Задачи по мат.физике
.pdf
pRIWEDEM PRIMERY FUNDAMENTALXNYH RE[ENIJ NEKOTORYH DIFFERENCIALXNYH OPERATOROW.
fUNDAMENTALXNOE RE[ENIE OPERATORA lAPLASA L = W PRO- STRANSTWE RAZMERNOSTI n IMEET WID
En(x) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n > 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
!n(2 |
; n)jxjn;2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E2(x) = |
|
ln jxj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 2: |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dLQ OPERATORA TEPLOPROWODNOSTI |
L = |
@ |
|
; a2 FUNDAMEN- |
||||||||||||
@t |
||||||||||||||||
TALXNYM RE[ENIEM QWLQETSQ FUNKCIQ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
(t) |
|
jxj2 |
|
|
|
||||||
E(x t ) = |
|
p |
|
|
|
|
n |
e; 4a |
t : |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
;2a2 t |
|
|
|
|
|
|
||||||
wOLNOWOJ OPERATOR |
L = |
@ |
|
|
; a2 W ZAWISIMOSTI OT RAZ- |
|||||||||||
@t2 |
||||||||||||||||
MERNOSTI n, n = 1 2 3, |
PROSTRANSTWENNOJ PEREMENNOJ x IMEET |
|||||||||||||||
SLEDU@]IE FUNDAMENTALXNYE RE[ENIQ
E1(x t ) = |
1 |
(at ; jxj) |
|
|||||
2a |
|
|||||||
E |
2(x t ) = |
|
(at ; jxj) |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
2 a |
a2t2 |
; j |
x |
2 |
|||
|
|
1 p |
|
j |
|
|||
E3(x t ) = |
4 a2t |
(jxj ; at) |
||||||
n = 1
n = 2
n = 3:
w OTLI^IE OT SLU^AEW ODNOJ ILI DWUH PROSTRANSTWENNYH PERE- MENNYH, E3 QWLQETSQ SINGULQRNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCIEJ, DEJST- WIE KOTOROJ NA OSNOWNYE FUNKCII OPREDELENO RAWENSTWOM
1 |
'(x t ) dSx dt |
|
(E3 ) = ZR4 a2t Zjxj=at |
8'(x t ) 2 D(R4) |
dSx | \LEMENT PLO]ADI NA SFERE Sat3 (0).
11
1.1. pUSTX u(x y ) | HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ KWADRATA
(;1 1) (;1 1). nAJTI |
|
@2u |
|
|
|
|
W SMYSLE TEORII OBOB]ENNYH |
||
|
@x @y |
|||
FUNKCIJ. |
|
|
|
|
1.2. pRI KAKIH ZNA^ENIQH PARAMETRA a 2 R1 FUNKCIQ |
||||
1 |
PRI t 6 ax |
(x t ) 2 R2 |
||
u(x t ) = (0 |
PRI t > ax |
|||
QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ ut = ux W SMYSLE TEORII OBOB- ]ENNYH FUNKCIJ?
1.3.pUSTX FUNKCIQ y(x) 2 D0(R) I UDOWLETWORQET URAWNENI@ y0 = y KAK OBOB]ENNAQ FUNKCIQ. dOKAVITE, ^TO y(x) ESTX REGU- LQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ Cex, C = const.
1.4.nAJTI WSE FUNDAMENTALXNYE RE[ENIQ OPERATORA
d2u(x) du(x) Lu(x) = dx2 + dx :
1.5. nAJTI FUNDAMENTALXNOE RE[ENIE OPERATORA
Lu(x y ) = uxx(x y ) ; uyy(x y )
OBRA]A@]EESQ W NULX PRI y < 0.
1.6. dOKAVITE, ^TO FUNKCIQ
E(x x 0) = ; |
cos(pc r) |
r = jx ; x0j |
4 r |
QWLQETSQ FUNDAMENTALXNYM RE[ENIEM OPERATORA
+ c GDE c = const > 0 n = 3:
12
pROSTRANSTWA sOBOLEWA
oBOB]ENNOJ PROIZWODNOJ W SMYSLE sOBOLEWA FUNKCII u(x) PO PEREMENNOJ xi W OBLASTI NAZYWAETSQ FUNKCIQ v(x) (OBOZNA- ^ENIE: v(x) = @u=@xi), UDOWLETWORQ@]AQ INTEGRALXNOMU TOV- DESTWU
Z |
v(x)'(x) dx = |
; Z |
u(x) |
@'(x) dx |
8 |
' |
2 |
C1( ): |
|
|
@xi |
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pROSTRANSTWOM sOBOLEWA H1( ) NAZYWAETSQ PROSTRANST-
WO FUNKCIJ u(x), PRINADLEVA]IH PROSTRANSTWU L2( ) WMESTE SO SWOIMI OBOB]ENNYMI PROIZWODNYMI @u=@xi, i = 1 , W SMYSLE sOBOLEWA PERWOGO PORQDKA.
