Добавил:

tonistark05 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дагестанский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задачи по мат.физике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2016

Размер:

749.32 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

tEOREMA OB USTRANIMOJ OSOBENNOSTI. eSLI u | GARMO-

NI^ESKAQ FUNKCIQ W n f0g I

u(x) 6 (x) En(x)

GDE (x) ! 0 PRI x ! 0, A En | FUNDAMENTALXNOE RE[ENIE OPERATORA lAPLASA, TO FUNKCI@ u MOVNO DOOPREDELITX W 0 TAK, ^TOBY u BYLA GARMONI^ESKOJ WEZDE W :

tEOREMA O POTOKE. eSLI u | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W

u 2 C1( ) TO

@Z @u@ dS = 0

GDE | WEKTOR WNE[NEJ NORMALI K @ :

5.1. nAJTI WSE GARMONI^ESKIE W R2 FUNKCII u(x y ) DLQ KOTO-

RYH

uy(x y ) = 3xy2 ; x3:

5.2.nAJTI WSE GARMONI^ESKIE W Rn FUNKCII, PRINADLEVA]IE

L2(Rn):

5.3.nAJTI WSE GARMONI^ESKIE W R2 FUNKCII u(x y ) DLQ KOTO-

RYH
ux(x y ) < uy(x y )					8 (x y ) 2 R2:
	(x y ) 2 R2			0 < x < 1 0 < y < 1 2 C2(					)
5.4. pUSTX =	(x y ) 2 R2			0 < x < 1 0 < y < 1 2 C2(					)
u = 0 W		u		= u		= 0 PRI	0 6 x 6	1:
u = 0 W		u	y=0	= u	y=1	= 0 PRI	0 6 x 6	1:
			y=0	1	y=1

mOVET LI FUNKCIQ f(x) := Z u2(x y ) dy IMETX TO^KU PEREGIBA

WNUTRI INTERWALA (0 1)?

5.5.	pUSTX u(x) { GARMONI^ESKAQ W Ban(0) I NEPRERYWNAQ W
Bn(0) FUNKCIQ, u(0) = 0. nAJTI SWQZX MEVDU ^ISLAMI
a			BZ
	BZ+		BZ
	u(x) dx I			u(x) dx
			;
GDE B+ = x 2 Ban(0) u(x) > 0			; = x 2 Ban(0) u(x) < 0 :
5.6. pUSTX u { GARMONI^ESKAQ					FUNKCIQ. nAJTI
5.6. pUSTX u { GARMONI^ESKAQ		W B2		(0)	FUNKCIQ. nAJTI
			1
	Z2 u (1		) d :
0

5.7. pUSTX u(x) 2 C2(B12(0)) \ C(B12(0))

u(x) = 0 u(x) = x22 u(x) = x2

nAJTI Z u(x) dx:

B12=2(0)

x := (x				1	2	)	2	B2(0)
	2	2						1
x		2	(0)				x2	> 0
		S1
x	2 S1		(0)				x2	< 0:


5.8. pUSTX u(x) = 1			2 B22(0)nB12(0): ~TO BOLX[E:
	@u@ ( ) ds ILI					@u@ ( ) ds?
2			2
S Z(0)				S Z(0)
1			2
5.9. pUSTX	1 2 uk 2 C2( k) \ C(						)
						k
uk(x) = 0 x		k	uk(x) = fk(x) x @ k (k = 1 2)
f1(x1) < f22(x2)			8x1 2 @ 1		8x2 22@ 2

x0 2 1 { PROIZWOLXNAQ TO^KA. ~TO BOLX[E: u1(x0) ILI u2(x0)?

C2(B2(0))

5.10. pUSTX u

(B2(0))

ux1x1 + ux1x2 + ux2x2 = 1

x := (x1

2) 2 B12(0):

mOVET LI u(x) IMETX WNUTRI B12(0)

A) MAKSIMUM

B) MINIMUM?

