Задачи по мат.физике

nAJTI max

u(x y )

:

j

j

rE[ENIE. pO PRINCIPU MAKSIMUMA max

u(x y )

DOSTIGAETSQ

max

x + y:

x2

+2y2=2

p

p3

;

p

2

2y2

+y DLQ POLOVITELXNYH y: oN DOSTIGAETSQ PRI y =

1

I RAWEN

3:

@u

=1 = 1

@u

+ u =2 = ?

@

@

nAJTI RE[ENIE

WO WSEH SLU^AQH, KOGDA ONO SU]ESTWUET.

@u@ ( ) =

B0 + 1

;

kAk k;1 ; kBk ;k;1

cos k +

X

X

;

k=1

+

1

kCk k;1 ; kDk ;k;1

sin k :

k=1

tOGDA W SILU GRANI^NYH USLOWIJ

X

X

B0 +

1

(kAk ; kBk) cos k +

1

(kCk ; kDk) sin k = 1

k=1

k=1

I

B0

1

2

+

X

;

kAk2k;1 ; kBk2;k;1

cos k +

1

k=1

;

+

X

kCk2k;1 ; kDk2;k;1

sin k +

k=1

X ;

+ A0 + B0 ln 2 +

1

Ak2k + Bk2;k

cos k +

X

;

k=1

+ 1

Ck2k + Dk2;k

sin k

= :

k=1

oTS@DA NEPOSREDSTWENNO SLEDUET,

^TO

8 B0 = 1

>

B0

<

2 + A0

+ B0

ln 2 =

> Ak = Bk = 0

k 2 N

102

:

1

tAKIM OBRAZOM, ESLI = 0

TO = 2

I RE[ENIE IMEET WID

u( ) = A0 + ln (T.E. S TO^NOSTX@ DO ADDITIWNOJ KONSTANTY).

TO A0 = ;

1

eSLI = 0

2

;

ln 2, PRI \TOM | L@BOE I

6

u( ) =

2

; 1 + ln

:

2

2

@u(x)

u(x) = 0

x 2

; 1u(x) = f1

(x)

x 2 S13(0)

@

@u(x)

+ 2u(x) = f2

(x)

x 2 S23(0)

@

k = const > 0 (k = 1 2)?

B) tOT VE WOPROS PRI k = const < 0

(k = 1 2):

Z

Z

@v

Z

@v

Z

jrvj2dx:

0 =

v v dx = ;

@ v ds +

@ v ds ;

3

(0)

3

S1

S2 (0)

s U^ETOM GRANI^NYH USLOWIJ

Z

1

Z

v2 ds + 2

Z

v2

ds +

jrvj2dx = 0:

3

3

(0)

S1 (0)

S2

tAKIM OBRAZOM, PRI 1 > 0

2 > 0 \TO TOVDESTWO MOVET

WYPOLNQTXSQ TOLXKO DLQ v 0:

103

<

B0 + 1(A0 + B0) = 0

4

;

2

8

B0

2

A0

+

B0

= 0

(22)

i, SLEDOWATELXNO,:KO\FFICIENTY 1 I 2 DOLVNY UDOWLETWORQTX

SOOTNO[ENI@

1

+ 2 +

1 2

= 0:

(23)

4

2

K

Ck k sin k :

ZAKL@^AEM, ^TO RE[ENIE IMEET WID v( ) =

k=1

zDESX KONSTANTA K RAWNA CELOJ ^ASTI :

P

URAWNENIQ lAPLASA W OBLASTI

(x y )

R2

y

<

x

UDOWLE-

p3 o

TWORQ@]EE NERAWENSTWU

n

2

j

j

u(x y )

6 M

1 + x2

+ y2

M = const > 0

;.