pROSTRANSTWO H1( ) QWLQETSQ BANAHOWYM (T. E. POLNYM NOR- MIROWANNYM) PROSTRANSTWOM. nORMA W NEM OPREDELQETSQ SLEDU- @]IM OBRAZOM:
kukH2 1( ) = kuk2L2( ) + kruk(2L2( ))n = Z |
|
|
n |
@u |
2 |
|
|
||
juj2 |
X |
dx: |
|||||||
|
|
||||||||
|
+ i=1 |
@xi |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
( ) NAZYWAETSQ ZAMYKANIE |
||||||||
pROSTRANSTWOM sOBOLEWA H |
|||||||||
PODPROSTRANSTWA C01( ) W PROSTRANSTWE H1( ). nERAWENSTWO fRIDRIHSA. dLQ L@BOJ OGRANI^ENNOJ OB-
LASTI SU]ESTWUET KONSTANTA C( ), TAKAQ ^TO
|
|
|
|
n |
@u |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
X |
|
|
|
|
||||
|
Z |
juj dx 6 C( ) Z |
@xi |
dx |
8u 2 H ( ): |
|||||||
|
i=1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w SILU NERAWENSTWA fRIDRIHSA SLEDU@]IJ FUNKCIONAL W |
|||||||||||
1 |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
@u |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
X |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
kukH1( ) |
= kruk(L2( ))n = Z |
i=1 @xi |
|
dx |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZADAET NORMU, \KWIWALENTNU@ ISHODNOJ NORME PROSTRANSTWA
H1( ).
13
pROSTRANSTWO H1( ) QWLQETSQ GILXBERTOWYM OTNOSITELXNO SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ
|
n |
@u @v |
||
|
X |
|
|
|
|
@xi @xi dx: |
|||
[u v ] = (ru rv)(L2( ))n = Z |
i=1 |
|||
pROSTRANSTWO H1( ) TAKVE QWLQETSQ GILXBERTOWYM SO SKALQR- NYM PROIZWEDENIEM
(u v )H |
( ) = (u v ) + [u v ] |
GDE |
(u v ) = Z u(x)v(x) dx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|STANDARTNOE SKALQRNOE PROIZWEDENIE W L2( ).
1.7.pUSTX f(x) 2 H1( ), a(x) 2 C1( ). dOKAZATX, ^TO FUNK- CIQ f(x)a(x) QWLQETSQ DIFFERENCIRUEMOJ W SMYSLE sOBOLEWA, I
DLQ NAHOVDENIQ EE PROIZWODNYH PERWOGO PORQDKA SPRAWEDLIWA OBY^NAQ FORMULA lEJBNICA. wERNO LI, ^TO f(x)a(x) 2 H1( )?
1.8. pUSTX f |
|
H1(Bn(0)). wOZMOVNO LI, ^TO f = L |
1 |
(Bn(0)) |
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
|
A) PRI n = 3 |
B) PRI n = 2 W) PRI n = 1? |
|
|
||
1.9. pUSTX u(x) | OGRANI^ENNAQ W B13(0) FUNKCIQ, GLADKAQ W B13(0) n f0g. mOVNO LI UTWERVDATX, ^TO u 2 H1(B13(0))?
1
1.10. A) dOKAVITE, ^TO WSQKAQ FUNKCIQ IZ H ;(0 1) QWLQETSQ NEPRERYWNOJ.
B) wSQKAQ LI NEPRERYWNAQ FUNKCIQ u(x) NA OTREZKE [0 1],
TAKAQ, ^TO u(0) = u(1) = 0, PRINADLEVIT H1;(0 1) ?
1.11. pUSTX u 2 C( )\H1( ) I u(x) = 0 PRI x 2 @ . dOKAZATX,
1
^TO u 2 H ( ).
1.12. pRI KAKIH FUNKCIQ u(x y ) = ln(x2 + y2) PRINADLE-
VIT PROSTRANSTWU H1( ), ESLI
A) = B12=2(0)
B) = B22(0)nB12=2(0)?