5.11. pUSTX u 2 C2( ) \ C(

)

q 2 C( )

u(x) + q(x) u(x) = 0

M = max u(x)

m = max u(x):

wOZMOVNO LI, ^TO M > m, ESLI

A) q(x)

B) q(x) > 0

W) q(x) < 0>

G) q(x) < 0<

2 R2

1 6 x2 + 2y2 6 2

u 2 C2(

)

5.12. pUSTX =

(x y )

u(x y ) = 0

(x y )

u(x y ) = x + y

x + 2y = 2

@u(x y )

+ (1 ; x)u(x y ) = 0

x2 + 2y2 = 1:

nAJTI max

u(x y )

5.13. pUSTX 1 := R3nB13(0)

uk 2 C2( 1) \ C(

)

uk(x) = 0 x 2 1 (k = 1 2)

u1(x) < u2(x) 8x 2 @ 1:

sLEDUET LI OTS@DA, ^TO

u1(x) < u2(x) 8x 2 1?

5.14. pUSTX u 2 C2( ) \ C1(

)

u(x) = 0 x 2

@u(x)

= (x) x 2 @ :

dOKAZATX, ^TO (x) OBRA]AETSQ W NULX NE MENEE ^EM W DWUH TO^- KAH NA @ :

5.15.

pUSTX B+ :=

x = (x1

3) 2 B13(0)

x3 > 0

FUNKCIQ

u(x)

x3 = 0

B+,

OPREDELENA I NEPRERYWNA W

RAWNA NUL@ PRI

QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ W B+. wERNO LI, ^TO

u(x) MOVNO PRO-

DOLVITX DO FUNKCII, GARMONI^ESKOJ WS@DU W B13(0)?

5.16. A) pUSTX R2 1 = R2n

u 2 C2( 1) \ C( 1) \

L1( 1)

x = (x1 2) 2 1:

u(x) = 0

dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET lim

u(x):

jxj!1

B) nAJTI \TOT PREDEL W SLU^AE, KOGDA = B12(0) I

Z2 u(cos sin ) d = 0:

5.17. pUSTX Q :=

x = (x1

3) 2 R3

x12 + x22 < 1

jx3j < 1

L :=

(0 0 3) jx3j < 2 FUNKCIQ u(x)

QWLQETSQ GARMONI^ES-

KOJ I OGRANI^ENNOJ W QnL: dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ u(x) MOVET

BYTX PRODOLVENA

DO FUNKCII, GARMONI^ESKOJ WS@DU W Q:

5.18. sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ

u + ux + u = 0

@x2

@y2

W OGRANI^ENNOJ OBLASTI Q NA PLOSKOSTI W TOJ VE FORME, KAK DLQ URAWNENIQ lAPLASA?

5.19. pUSTX u(x) | GARMONI^ESKAQ W R3 FUNKCIQ I

ZZZ u2(xj) dxj 3 < 1:

(1 + x )

wERNO LI, ^TO u(x) const W R3?

5.20. sU]ESTWUET LI POLOVITELXNAQ GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W [ARE B13(0) TAKAQ, ^TO

u(0 0 0) = 1

u(0 0 1=2) = 10?

5.21. pUSTX FUNKCIQ u(x) ZADANNAQ W [ARE B13(0) UDOWLETWO- RQET URAWNENI@

u = u ( = const < 0)

I u(x)

0 W [ARE B3

(0) RADIUSA

= const

0 < < 1:

dOKAVITE, ^TO u

0 W

B1 (0):

5.22. pUSTX K =

0 < r < 1

0 < ' < =6

| KRUGOWOJ

SEKTOR RASTWOROM 30

) | GARMONI^ESKAQ W K FUNKCIQ,

PRINADLEVA]AQ C1(K): dOKAVITE, ^TO

u(r

)

6 Cr6

GDE

C = const > 0:

5.23.

