Добавил:

tonistark05 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дагестанский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задачи по мат.физике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2016

Размер:

749.32 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

'+(x + 2pt ) exp(; 2)d +

p1 t

';(x + 2p

) exp(; 2)d =

'+(2pt ) exp(; 2)d +

Z ';(2pt ) exp(; 2)d +

;1 h

p1 t

'+(x + 2p

) ; '+(2p

)

exp(; 2)d +

;1 h

+ 2pt )

';(2pt )

2)d :

';(x

exp(

p t Z

;

wTOROJ INTEGRAL RAWEN NUL@, TAK KAK BERETSQ OT NE^ETNOJ FUNKCII PO SIMMETRI^NOMU PROMEVUTKU. tRETIJ I ^ETWERTYJ DOPUSKA@T OCENKU PO MODUL@ WELI^INAMI

' (x+2pt );' (2pt )

' 2pth +

i ;' (2pt )

eSLI FUNKCIQ f(x) NEPRERYWNA, TO f(x) = f(kx)

= const =

0 | TOVE NEPRERYWNA, TO ESTX f~(x + x) ! f~(x) x ! 0:

wYBEREM W KA^ESTWE f(x) L@BU@ IZ FUNKCIJ '

(x),

W KA^ESTWE

k | WELI^INU 2pt, W KA^ESTWE x |

WELI^INU

. tAKIM

OBRAZOM, ! 0 PRI

! 0

TO ESTX PRI t ! 1:

rASSMOTRIM OSTAW[IJSQ PERWYJ INTEGRAL. oN MOVET BYTX

PREOBRAZOWAN KAK

'(2p

) + '(

)

A + B

;

exp(; 2)d +

w \TOM WYRAVENII INTEGRAL STREMITSQ K NUL@ W SILU (20)

PRI	t ! 1:	tAKIM OBRAZOM, OKON^ATELXNO POLU^IM, ^TO
lim	u(x t ) =	A + B		:
lim	u(x t ) =	2		:
t!+1		2
2. oBOZNA^IM F (x) = Zx '( )d : uSLOWIE (21) OZNA^AET, ^TO
				0
			lim		F (l) ; F (;l) = A:	(21 )
			l!1		l

oBOZNA^IM F+(x) I F;(x) ^ETNU@ I NE^ETNU@ SOSTAWLQ@]IE FUNKCII F (x):

sOGLASNO FORMULE pUASSONA

x)2

u(x t ) =

'+( ) exp ;

;4t

d +

( ) exp

;

( ; x)2

d =

2p t

;

; x)2

= lim

F ( ) exp

;

l ;

2 ;

l!1 2p t

F+( ) x ; exp

;

; x)

;2p t

;

1 F

( ) x ; exp

;

; x)2

d :

;2p t

;

oBOZNA^IM \TI WYRAVENIQ L I 1

I PREOBRAZUEM IH, SDELAW

2pt

ZAMENU = ;

L = l!1lim

F (x + 2pt ) exp(; 2) =;l =

hF (2pt l) ; F (;2pt l)i exp(;l2)+

= llim!1

hF (x + 2pt l) ; F (2pt l)iexp(;l2);

+ l!1lim

hF (;x ; 2pt l) ; F (;2pt l)i exp(;l2) =

; l!1lim

' 2pt l + 1x

= llim!1 p exp(;l2) + llim!1

exp(;l2);

;

2pt l ; 2x

exp(;l2)

; llim!1

;

1 2 2 (0 1)

(

MY WOSPOLXZOWALISX ZDESX TEOREMOJ lAGRANVA

eSLI WSPOMNITX, ^TO FUNKCIQ ' OGRANI^ENA, TO POLU^IM, ^TO L = 0 DLQ KAVDOGO FIKSIROWANNOGO x: dALEE,

1 F (x + 2p

) + F (

;

)

I1 =

exp(; 2)d =

1 F(2p

) + F(

;

)

exp(; 2)d +

1 F (x + 2p

)

(2p

)

;

exp(; 2)d +

+ p1 t Z1 F (;x ; 2pt 2) ; F (;2pt ) exp(; 2)d :

w PERWOM IZ INTEGRALOW PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ NE^ETNAQ, PO\TOMU ON RAWEN NUL@. mODULI SLEDU@]IH DWUH INTEGRALOW MOGUT BYTX OCENENY S U^ETOM TEOREMY lAGRANVA KAK

1 1 F (

)

;

)

F (

exp(; 2)d

Z x ' 2pt +

x exp(; 2)d

;

'( )

)

sup

2jxj

sup

exp(;

0 !