14
1.13.pRI KAKIH FUNKCIQ u(x y ) = ln(x2 + xy + 2y2) PRI-
NADLEVIT H1( ), GDE = (;1=4 1=4) (;1=4 1=4) ?
1.14.A) pRI KAKIH I n FUNKCIQ f(x) = (ln jxj) =jxj2 PRINAD- LEVIT PROSTRANSTWU H1(B1n=2(0))?
B) tOT VE WOPROS DLQ PROSTRANSTWA H1(B1n(0)).
1.15. pRI KAKIH FUNKCIQ f(x) = jxj cos x PRINADLEVIT |
||||||||||||
|
1 |
; |
; |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
PROSTRANSTWU H |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
( |
|
1 1) ? |
|
|
|
|
|
||||
1.16. pRI KAKIH 2 |
|
FUNKCIQ f(x) = |
ln jxj |
|
cos( jxj), GDE |
|||||||
x = (x1 |
n), |
|
|
|
|
|
|
|
H |
(B1=2(0))? |
||
|
|
PRINADLEVIT PROSTRANSTWU |
1 |
|
|
n |
||||||
1.17. pUSTX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = f(x1 |
n) 2 Rn j x12 + + xn2 ;1 < ax2n 0 < xn < +1g: |
|||||||||||
dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ POSTOQNNOJ C > 0 |
NAJDUTSQ TAKAQ |
||
|
|
1 |
|
OGRANI^ENNAQ OBLASTX D I TAKAQ FUNKCIQ f 2 H |
( ), ^TO |
||
Z |
f2(x) dx > C Z jrf(x)j2dx: |
|
|
|
|
|
|
1.18. sPRAWEDLIWO LI NERAWENSTWO fRIDRIHSA W POLOSE |
|||
= (x y ) j 0 < x < 1 ;1 < y < +1 R2 ? |
|
|||||||||
1.19. pUSTX Q = B1n(0). sPRAWEDLIWO LI SLEDU@]EE UTWERV- |
||||||||||
DENIE: SU]ESTWUET POSTOQNNAQ C > 0 TAKAQ, ^TO |
|
|||||||||
ju(0)j 6 CkukH1(Q) 8u(x) 2 C1( |
|
) ? |
|
|||||||
Q |
|
|||||||||
|
|
1 |
|
(;1 1) MNOVESTWO A |
||||||
1.20. rASSMOTRIM W PROSTRANSTWE H |
|
|||||||||
GLADKIH FINITNYH FUNKCIJ '(x), UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ |
||||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
||||
|
R nAJDITE KORAZMERNOSTX ZAMYKANIQ |
A |
||||||||
'0(0) + '(0) = 0, 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
(;1 1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
MNOVESTWA A W H |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.21. pOSTROJTE PRIMER; |
OGRANI^ENNOJ OBLASTI NA PLOSKOS- |
|||||||||
TI R2, TAKOJ ^TO FUNKCII C1( ) NE SOSTAWLQ@T WS@DU PLOTNOGO |
||||||||||
MNOVESTWA W PROSTRANSTWE H1( ), T. E. C |
1 |
( |
|
) = H1( ): |
|
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|||||
15
2oB]IE PONQTIQ TEORII URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI
kLASSIFIKACIQ URAWNENIJ. hARAKTERISTIKI
lINEJNOE URAWNENIE WTOROGO PORQDKA IMEET WID
nn
X |
aijuxixj + |
X |
aiuxi |
+ au = g(x) |
x 2 Rn ij = aji: (1) |
|
i =1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
wEKTOR = |
( 1 |
n) IMEET HARAKTERISTI^ESKOE NA- |
||||
PRAWLENIE, ESLI |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aij i j = 0: |
|
|
|
|
i |
=1 |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
pOWERHNOSTX (x) = 0 NAZYWAETSQ HARAKTERISTIKOJ URAW- NENIQ (1), ESLI NORMALX K \TOJ POWERHNOSTI = r IMEET HA- RAKTERISTI^ESKOE NAPRAWLENIE W KAVDOJ TO^KE, T.E.