(0) GARMONI-

pOSTROJTE PRIMER OGRANI^ENNOJ W [ARE B1

^ESKOJ FUNKCII u(x) TAKOJ, ^TO

NEOGRANI^EN W B3(0):

5.24. pUSTX FUNKCIQ u(x)

UDOWLETWORQET URAWNENI@

u = u(x)

A TAKVE OCENKE

x 2 R3:

u(x)

6 C

dOKAVITE, ^TO u

0 W

5.25. pUSTX u(x y ) | RE[ENIE

URAWNENIQ lAPLASA W POLU-

2 = (0 1)

(x y ) +

fy > 0g

POLOSE

NA PLOSKOSTI

u 2 C ( ) \ C( )

UDOWLETWORQ@]EE GRANI^NYM USLOWIQM

u x=0

= u x=1 = 0

y > 0

PRI^EM u(x y )

0 PRI y

RAWNOMERNO PO x: dOKAVITE,

^TO

u(x y )

6 Ce;3:14 y

GDE

C = const > 0:

5.26.

pUSTX u(x y ) | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W POLUPLOSKOS-

TI P = fy > 0g 2 C(P)

u(x y ) 6 M

x 2 R 1 y 2 R+ I

8x 2 Rx

u y=0

= 0

GDE M |

NEKOTORAQ POSTOQNNAQ. dOKAVITE, ^TO u

0 W P:

kLASSI^ESKAQ POSTANOWKA OSNOWNYH KRAEWYH ZADA^

fORMULY gRINA

eSLI u v 2 C2( ) \ C1( ), TO

Z	v u dx = Z	v	@u		ds ; Z rurv dx
Z	v u dx = Z	v	@		ds ; Z rurv dx
	@
Z (v u ; u v) dx =				Z v		@u	; u	@v	ds	(10)
Z (v u ; u v) dx =				Z v		@	; u	@	ds	(10)
			@

GDE | WEKTOR EDINI^NOJ WNE[NEJ NORMALI K GRANICE OBLASTI

@ :

wNUTRENNQQ ZADA^A dIRIHLE

pUSTX 2 Rn { OGRANI^ENNAQ OBLASTX, @ { POWERHNOSTX KLASSA

C2:

kLASSI^ESKOJ ZADA^EJ dIRIHLE NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOV- DENII FUNKCII u(x) 2 C2( ) \ C( ) :

			u = f(x)	x 2
	2		u x2@ = '(x)
	2		2
GDE f(x)		C( )	(x) C(@ ) { ZADANNYE FUNKCII.

rE[ENIE WNUTRENNEJ ZADA^I dIRIHLE SU]ESTWUET I EDINST- WENNO.

wNUTRENNQQ ZADA^A nEJMANA

kLASSI^ESKOJ ZADA^EJ nEJMANA W OGRANI^ENNOJ OBLASTI NA- ZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x) 2 C2( ) \ C1( ) :

		8	u = f(x)			x 2
			@u		= '(x)		(11)
					= '(x)
		<	@	x	@
		C( ) (:x)		2
GDE f(x)	2	C( ) (:x)	C	(@ ) { ZADANNYE FUNKCII, \| WEKTOR
	2		2

WNE[NEJ NORMALI K @ :

uSLOWIEM RAZRE[IMOSTI ZADA^I nEJMANA (11) QWLQETSQ RA- WENSTWO NA FUNKCII f(x) I '(x)

Z	f(x) dx = Z	u dx = Z	@u	dS = Z '(x) dS
			@
		@		@

(KOTOROE SLEDUET IZ FORMULY gRINA (10) PRI v(x) 1). rE[E- NIE ZADA^I (11) NE EDINSTWENNO, A OPREDELQETSQ S TO^NOSTX@ DO PROIZWOLXNOJ ADDITIWNOJ POSTOQNNOJ: ESLI u1(x) I u2(x) { RE-

[ENIQ (11), TO u1(x) ; u2(x) const :

wNE[NQQ ZADA^A dIRIHLE

pUSTX

Rn { OGRANI^ENNAQ OBLASTX S GRANICEJ @ KLASSA

C2 1

2Rn n

kLASSI^ESKOJ WNE[NEJ ZADA^EJ dIRIHLE W NEOGRANI^ENNOJ

OBLASTI 1 NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x)