2jxj

'( )

; 2

p t

2 (0 1): tAKIM OBRAZOM, W SILU OGRANI^ENNOSTI ' W KAVDOJ

FIKSIROWANNOJ TO^KE x INTEGRALY STREMQTSQ K NUL@ PRI t !

+1:

dALEE,

1 F (x + 2p

)

F (

I2 =

;

exp(; 2)d =

1 F

(2p

)

F (

;

exp(; 2)d +

2 t

;1 h

exp(; 2)d ;

+ 2p t

F (x + 2pt ) ; F (2pt )

;1 h

exp(; 2)d :

;2p t Z

F (;x ; 2pt ) ; F (;2pt )

pOSLEDNIE DWA INTEGRALA STREMQTSQ K NUL@ PRI t ! +1, KAK BYLO POKAZANO WY[E, A PERWYJ MOVET BYTX PREOBRAZOWAN KAK

1 F (2p

) ; F (;2p

)

2 exp(

2)d =

p2 t

;

2pt

1 1

F (2p

) ; F (;2p

)

2 exp(

2)d +

p Z

;

2pt

;

+ p

Z 2 exp(; 2)d :

wTOROE SLAGAEMOE RAWNO NUL@ W SILU TOGO, ^TO

Z1 2 exp(; 2)d = p 2

A PERWOE MOVET BYTX OCENENO PO MODUL@ KAK

F (2p

) ; F (;2p

)

2 exp(

2)d 6

;

2pt

1 sup

F (2

t ) A

t ) ; F (;2

! 1

2pt

;

2 2R

nO POSLEDNEE WYRAVENIE STREMITSQ K NUL@ PRI t

W SILU

(21 ):

u(x t ) !

USLOWIQ

sOBRAW WMESTE WSE OCENKI

POLU^IM

^TO

! +1:

3. oBOZNA^IM PERIOD FUNKCII '(x) ZA 2l

TOGDA

ik x

'(x) = k=;1 ck exp h

rQD SHODITSQ RAWNOMERNO W SILU NEPRERYWNOSTI '(x) ^TO POZ- WOLQET EGO PO^LENNO INTEGRIROWATX.

pREDSTAWIM RE[ENIE ZADA^I kO[I SOGLASNO FORMULE pUAS-

SONA:

u(x t ) =

'( ) exp

(

; x)2

d =

2p t

;

1 exp

; x)2

d +

2p t

;

+1 ck

1 exp

ik x

exp

( ; x)2

d :

; 4t

2p t k=

pERWYJ INTEGRAL RAWEN c0: pOKAVEM, ^TO WTOROJ STREMITSQ K NUL@ PRI t ! +1: dEJSTWITELXNO, WYDELQQ POLNYJ KWADRAT POD ZNAKOM \KSPONENTY, POLU^IM, ^TO

1 exp

ik x

exp

;

( ; x)2

d =

2p t

4ik t

(

; ;

x +

2ik t

)

;

= 2p t Z

exp

d =

= exp h

4ik t

;

4k 2t2

! 0

! 1:

tAKIM OBRAZOM

, u(x t )

! c0 =

'(x)dx:

;

zADA^A 4.36.

