Задачи по мат.физике

2

2

2

2 jxj = C0 (x)

R3

jxj

2

=

C0:

x = (x1 2 3) 2

I

I NAJDITE POSTOQNNU@

; zDESX

x1 + x2 + x3:

2. (3) pUSTX u(x t ) | RE[ENIE KRAEWOJ ZADA^I:

utt = uxx W (0 ) (0 +1)

2

!

! 1

u

x=0

= f(t) u

x=

= 0

u

t=0 = ut

t=0 = 0

f(t) | GLADKAQ FUNKCIQ I f(t)

0 PRI t

C2 (0

)

1

\

1

;

1

;

(0 +

)

C

[0 ]

[0 +

) : mOVET LI RE[ENIE \TOJ ZADA^I

ut = uxx

u t=0 = '(x)

'(x) 2 C(R) \ B(R): qWLQETSQ LI FUNKCIQ u(t x ) WE]ESTWENNO-

ANALITI^ESKOJ PO PEREMENNOJ x PRI FIKSIROWANNOM t? oTWET

OBOSNUJTE.

4. (3) dOKAVITE TOVDESTWO

1

1

1

X

0

i=1

i

= Z G(x x ) dx

DLQ WSEH x0 2 @ KROME EDINSTWENNOJ TO^KI x

2

@ : nA-

ZOWEM TAKU@ FUNKCI@ "RE[ENIEM ZADA^I dIRIHLE u = 0

u

@

= '(x) KROME ODNOJ GRANI^NOJ TO^KI x ". eDINSTWENNO

LI RE[ENIE TAKOJ ZADA^I dIRIHLE? oTWET OBOSNUJTE.

6. (2) kORREKTNA LI ZADA^A kO[I NA PLOSKOSTI

@u

@2

@2

x 2 R y > 0

u +

@x = 0

=

+

@x2

@y2

u y=0 = '(x)

uy y=0 = (x)?

zDESX '(x)

(x) | NEPRERYWNYE OGRANI^ENNYE FUNKCII, RE[E-

Rx

NIE u(x y )

RASSMATRIWAETSQ W PROSTRANSTWE C [0

0]

B [0

0] Rx : oTWET OBOSNUJTE.

;

\

7.

(3) pUSTX u(t x ) | RE[ENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W

;

"WYKOLOTOJ" TO^KOJ

POLUPLOSKOSTI S ODNOJ

ft > 0g Rx n f(1 0)g

I

u(t x ) < M W : dOKAVITE, ^TO OSOBENNOSTX W TO^KE (1 0)

6

utt = uxx

t > 0>

0

'(x)

.. . .. .. . ...

u = '(x)

u

= 0

1

t

;.@

t=0

t=0

.

;

.

@

-

(ux + u)

= 0:

.

0

1

2

3

x

x=0

utt(t x ) = u(t x )

t > 0

2

R3

6

u t=0 = '(x)

ut t=0 = (x)

u(t x )

0:

mOVET LI supp u(t x ) PRINADLEVATX

CILINDRU f(t x ) j t 2

R3?1

2

g

(0

)

D

GDE

D { OGRANI^ENNAQ OBLASTX PROSTRANSTWA

u(x) = 1

D u

x |

i=0

=i

!

x=0

X jXj

f

0

g

: wERNO LI,

RAZLOVENIE FUNKCII u(x) W RQD tEJLORA W TO^KE

^TO POLINOMY Pi(x)

D !u

x=0

x { GARMONI^ESKIE FUNK-

=i

CII? oTWET OBOSNUJTE.jXj

4. (3) pUSTX u(t x ) { RE[ENIE ZADA^I kO[I DLQ URAWNENIQ TEP-

LOPROWODNOSTI

ut = uxx PRI

t > 0

u(t x ) 2 C2( +) \ C(

+)

+ f(x t )

0g

u t=0 = '(x)

5. (4) pUSTX { OGRANI^ENNAQ OBLASTX W R2 (x) { SOBSTWENNAQ

FUNKCIQ ZADA^I dIRIHLE, TO ESTX

u(x) + u(x) = 0

u(x) = 0 DLQ x 2 @

= const :

mOVET LI MNOVESTWO = fx j u(x) = 0

2 g BYTX OTREZKOM

({AR "WZRYWAETSQ"). nARISUJTE u(t r ) W MOMENTY WREMENI t =

1 = 3 (RE[ENIE, RAZUMEETSQ, ZAWISIT TOLXKO OT r = jxj).