n
iX=1 aij @xi @xj = 0:
eSLI MATRICU ;aij PRIWESTI K DIAGONALXNOMU WIDU, TO W SOOTWETSTWII SO ZNAKAMI DIAGONALXNYH \LEMENTOW, URAWNENIQ PODRAZDELQ@TSQ NA \LLIPTI^ESKIE (KOGDA WSE \LEMENTY NENU- LEWYE I ODNOGO ZNAKA), GIPERBOLI^ESKIE (KOGDA WSE \LEMEN- TY NENULEWYE I ROWNO ODIN OTLI^AETSQ PO ZNAKU OT OSTALX- NYH), PARABOLI^ESKIE (KOGDA SU]ESTWUET ROWNO ODIN NULEWOJ, A OSTALXNYE \LEMENTY ODNOGO ZNAKA). oSTALXNYE TIPY MY NE NAZYWAEM.
u URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA S DWUMQ NEZAWISIMYMI PERE- MENNYMI
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = g(x y )
HARAKTERISTIKAMI QWLQ@TSQ KRIWYE, KOTORYE NAHODQTSQ IZ URAWNENIQ
a11(dy)2 ; 2a12dx dy + a22(dx)2 = 0
16
NAZYWAEMOGO HARAKTERISTI^ESKIM. eSLI a11 6= 0, TO I]EM RE[ENIE W WIDE y = y(x), GDE
dy |
= a12 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
D = a2 |
; |
a |
11 |
a |
22 |
| DISKRIMINANT. |
||
dx |
a11 |
12 |
|
|
|
||||
w ZAWISIMOSTI OT ZNAKA DISKRIMINANTA WOZNIKA@T TRI SLU^AQ.
gIPERBOLI^ESKIJ SLU^AJ: D > 0, DWA SEMEJSTWA HARAKTE-
RISTIK (x y ) = C I (x y ) = C. pRI ZAMENE
= (x y )= (x y ):
URAWNENIE PRIWODITSQ KO WTOROJ KANONI^ESKOJ FORME
u + MLAD[IE ^LENY = 0:
w SLU^AE ZAMENY
= += ;
URAWNENIE PRIWODITSQ K PERWOJ KANONI^ESKOJ FORME
u ; u + MLAD[IE ^LENY = 0:
pARABOLI^ESKIJ SLU^AJ: D = 0, ODNO SEMEJSTWA HARAKTE-
RISTIK (x y ) = C. l@BOJ NEWYROVDENNOJ ZAMENOJ WIDA
= (x y )= (x y )
GDE (x y ) | NEKOTORAQ FUNKCIQ OT DWUH PEREMENNYH, URAWNENIE PRIWODITSQ K KANONI^ESKOJ FORME
u + MLAD[IE ^LENY = 0:
|LLIPTI^ESKIJ SLU^AJ: D < 0, DEJSTWITELXNYH HARAK-
TERISTIK NET, NO ESTX DWA SEMEJSTWA KOMPLEKSNO SOPRQVENNYH HARAKTERISTIK (x y ) i (x y ) = C. dLQ PRIWEDENIQ K KANONI- ^ESKOJ FORME (TOLXKO K PERWOJ) NEOBHODIMO SDELATX ZAMENU
= (x y )= (x y ):
17
w \TOM SLU^AE URAWNENIQ PRIWODITSQ K WIDU
u + u + MLAD[IE ^LENY = 0:
2.1. sU]ESTWUET LI URAWNENIE WIDA
|
n |
|
|
|
|
|
|
X |
aij(x1 |
n) uxixj = 0 |
aij 2 C(Rn) |
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
QWLQ@]EESQ |
|
|
n |
|
Rn, |
|
6 |
|
|
|
|
||
D = |
Rn, I GIPERBOLI^ESKIM NA EGO DOPOLNENII Rn D? |
|
||||
2.2. wERNY LI SLEDU@]IE UTWERVDENIQ: ESLI URAWNENIE |
|
|||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
X |
aij(x1 |
n) uxixj = 0 |
aij 2 C(Rn) |
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
| GIPERBOLI^ESKOE (\LLIPTI^ESKOE, PARABOLI^ESKOE) W TO^KE |
||||||
(x1 |
n), TO ONO QWLQETSQ GIPERBOLI^ESKIM (SOOTWETSTWENNO |
|||||
\LLIPTI^ESKIM, PARABOLI^ESKIM) TAKVE W NEKOTOROJ OKRESTNOS- |
||||||
TI \TOJ TO^KI? |
|
|
|
|
||
2.3. dLQ KAKIH IZ TREH URAWNENIJ NA PLOSKOSTI |
|
|
||||
|
ut = uxx |
utt = uxx |
utt = ;uxx |
|
|
|
SU]ESTWUET NEPOSTOQNNOE RE[ENIE S OGRANI^ENNYMI I ZAMKNU- TYMI LINIQMI UROWNQ?