GDE

EDINSTWENNO

ju(r

)j 6 M(1 + r2) :

(24)

eSLI w(r

) | DRUGOE RE[ENIE DANNOJ ZADA^I dIRIHLE, TO

v(r ) =

u(r ) ; w(r

) - GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W DANNOJ

OBLASTI, UDOWLETWORQ@]AQ NULEWYM GRANI^NYM USLOWIQM. oNA

TOVE POD^INENA NERAWENSTWU (24) (WOZMOVNO, S BOLX[EJ KON-

STANTOJ), TAK KAK jvj =

ju ; wj 6 juj + jwj: tAKIM OBRAZOM,

v(r ) =

X

(Akrk + Bkr;k) cos k' +

X

(Ckrk + Dkr;k) sin k':

k=3

k=6

u = 0

W

'(x) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA @ I

lim u(x) = '(x0)

x!x0

x2

DLQ WSEH x0

2

@ KROME EDINSTWENNOJ TO^KI x 2

@ : nA-

ZOWEM TAKU@ FUNKCI@ "RE[ENIEM ZADA^I dIRIHLE

u = 0

u @

= '(x) KROME ODNOJ GRANI^NOJ TO^KI x ". eDINSTWENNO

LI RE[ENIE TAKOJ ZADA^I dIRIHLE?

f

0 < r < 1

0 < ' <

rE[ENIE. rASSMOTRIM OBLASTX =

2

(r

=2g R GDE

) | POLQRNYE KOORDINATY NA PLOSKOSTI, I

GRANI^NU@ TO^KU

x = 0 2

@ :

rASSMOTRIM ZADA^U dIRIHLE

u = 0

x

2

u(x) x

2

@ =0 = 0:

6

rE[ENIE DANNOJ ZADA^I NEEDINSTWENNO: u

(r )

0

2

(r

) =

1

1

r2 ;

sin 2':

r2

zADA^A 5.46.

pUSTX

R3 | WNE[NOSTX EDINI^NOGO [ARA. eDINSTWENNO LI

2

( ) \ C( ) WNE[NEJ ZADA^I dIRIHLE

RE[ENIE u(x) 2 C

u(x) = 0

jxj > 1

u

x

=1 = 0

PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII

j

j

A)

Z

u( )

2 d = O(1)

B)

Z

u( )

2 d

= o(1)

j ;xj<1

j ;xj<1

2

1

Z

2

u(x)

=

u( ) d 6

4 =3

j ;xj<1

NERAWENSTWO kO[I{bUNQKOWSKOGO

6

1

Z d

Z

u( )

2

d

=

1

Z

u( )

2

d :

(4 =3)2

4 =3

j ;xj<1

j ;xj<1

j ;xj<1

uSLOWIE (A) \KWIWALENTNO USLOWI@

u(x)

= O(1)

PRI jxj !

+1 KOTOROGO

NEDOSTATO^NO DLQ

EDINSTWENNOSTI

RE[ENIQ W

R3

rE[ENIE TAKOJ ZADA^I NEEDINSTWENNO

pRIMER

: u1(x) 0

:

1

.

u2(x) = 1 ; jxj;

u2(x)

6 1 PRI jxj > 1

u2(x) = 0

j

x

j

> 1

u2

= 0

j

x

=1

Z

u2

( )

2

d 6

Z

d =

4

j

jxj ! +1:

3

= O(1)

PRI

j ;xj<1

j ;xj<1

!

1

iZ USLOWIQ

(B) SLEDUET, ^TO u(x)

0 PRI

x

+

ZNA^IT,

RE[ENIE TAKOJ ZADA^I EDINSTWENNO.

j j !