) | RE[ENIE W R2

R+ ZADA^I

nAJTI

lim

u(x y t ) GDE u(x y t

kO[I

! 1

ut = uxx + uyy

t=0

= '(x y )

PRI SLEDU@]IH NA^ALXNYH USLOWIQH:

A) '(x y ) =

B) '(x y ) = sin2 y

W) '(x y ) =

(x sin y)2

1 + 2x2

rE[ENIE. zDESX

(x sin y)2

'(x y ) =

1 + 2x2 = '1(x)'2(y)

'1(x) =

'2(y) = sin2 y

1 + 2x2

SLEDOWATELXNO,

lim u(x y t

) =

lim

(x t )

lim

u(y t ):

t!1

nO
	lim u1(x t ) =		1	(TEOREMA 1),
	t!1		2

A lim	u2(y t ) =	1	sin2 ydy =		1	(TEOREMA 3).
A lim	u2(y t ) =	2 Z	sin2 ydy =		2	(TEOREMA 3).
t!1		2 Z			2
		;
tAKIM OBRAZOM, lim u(x y t ) = 1				:
	t!1		4

zADA^A 5.3.

nAJTI WSE GARMONI^ESKIE W R2 FUNKCII u(x y ) DLQ KOTORYH

ux(x y ) < uy(x y ) 8 (x y ) 2 R2:

rE[ENIE. eSLI u(x y ) | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W R2, TO I EE PROIZWODNYE | GARMONI^ESKIE FUNKCII. pO\TOMU v = ux ; uy | GARMONI^ESKAQ WO WSEJ PLOSKOSTI. pO TEOREME lIUWILLQ | \TO KONSTANTA. tAKIM OBRAZOM, ux ; uy = C:

rE[AEM \TO LINEJNOE NEODNORODNOE URAWNENIE S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI 1{GO PORQDKA STANDARTNYM OBRAZOM. uRAWNENIQ HARAKTERISTIK:

dx = ;dy = duC :

|TA SISTEMA IMEET DWA NEZAWISIMYH PERWYH INTEGRALA

x + y = C1

u ; Cx = C2

T.E. RE[ENIE IMEET WID u = Cx + '(x + y) S PROIZWOLXNOJ GAR- MONI^ESKOJ FUNKCIEJ '. tAKIM OBRAZOM,

0 = 'xx + 'yy = 2'00:

a \TO OZNA^AET, ^TO '(x + y) = K1(x + y) + K2 ILI u(x y ) =

M1x + M2y + M3: t.K. ux < uy, TO M1 < M2:

zADA^A 5.4.

pUSTX = (x y ) 2 R2

0 < x < 1

0 < y < 1

2 C2(

)

u = 0 W

= u

y=1

= 0 PRI

0 6 x 6 1:

y=0 1

mOVET LI FUNKCIQ f(x) := Z

u2(x y ) dy IMETX TO^KU PEREGIBA

WNUTRI INTERWALA (0 1)?

rE[ENIE. fUNKCIQ u2(x y )

2 C2( ),

PO\TOMU Z1 u2(x y ) dy

MOVNO DWAVDY DIFFERENCIROWATX PO PEREMENNOJ

0x. tOGDA, IS-

POLXZUQ GARMONI^NOSTX FUNKCII u, IMEEM

f00(x) = 2 Z1

;

u2x + uuxx

= 2 Z1

;

ux2 ; uuyy

dy:

iNTEGRIRUQ PO ^ASTQM WTOROE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI, S U^ETOM KRAEWYH USLOWIJ POLU^AEM

f00(x) = 2 Z ;u2x + u2y dy > 0 x 2 [0 1]:

|TO OZNA^AET, ^TO PEREGIBA BYTX NE MOVET.

zADA^A 5.7.

pUSTX u(x) 2 C2(B12(0)) \ C(B12(0))

u(x) = 0 u(x) = x22 u(x) = x2

nAJTI Z u(x) dx:

B12=2(0)

x := (x				1	2	)	2	B2(0)
	2	2						1
x		2	(0)				x2	> 0
		S1
x	2 S1		(0)				x2	< 0:

rE[ENIE. sOGLASNO TEOREME O POWERHNOSTNOM SREDNEM DLQ GAR- MONI^ESKOJ FUNKCII PRI n = 2 IMEEM, ^TO

u(0) =

u( )d

SRZ(0)