2.4. pRI KAKIH (x y z ) 2 R3 URAWNENIE
uxy + (3x + y ; z)uxz + (3x ; y + z)uyz = 0
QWLQETSQ GIPERBOLI^ESKIM?
2.5. nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ uxx ; y2uyy = 0, PROHO- DQ]IE ^EREZ:
A) TO^KU (1 2)
B) TO^KU (1 0).
18
2.6. A) nAJTI WSE HARAKTERISTIKI URAWNENIQ
uxy ; uyy ; ux + uy = 0:
B) nAJTI EGO OB]EE RE[ENIE. |
|
2.7. A) oPREDELITX TIP URAWNENIQ 2uxx + uxy = 1. |
|
B) nAJTI EGO HARAKTERISTIKI. |
|
W) nAJTI EGO OB]EE RE[ENIE. |
|
2.8. A) oPREDELITX TIP URAWNENIQ |
|
uxx ; 2 uxy ; 3 2uyy + uy + ux = 0 |
(2) |
W ZAWISIMOSTI OT DEJSTWITELXNOGO PARAMETRA . |
|
B) pRIWESTI URAWNENIE (2) K KANONI^ESKOJ FORME. |
|
W) nAJTI OB]EE RE[ENIE \TOGO URAWNENIQ. |
|
2.9. A) nAJTI WSE , PRI KOTORYH SU]ESTWUET LINEJNAQ ZAMENA
PEREMENNYH (x y ) ! (t z ), PEREWODQ]AQ URAWNENIE |
|
uxx + 4uxy ; uyy = 0 |
(3) |
| W URAWNENIE STRUNY utt = uzz
|W URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI ut = uzz. B) tE VE WOPROSY OB URAWNENII
uxx + 4uxy ; uyy ; ux + 2uy = 0:
W) pUSTX FUNKCIQ u(x y ) 2 |
C2(B12(0)) UDOWLETWORQET URAW- |
|||||||||||||
NENI@ (3) PRI NEKOTOROM ZNA^ENII < |
; |
10. wOZMOVNO LI PRI |
||||||||||||
\TOM u 2= C1(B12(0))? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
G) tOT VE WOPROS DLQ > 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.10. |
pUSTX = |
f |
(x y ) |
2 |
R2 |
j |
x2 + (y |
; |
2l)2 < l2 |
g |
, FUNKCIQ |
|||
u 2 C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
( ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2uxx + sign y uyy = 0 |
W OBLASTI . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A) wOZMOVNO LI, |
^TO u = C3( ) W SLU^AE l > 0? |
|
|
|||||||||||
B) tOT VE WOPROS W SLU^AE l < 0.
19
2.11. nA PLOSKOSTI (x t ) 2 R2 RASSMATRIWA@TSQ URAWNENIQ
ut ; ux = 0 |
(4) |
2utt ; ( + 1)2utx + 2 uxx = 0: |
(5) |
A) nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (4).
B) pRI KAKIH L@BOE BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOE RE[E- NIE u(x t ) URAWNENIQ (4) QWLQETSQ TAKVE I RE[ENIEM URAWNE-
NIQ (5)?
dLQ KAVDOGO IZ NAJDENNYH W P. B) ZNA^ENIJ PARAMETRA : W) NAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (5)
G) UKAZATX NEKOTOROE RE[ENIE u(x t ) URAWNENIQ (5), KOTOROE NE QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ (4), ILI DOKAZATX, ^TO TAKOGO RE[ENIQ NET.
D) tOT VE WOPROS OB OGRANI^ENNOM RE[ENII.
2.12. nAJTI HARAKTERISTI^ESKIE PLOSKOSTI URAWNENIQ
utt = uxx + uyy
PROHODQ]IE ^EREZ PRQMU@ t = 0, y = x.
2.13. nAJTI WSE HARAKTERISTIKI URAWNENIQ
uxx + 2uyy + 2 uyz + 2uzz + uz + u = 1
PRI KAVDOM 2 R.
2.14. nAJTI OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ
uxx + 2uxy + 2uxz + uyy + 2uyz + uzz ; u = 0:
2.15. A) pRIWESTI K WIDU, NE SODERVA]EMU NESME[ANNYH PRO- IZWODNYH WTOROGO PORQDKA, SLEDU@]EE URAWNENIE:
uxx + uxy ; 2uyy + 3(x + y)ux + 6(x + y)uy + 9u = 0:
B) nAJTI OB]EE RE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ.
20