2. () fUNKCIQ u(x t ) QWLQETSQ RE[ENIEM KRAEWOJ ZADA^I

u + u = u00

NA

[0 ] [0

1)

u

x=0

= u

x=

= 0

u

t=0

= '(x)

u0

t=0

= (x):

wERNO LI, ^TO

Rn

u(x t )

! 0

PRI t ! 1? oTWET OBOSNUJTE.

3. () pUSTX u(x t ) {

GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W CILINDRE c =

[0

1)

| OBLASTX W

I u = 0 NA @ [0 1): pUSTX

TAKVE

u(x t )

6 M: dOKAVITE, ^TO

u(x t )

!

0 PRI t ! 1:

4. () pUSTX A1

I A2

| PODMNOVESTWA FUNKCIJ W C1(K)

1

| EDINI^NYJ KRUG NA PLOSKOSTI, TAKIE,

^TO

'

x1

=0 = 0 I

'0

= 0 SOOTWETSTWENNO. nAJDITE KORAZMERNOSTI ZAMYKA-

x1 x1=0

NIJ

I

\TIH MNOVESTW W PROSTRANSTWE H (K):

A1

A2

5. () pUSTX K | EDINI^NYJ KRUG NA PLOS-

KOSTI (x1

2) 1 I l2 | DWA OTREZKA GLAD-

KIH KRIWYH, PERESEKA@]IHSQ W TO^KE O POD

l1

NENULEWYM UGLOM. mOVET LI KRIWAQ l1 [ l2

l2

BYTX LINIEJ UROWNQ GARMONI^ESKOJ FUNK-

CII? oTWET OBOSNUJTE.

6. () pUSTX |

OBLASTX NA PLOSKOSTI, M | ZAMKNUTOE MNO-

1

1

( n M) SOWPADA@T NA

VESTWO W I PROSTRANSTWA H

( ) I H

n M: dOKAVITE, ^TO (M) = 0:

7. () rASSMOTRIM KRAEWU@ ZADA^U

u = u00 + f(x t ) W [0 ] [0 1)

0

f(x t )

6 M

u

x=0

= u

x=

= 0

u

t=0

= '(x)

t=0

=

(x):

t

mOVNO LI WYBRATX f(x t ) TAK, ^TOBY u(x t )

0 DLQ WSEH t > T0?

oTWET OBOSNUJTE.

uPRO]ENNYJ WARIANT: tOT VE WOPROS, ESLI f(x t ) = f(t):

8. () pUSTX u(x) { GARMONI^ESKAQ W [ARE {

jxj < 1 FUNK-

CIQ,

x

lim u(x) = 0

8

x0

2

@{

n

x

!

x0

145

x | NEKOTORAQ FIKSIROWANNAQ TO^KA NA @{

I

u(x)

< M W

[ARE {: wERNO LI, ^TO u(x)

0 W { ? oTWET OBOSNUJTE.

9. ()

mOVET LI

RE[E-

t

NIE URAWNENIQ TEPLOPRO-

6

WODNOSTI ut = uxx IMETX

-

TAKU@ LINI@ UROWNQ:

x

2001 GOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR

t.a.{APO[NIKOWA

pERWAQ ^ASTX (1.5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA)

1. a) (2) nAJTI OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ

5uxx ; 4uxy ; uyy = 0:

( )

B) (2) nAJTI RE[ENIE URAWNENIQ ( )

UDOWLETWORQ@]EE USLO-

WIQM

u x

x

= x2:

u(x 0) = 7x2

8

2. (2) rE[ITE ZADA^U kO[I

utt = u ; jxj

x 2

2

3

= sin jxj:

2

R>

0 u t=0 = 0

t

t=0

3. (2) w KRUGE Q =

x + y + 2x < 0

RE[ITE ZADA^U dIRIHLE

u = 0

W Q

u @Q = 4x3 + 6x 1:

;

4. A) (2) nAJDITE RE[ENIE ZADA^I kO[I

ut = u x Rn

t > 0

u

= e;jxj2

:

2

t=0

B) (2) nAJTI

lim

u(x t ): oTWET OBOSNOWATX.

jxj!1

5. A) (2) nAJTI RE[ENIE ZADA^I

ut = uxx

; 7

x 2 (0 )

t > 0

146

u x=0 = 1

ux x= = 0

u t=0 = 0:

B) (2) nAJTI

lim u(x t ): oTWET OBOSNOWATX.

t!1

wTORAQ ^ASTX (1.5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA)

0 < t < +1 2 C2(

)

1. (3) pUSTX =

(x t )

0 < x <

2

uxx

W

utt = a

2

C1

u x=0 = 0 x x= = f(t)

u t=0 = ut t=0 = 0

;

1

[0

1)

1

f

[0 +

)

(0) = 0

sup f(t)

< +

: wERNO LI, ^TO

< +1?

sup

u(x t )

y2

3

;??