X

X

u( ) = A0 + 1 An n cos n +

1 Cn n sin n :

n=1

n=1

iZ GRANI^NOGO USLOWIQ WYTEKAET, ^TO An = 0, n = 0 1

PRI

\TOM n = kq I Cn = k;p;1:

tAKIM OBRAZOM, RE[ENIE

u( ) =

1 k;p;1 kq

sin kq :

X

k=1

6

B) lEGKO POS^ITATX KWADRAT GRADIENTA RE[ENIQ (PRI = 0)

@u

2

1

@u

2

1

q

jru( )j2 =

+

=

X

k;2p+2q;2 2k ;2:

@

2

@

k=1

2

jr j

1

eSLI u

H1(B12(0)),

TO

u 2dx <

: wYBEREM

TAKOE,

2

B1Z(0)

^TO 0 < < 1, TOGDA

2 1

q

1

k;2p+2q;2

q

Z0 Z0 X

k;2p+2q;2 2k ;1d d = 2

X

2kq

2k

=

k=1

k=1

0

=

1 k;2p+q;2 2kq ;!

1

k;2p+q;2

PRI ! 1:

X

X

k=1

k=1

x

;

(1 ;1)

; x

;

1.1. (1 1) + (;1 ;1)

(;1 1). 1.2. a =

1.

1.7.

.

1.4. (x)(1 ; e;

) + C1 + C2e;

. 1.5. ; (y ; jxj)=2.

nET

1.8. a) dA B) DA W) NET. 1.9. nET, PRIMER: u = sin(1=jxj).

1.10. B) nET, PRIMER: u = p

x ; x2

.

1.12. a) < 1=2 B) > 1=2, = 0. 1.13. < 1=2.

1.14. A) L@BOE, ESLI n > 7 < ;1=2, ESLI n = 6.

B) > 1=2 ILI = 0, ESLI n > 7.

1.15. > 1=2, = 0 = (2k

;

1) =2

2

Z.

1.16. = (2k ; 1) k

Z

2

L@BOE, ESLI n > 3 < 1=2, ESLI n = 2 = 0, ESLI n = 1.

NET | DLQ PARABOLI^ESKOGO. 2.3. tOLXKO U utt = uxx,

PRIMER

2

2

6

y

(x

;

1) B

) y = 0.

: u = x +t . 2.4. z = y

3x. 2.5 a) y = 2e

2.6. a) x = C1, x + y = C2 B) u = e f(x) + g(x + y).

2.7. a)

gIPERBOLI^ESKOE

B

) x

; 2y = C1, y = C2

W) u = xy + f(x ; 2y) + g(y).

6

2

2.8.

A) gIPERBOLI^ESKOE PRI = 0, PARABOLI^ESKOE PRI = 0.

B

) 16 u

4 u = 0

PRI

= 0 uxx + ux = 0

PRI

= 0.

W) u(x y ) =;F (y + 3 x) exp

y6; x

+ G(y

;

x)

PRI = 0

?

u(x y ) = F (y) + G(y)e;

x

4

6

= 0 . 2.9.

) > ;4 2

PRI

A

B) = 0 =

;4 W) NET G) DA. 2.11. A) x + t = C B) = 1

W) x + t = C PRI = 1 x

t = C PRI = ;1

;1

G) PRIMER: u = t(x + t) PRI

= 1 u = x ; t PRI =

D) PRIMER: u = sin(x ; t) PRI = ;1 PRI = 1 RE[ENIJ NET.

2.12. x

; y tp2 = 0. 2.13. z = C

PRI = 0

6

x

x

PRI = 0

DEJSTWITELXNYH HARAKTERISTIK NET.

2.14. u = e f(x ; y x

; z) + e; g(x

; y x ; z).

2.15. a) = x + y, = 2x

;

y u + u + u = 0

2

h

2x;y

i

Z0

.

B) u = e(x+y)(y;2x)

f(x + y) +

g(s)e;(x+y)sds

6

;

2.16. + 3

= 0. 2.17. a) =

0 B) =

2. 2.18. nET.

2.19. dA. 2.20. dA. 2.21. nET. 2.22. a) dA B) NET.

2

1 + i

kONTRPRIMER

: u

= um(x t ) = Re expf;pm+i m

t+

p

2

mxg =

109

m

2

m

expf;pm + p

2

xg cos

m

t + p

2

x . 2.23. > 0.

1