C2( 1) \ C( 1)

UDOWLETWORQ@]EJ SISTEME

u = f(x) x

u x

@ 1 = '(x)

I USLOWI@ NA BESKONE^NOSTI

u(x)

! 0

PRI

jxj ! 1

(n > 3)

(12)

u(x)

6 C

PRI

jxj ! 1

(n = 2)

GDE f(x)

)

(

)

(x)

C(@ ) { ZADANNYE FUNKCII,

C { NEKOTORAQ POSTOQNNAQ.

rE[ENIE WNE[NEJ ZADA^I dIRIHLE SU]ESTWUET I EDINSTWEN-

NO.

wNE[NQQ ZADA^A nEJMANA

kLASSI^ESKOJ WNE[NEJ ZADA^EJ nEJMANA W NEOGRANI^ENNOJ OB-

LASTI 1 NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x) 2 C2( 1) \ C1( 1) UDOWLETWORQ@]EJ

u = f(x)	x	2	1	@u		= '(x)
				@	x2@ 1
						57

I USLOWI@ (12) NA BESKONE^NOSTI ZDESX f(x) 2 C( 1) \ L1( 1) '(x) 2 C(@ ) { ZADANNYE FUNKCII, | WEKTOR WNE[NEJ NORMA-

LI K @ 1:

pRI n > 3 SU]ESTWUET EDINSTWENNOE RE[ENIE WNE[NEJ ZADA- ^I nEJMANA.

pRI n = 2 WNE[NQQ ZADA^A nEJMANA RAZRE[IMA TOLXKO PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII

f(x) dx =	Z	'(x) dS
Z1	@ 1

EE RE[ENIE OPREDELQETSQ NEODNOZNA^NO, S TO^NOSTX@ DO PROIZ- WOLXNOJ ADDITIWNOJ POSTOQNNOJ.

kRAEWYE ZADA^I NA PLOSKOSTI

rE[ENIE KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIQ lAPLASA u = 0 W KRUGE ILI KOLXCE MOVNO POLU^ITX, ESLI PEREJTI W POLQRNYE KOORDI-

NATY	@2u		1 @u		1 @2u
u( ) =		+		+		= 0

	@ 2		@		2 @ 2

I PRIMENITX METOD RAZDELENIQ PEREMENNYH. oB]EE RE[ENIE URAWNENIQ lAPLASA IMEET WID

u( ) = A0 + B0 ln +	1	An n +	Bn	cos n	+
u( ) = A0 + B0 ln +		An n +		cos n	+
	X		n
	n=1
	1		Dn
+	X			sin n :
	X		n
	n=1	Cn n +	n

tAK KAK FUNKCIQ u( ) DOLVNA BYTX OGRANI^ENA W RASSMATRI- WAEMOJ OBLASTI, TO

| DLQ ZADA^I W KOLXCE (R1 < < R2) NENULEWYMI MOGUT BYTX WSE KO\FFICIENTY,

| DLQ ZADA^I W KRUGE ( < R) B0 = Bn = Dn = 0 (n = 1 2:: ) | DLQ ZADA^I WO WNE[NOSTI KRUGA ( > R) B0 = An = Cn = 0

(n = 1 2 ::: ):

oSTAW[IESQ KO\FFICIENTY OPREDELQ@TSQ IZ GRANI^NOGO USLOWIQ. nAPRIMER, DLQ RE[ENIQ WNUTRENNEJ ZADA^I dIRIHLE

u = 0 < R u =R = f( )

RAZLOVIW	FUNKCI@		f( )
1 cos n sin n n = 1 2 :::
	1 2
A0 =		Z f( ) d
A0 =	2	Z f( ) d
	0
		Cn =	1

			Rn

pOTENCIALY

W RQD fURXE PO BAZISU POLU^IM

	2
An =	1	Z f( ) cos n d

	Rn
	0

Z2 f( ) sin n d :

rASSMOTRIM OBLASTX GRANICA KOTOROJ UDOWLETWORQET SLEDU-

@]EMU USLOWI@ lQPUNOWA (QWLQETSQ POWERHNOSTX@ lQPUNOWA,

T.E.):

1)w KAVDOJ TO^KE GRANICY SU]ESTWUET OPREDELENNAQ NORMALX (KASATELXNAQ PLOSKOSTX).