GDE n | PLO]ADX EDINI^NOJ SFERY W Rn

2 = 2 : pODSTAWLQQ

ZNA^ENIQ u(x) NA OKRUVNOSTI S2 (0) (S U^ETOM TOGO, ^TO NA RAZ-

NYH EE ^ASTQH \TI ZNA^ENIQ ZADA@TSQ RAZNYMI WYRAVENIQMI)

I PEREHODQ K POLQRNYM KOORDINATAM, POLU^IM, ^TO

u(0) = 2 2Z sin2 'd' +

sin 'd'3 = 4 ; :

s DRUGOJ STORONY, PO TEOREME O PROSTRANSTWENNOM SREDNEM

u(0) =

u(x)dx:

2R2

BRZ(0)

tAKIM OBRAZOM, B2 Z(0)

u(x)dx =

; 4

1=2

zADA^A 5.8.

pUSTX

u(x) = 1

2 B22(0)nB12(0):

~TO BOLX[E:

@u@ ( ) ds ILI

@u@ ( ) ds?

S Z(0)

rE[ENIE. pRIMENIM FORMULU gAUSSA{oSTROGRADSKOGO, IMEQ W

WIDU, ^TO

PRI s 2 S22(0)

s 2 S12(0)

@ =

PRI

GDE | WNE[NQQ NORMALX K GRANICE OBLASTI. iMEEM

Z 2

ds ;

@ ds:

3 =

1 dxdy =

u dxdy =

B2 (0)nB1 (0)

(0)

i, SLEDOWATELXNO,

ds =

ds + 3 >

ds:

S Z(0)

zADA^A 5.11.

pUSTX u 2 C2( ) \ C(

)

q 2 C( )

u(x) + q(x) u(x) = 0

M = max u(x) m = max u(x):

wOZMOVNO LI, ^TO M > m, ESLI

A) q(x) 0

B) q(x) > 0

W) q(x) < 0>

G) q(x) < 0<

rE[ENIE. A) NEWOZMOVNO (PRINCIP MAKSIMUMA)

B) WOZMOVNO, PRIMER (W SLU^AE n = 1)

u00

+ u = 0

PRI x 2 (; 2

2 )

PRI \TOM FUNKCIQ u = cos x QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ, DLQ KOTOROJ WERNO UTWERVDENIE.

W) NEWOZMOVNO, T.K. ESLI WO WNUTRENNEJ TO^KE x0 2 DOSTI- GAETSQ MAKSIMUM (u(x0) = M), TO u 6 0

G) WOZMOVNO, PRIMER (W SLU^AE n = 1)

u00 ; u = 0 PRI x 2 (;1 1)

PRI \TOM FUNKCIQ u = ; ch x QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ, DLQ KOTOROJ WERNO UTWERVDENIE.

zADA^A 5.12.

(x y ) 2 R2 1 6 x2

+ 2y2

u 2 C2(

)

pUSTX =

u(x y ) = 0

(x y )

u(x y ) = x + y

x + 2y = 2

@u(x y )

+ (1 ; x)u(x y ) = 0

x2 + 2y2 = 1:

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.02.20161.53 Mб125ВПЭ.pdf
#
15.02.201695.06 Кб99Глава 1. Вид - единица существования живых организмов.docx
#
15.02.201678.34 Кб5ГОСэкзамен магистратура 2012.doc
#
15.02.201679.36 Кб7ГОСэкзамен магистратура 2015.doc
#
15.02.20161.26 Mб114Двумерная флуоресцентная микроскопия для анализа биологических образцов (Сайфитдинова А.Ф., 2008).pdf
#
15.02.2016749.32 Кб24Задачи по мат.физике.pdf
#
15.02.2016862.57 Кб21Ионизационные волны в аргоне.docx
#
15.02.20161.94 Mб113КВАНТОВАЯ И ОПТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА-1.pdf
#
15.02.20161.94 Mб143КВАНТОВАЯ И ОПТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА.pdf
#
15.02.20161.54 Mб85КиОЭ_Садыков.doc
#
15.02.2016754.83 Кб67Конспект лекций по квантовой физике.pdf