2

y = Ay + b (x) y =

y1

A =

2

;??

b =

0

:

UGOLXNIKE 0 6 x 6 a

0 6 y 6 b SO SLEDU@]IMI GRANI^NYMI

USLOWIQMI

u

x=0

=

@u

x=a

= 0

u

y=0

= 0

u

y=b

= sin

5x

:

@x

2a

3. (2) pUSTX u(t x ) | RE[ENIE ZADA^I kO[I

utt = u

x = (x1 2) 2 R2

t > 0

u

t=0

= '(x)

ut

t=0

= (x):

'

x1

2 [0 ]

fUNKCII

I

IZWESTNY TOLXKO W PRQMOUGOLXNIKE

x23 2

[0 ]:

gDE MOVNO OPREDELITX

u(t x )>

0?

nARISUJTE W

Rt x1

2 \TU OBLASTX.

4. (2) rE[ITE ZADA^U

t!1

ut = uxx

x 2 (0 ) t > 0

u t=0 = 0

u x=0

= A1 = const

x=l

= A2

= const>

0:

nAJDITE lim u(t x ):

wTORAQ ^ASTX (1.5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA)

1. (4) pUSTX =

(x1

2)

0 < xj

< 1

= 1 2 : dOKAVITE,

1

( )

v 2 H

UDOWLETWORQ@]EJ USLOWI@

^TO DLQ L@BOJ FUNKCII

Z sin x1 sin x2 v(x1

2) dx1 dx2 = 0

148

2

1

2

v L2( ) 6

rv L2( ):

5 2

2. (3)

nAJDITE POTENCIAL PROSTOGO SLOQ, RASPREDELENNOGO S PO-

STOQNNOJ PLOTNOSTX@ NA CILINDRE

x12+x22 = R2 0 6 x3

6 H

W CILINDRE Q1 =

Rn>

j

(0

)

0

xj

<

j = 1 ::: n

1

2

j

8

u = 0 NA @ (0 1)

u 2 C2 1(Q1) \ C(

Q

1): dOKAVITE, ^TO

u

6 C0 e;4nt

C0 = const > 0:

R1

4. (2) nAJDITE W D0

(

) KAKOE{NIBUDX RE[ENIE SISTEMY

x = x ; y

y = y ; 4x + 3 (t):

2. (2) rE[ITE ZADA^U

utt = u

0 < xy < 1 t > 0

u x=0 = u x=1 = u y=0 = u y=1 = 0

u t=0 = sin 3 x sin 7 y

ut t=0

=

;

2 sin x sin 4 y:

3. (2) pUSTX u(t x ) | RE[ENIE ZADA^I kO[I

utt = u

x = (x1 2 3) x

2 R3

t > 0

u

t=0

= '(x)

ut

t=0

= (x):

fUNKCII ' I

IZWESTNY TOLXKO W [AROWOM SLOE 1 6 x 6 2:

j

j

gDE IZWESTNO RE[ENIE u(t x )? (oTWET OBOSNOWATX).

4. (2) rE[ITE ZADA^U kO[I

ut =

1

uxx

x

1

0

u

= e;

x2

+2x

x

1

4

2

R>

t=0

2

R

:

wTORAQ ^ASTX (1.5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA)

1. (4) nAJDITE

inf

Z

jr

u

2 + 2u dx +

Z

u2 dS

M

;

j

jxj=1

GDE

= 1 <

jxj

< 2

= (x1 2 3) 2

R3

M = v 2

H1( )

v = 0 PRI

j

x

j

= 2

:

2. (3) nAJTI POTENCIAL PROSTOGO SLOQ, RASPREDELENNOGO S PLOT-

NOSTX@ = sin2 ' NA CILINDRE

x12 + x22 = R2

0 6 x3 6 H W

TO^KE, LEVA]EJ NA OSI x3:

3. (3) pUSTX u(x)

2

R3

UDOWLETWORQET URAWNENI@