2)sU]ESTWUET TAKOE ^ISLO d > 0, ^TO PRQMYE, PARALLELXNYE NORMALI W KAKOJ-LIBO TO^KE P GRANICY, PERESEKA@T NE BOLEE ODNOGO RAZA ^ASTX GRANICY, LEVA]U@ WNUTRI SFERY RADIUSA d S CENTROM P .

3)uGOL, OBRAZOWANNYJ NORMALQMI W TO^KAH A I B, UDOWLETWO- RQET SLEDU@]EMU USLOWI@:

n\a B < constjA ; Bj

GDE jA ; Bj | RASSTOQNIE OT A DO B, 0 < 6 1:

nX@TONOW POTENCIAL

u1(x) = Z En(x ; y)f(y) dy:

tAKOJ POTENCIAL NAZYWA@T E]E PROSTRANSTWENNYM (n > 3) ILI PLO]ADNYM (LOGARIFMI^ESKIM) (n = 2).

pOTENCIAL PROSTOGO SLOQ

u2(x) =@Z En(x ; y)q(y) dsy: pOTENCIAL DWOJNOGO SLOQ

u3(x) = Z @En(x ; y) m(y) dsy: @ y

tEOREMA O TREH POTENCIALAH. l@BAQ FUNKCIQ u 2

C2( ) \ C1( ) PREDSTAWLQETSQ W SUMMU

u(x) = u1(x) + u2(x) + u3(x)

GDE f(y) = u(y) (y) = ;@u(y) A m(y) = u(y): @

tEOREMA O POTENCIALE PROSTOGO SLOQ. pOTENCIAL PROS-

TOGO SLOQ NEPRERYWEN W Rn:

tEOREMA O SKA^KE POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ. sU]EST-

WU@T FUNKCII u;

) I u+

C(Rn

) TAKIE, ^TO

1) u; = u3 W

3 2

= u3

W R

u; + u+

= u3

NA @

3) u+

2 u;

;

2 m NA @ :

; 3

aNALOGI^NOE UTWERVDENIE WERNO PRO NORMALXNU@ PROIZWOD- NU@ POTENCIALA PROSTOGO SLOQ.

tEOREMA O SKA^KE NORMALXNOJ PROIZWODNOJ POTENCI- ALA PROSTOGO SLOQ.

@u2(x0) = @u2(x0) q(x0): @ x0 @ x0

zDESX

@u2(x0) =

lim

u2(x0)

; u2(x00)

@ x;0

00!x0

jx0

; x00j

2 xo

@u2(x0) =

lim

u2(x0) ; u2(x00)

@ x0

!x0

;

x00

R j

2 xo

pRI \TOM	x0	2 (x0	00):
pRI \TOM	x00	2 (x0	0):

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.02.20161.53 Mб125ВПЭ.pdf
#
15.02.201695.06 Кб99Глава 1. Вид - единица существования живых организмов.docx
#
15.02.201678.34 Кб5ГОСэкзамен магистратура 2012.doc
#
15.02.201679.36 Кб7ГОСэкзамен магистратура 2015.doc
#
15.02.20161.26 Mб114Двумерная флуоресцентная микроскопия для анализа биологических образцов (Сайфитдинова А.Ф., 2008).pdf
#
15.02.2016749.32 Кб24Задачи по мат.физике.pdf
#
15.02.2016862.57 Кб21Ионизационные волны в аргоне.docx
#
15.02.20161.94 Mб113КВАНТОВАЯ И ОПТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА-1.pdf
#
15.02.20161.94 Mб143КВАНТОВАЯ И ОПТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА.pdf
#
15.02.20161.54 Mб85КиОЭ_Садыков.doc
#
15.02.2016754.83 Кб67Конспект лекций по квантовой физике.pdf