ ZADA^A

u + 2u = x ; a W

u @ = 0

=

(0 )

(0

)

?

IMEET HOTQ BY ODNO RE[ENIE

u(x) = 0 jxj > 1

u x

=1 = 0

PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII

j j

A)

Z

u( )

2 d = O(1)

B)

Z

u( )

2 d = o(1)

j ;xj<1

j ;xj<1

u = f

W

(13)

u = '

NA

@ :

pUSTX f

2 L2( )

2 H1( ).

fUNKCIQ u

2

H1( ) NAZYWAETSQ OBOB]ENNYM RE[ENIEM

KRAEWOJ ZADA^I (13), ESLI

Z rurv dx = ; Z fv dx

1

( ) I u ; '

1

( ).

DLQ L@BOJ v 2 H

2 H

wARIACIONNOJ POSTANOWKOJ ZADA^I (13) NAZYWAETSQ SLE-

DU@]AQ MINIMIZACIONNAQ ZADA^A:

Z

w H1( )

' H1( )

Z

jr

j

2dx + 2

inf

w

fw dx

2

; 2

ILI

inf

jr

w

2dx + 2

Z

fw dx

;

2

Z

r

'

r

w dx :

w H1( ) Z

j

2

(

u = f

W

@@u =

NA

@ :

(14)

pUSTX f 2 L2( )

2 L2(@ ).

Z

rurv dx = Z

v ds ; Z fv dx

@

inf

w

2dx + 2

Z

fw dx

;

2

Z

w ds

:

w2H1

( ) Z jr

j

@

(

u = f

W

@@u + u =

NA @ :

(15)

pUSTX f

L2( )

L2(@ ).

fUNKCIQ2u 2 H1( )2NAZYWAETSQ OBOB]ENNYM RE[ENIEM

TRETXEJ KRAEWOJ ZADA^I (15), ESLI

Z

rurv dx + Z uv ds = Z

v ds ; Z fv dx

@

@

inf

w

2dx +

Z

w2 ds

;

2

Z

w ds + 2

Z

fw dx

:

w2H1( ) Z jr

j

@

@

mINIMIZANT

pOSLEDOWATELXNOSTX

fukg

NAZYWAETSQ

MINIMIZIRU@]EJ

DLQ

FUNKCIONALA F , ESLI F (uk)

;! m PRI k ! 1 I m = inf F (v):

67

rASSMOTRIM WARIACIONNU@ POSTANOWKU ZADA^I dIRIHLE. pUSTX

F(w) = Z jrwj2dx + 2 Z fw dx. rASSMOTRIM LINEJNO NEZAWISI-

MU@ SISTEMU 1

j

, KONE^NYE LINEJNYE OBOLO^KI KOTO-

1

( ):

RYH PLOTNY W H

k

tOGDA fukg k = j=1 j j, BUDET MINIMIZIRU@]EJ POSLEDO-

WATELXNOSTX@, k = 1 2P

ESLI j | RE[ENIQ SISTEMY LINEJ-

NYH URAWNENIJ

8

1 Z r 1r 1dx + 2 Z

r 2r 1dx + : : : + k Z r kr 1dx =

>

= ; Z f 1 dx

r 2r kdx + : : : + k Z r kr kdx =

< 1 Z r 1r kdx + 2 Z

>

= ; Z f k dx

:

68

x2 + y2

5.48. pUSTX

u

2

C B2(0)

u(x y )

> 0

= 1

2

1

W B1

(0) SU]ESTWU@T OBOB]ENNYE PROIZWODNYE W SMYSLE sOBO-

LEWA

uxx

I

uyy,

PRI^EM;

uxx + uyy 6 0

PO^TI WS@DU W B12(0):

dOKAZATX, ^TO

u(x y ) > 0

8(x y ) 2 B12(0):

5.49. pUSTX u

2

C B12(0) W B12(0) SU]ESTWU@T OBOB]ENNYE

PROIZWODNYE W SMYSLE sOBOLEWA

uxx

I

uyy,

PRI^EM

;

uxx + uyy = 0

PO^TI WS@DU W B12(0):

dOKAZATX, ^TO

u(x y )

6 max

u

8

(x y )

2

B2

(0):

S12

(0)

1

5.50. A) sFORMULIROWATX OPREDELENIE OBOB]ENNOGO RE[ENIQ

ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ

u = h

W

S USLOWIEM

u = f

NA

@ :

B) nAJTI OBOB]ENNOE RE[ENIE \TOJ ZADA^I W SLU^AE, KOGDA

h(x)

0

f(x) =

j

x

2

= B1n(0)

n > 3:

j

W) tOT VE WOPROS W SLU^AE, KOGDA =

Bn(0)

0 :

1

nf g

5.51. pUSTX B = B14(0)

=

x

2

R4 : x1 = 0

2 = 0

3 = 0

1

0 < x4 <

{

OTREZOK W

R4

= B n `:

nAJDITE OBOB]ENNOE

2

RE[ENIE ZADA^I dIRIHLE u(x) :

Z (ru rv) dx = 0

1

8 v 2 H

(Q)

Q

u ;

1

'(x) 2 H

(Q)

'(x)

2

C1(B)

I

'(x) = 1

PRI

x

2

`:

0

5.52. nAJTI

inf

grad w(x) 2 dx

2

B1Z(0)

1

NA MNOVESTWE

w

2

H

1

2

(0))

w

;

f

2

2

(0)) GDE

(B1

H

(B1

f(x1 2) = x22:

5.53. wY^ISLITX

inf

H1( ) Z

jr

w

2

;

2w dx

w ( x 1)

j

;

; j j;

2

ESLI

= fx = (x1 2) : 1 < jxj <

2g:

5.54. wY^ISLITX

;

inf

;

w 2

+ 2(x12

x2)w

dx

2

jr j

;

w

x1

H1( ) Z