Задачи по мат.физике

8. (3)

'(x) 2 L2

(

) \ C(

):

,

pUSTX

R1

R1

dOKAVITE

^TO RE[ENIE

ZADA^I kO[I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI

2

;1 1

ut = uxx

t > 0

u

t=0 = '(x)

! 1

x

(

) STREMITSQ K NUL@ PRI t

RAWNOMERNO PO

x 2

(;1 1):

wSEGO 25 BALLOW

ut = u

W

(0 +1)

R3

I

u

= 0

ut

= '(x) C1(R3)

t=0

t=0

2

0

2

;

R3

1

;

R3

u

2

C

(0 +

1

)

\

C

[0

+

1

)

: mOVET LI NOSITELX

j j

1

FUNKCII u(t x ) LEVATX W CILINDRE

x

< R

[0 +

) ESLI

RZ

6

'(x) dx = 0?

3

2. (3) dOKAVITE, ^TO POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ S NEPRERYWNOJ

PLOTNOSTX@, SOZDAWAEMYJ OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTX@ S 2 C1

UBYWAET NA BESKONE^NOSTI KAK

1

GDE r | RASSTOQNIE DO NEKO-

r

2

TOROJ FIKSIROWANNOJ TO^KI O

2 S:

3. (3) pUSTX =

(x y )j 0 < x < a 0 < y < b | PRQMOUGOLX-

NIK NA PLOSKOSTI I C > 0 | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ, TAKAQ ^TO

1

8u(x y ) 2 H

( )

SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO fRIDRIHSA

Z

u2dx dy 6 C Z

jruj2dx dy:

dOKAVITE, ^TO C

>

a2b2

:

2(a2 + b2)

4. (3) pUSTX

L a

d2

d

+ b

+ c

dx2

dx

| DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR. pRI KAKIH a b c

2

R1 SU]EST-

WUET NEPRERYWNOE NA R1 RE[ENIE URAWNENIQ

Lu(x) = (x)

GDE (x) | {FUNKCIQ (T.E.

h

i

=

'(0)

8

'

2

C1(R1))?

pUSTX

1

T E

0 1

I SU]ESTWU

u(x) 2 H (;1

+1)

2 L2(

R

5. (3)

.

. u(x)

)

1 -

ET OBOB]ENNAQ PROIZWODNAQ PO sOBOLEWU ux

(x) = v(x)

2 L2(R ):

dOKAVITE, ^TO u(x) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ I u(x) ! 0 ESLI

jxj ! 1:

(r

)j 0 < r < 1

0 < ' < =6

| KRUGOWOJ

6. (3) pUSTX K =

SEKTOR RASTWOROM

30

(r

) |

GARMONI^ESKAQ W

K

FUNKCIQ

,

PRINADLEVA]AQ C1(K): dOKAVITE, ^TO

u(r

)

6 Cr6

GDE C > 0 | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ.

1

7. (3)

pRI KAVDOM LI 2 R

ZADA^A

u = 1 W K = (r )j 1 < r < 2

@u

@u

@n r=1 = sin '

@n + u r=2

= sin2 '

u

2

C

2(K)

C1(

K

) IMEET HOTQ BY ODNO RE[ENIE? (~n | WNE[NQQ

\

NORMALX K GRANICE KOLXCA K:)

8. (4) pOSTROJTE PRIMER OGRANI^ENNOJ W [ARE

j

x

j

< 1

2

R3

GARMONI^ESKOJ FUNKCII u(x)

TAKOJ, ^TO

u

NEOGRANI^EN

W

jxj < 1

:

jr j

9.

(4)

dOKAVITE (ISPOLXZUQ INTEGRAL pUASSONA), ^TO SU]ESTWU-

ET RE[ENIE SLEDU@]EJ ZADA^I: u(t x ) 2 C2

ft > 0g Rx1

ut = uxx W ft > 0g R1x

; I

u(t x )

!

'(x)

W

L

(R1)

PRI

t

!

0

2

x

GDE '(x) | ZADANNAQ FUNKCIQ IZ L

(R1) (NE OBQZATELXNO NEPRE-

2

x

1

J

J

J

-

0

0.5

1

x

utt = uxx:

nARISUJTE GRAFIK FUNKCII u

1

:

4

2. (3)

dOKAVITE

,

^TO ESLI POTENCIAL PROSTOGO SLOQ

,

SOZDAWA

-

3. (3) rASSMOTRIM ZADA^U kO[I W POLOSE = [0

0] R1x W Rx2 :

u 2 C2( ) \ C1(

)

u + u = 0 W

u y=0 = '(x)

uy y=0 = (x)

x

u + 2u = x ; a W

u

@ = 0

133

=

(0

) (0 )

IMEET HOTQ BY ODNO RE[ENIE? oTWET OBOS-

NUJTE.

6. (4) rASSMOTRIM KRAEWU@ ZADA^U

utt = uxx W

[0 1] (0 +1)

u

x=0

= 0 ux

x=1

= f(t)

u

t=0

= '(x) ut

t=0

= (x)

u x=0 = f(t) u x=1 = g(t)

u t=0 = '(x)

f g' | GLADKIE FUNKCII, PRI^EM

f(t) ! a

PRI t ! 1

g(t) ! b PRI t ! 1:

kAKOJ PREDEL PRI t ! 1 W PROSTRANSTWE C[0 1] (ESLI TAKOWOJ

2.

(3) pUSTX

ut = uxx W POLOSE

= (0 ) Rx1

u 2 C2( ) \ C(

)

u

= 0

x

R1 I

u(t x )

6 C x :

8

2

x

1

j j

t=0

dOKAVITE, ^TO u

0 W :

3.

A) (1) dAJTE OPREDELENIE PROSTRANSTWA H ( ):

B) (3) pUSTX u(x) | OGRANI^ENNAQ W EDINI^NOM [ARE { =

jxj <

1

2

R3

FUNKCIQ,

GLADKAQ W {

n f

0

g

: mOVNO LI UTWERVDATX,

1

({)? eSLI "DA" |

^TO u

2 H

DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE

OPROWERGA@]IJ PRIMER.

4. (2) sU]ESTWUET LI RE[ENIE URAWNENIQ

utt ; uxx = 0

W

R2

TAKOE, ^TO u 2 C2001(R2)

NO u 26 C2002(R2)?

3

5. (3) eDINI^NAQ SFERA W R

RAWNOMERNO ZARQVENA S POSTOQNNOJ

PLOTNOSTX@ Q (POTENCIAL PROSTOGO SLOQ). nAJDITE POTENCIAL

WNUTRI I WNE SFERY.

6. (4) pUSTX FUNKCIQ u(x)

2

R3

UDOWLETWORQET URAWNENI@

u = u(x)

W

R3

A TAKVE OCENKE

u(x) 6 C x 2 R3:

dOKAVITE,

^TO u

0

W

R3

:

R

I UDOWLETWORQET URAWNENI@

7. (4)

pUSTX FUNKCIQ

y(x)

2 D0(

)

y0 = y KAK OBOB]ENNAQ FUNKCIQ. dOKAVITE, ^TO y(x) ESTX REGU-

LQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, SOOTWETSTWU@]AQ FUNKCII Cex

C = const :

Z

2

dx dy 6 Z

2

u 2

1

u

jruj dx dy

H

( ):

1.

A) (1) dAJTE OPREDELENIE PROSTRANSTWA H1( ):

B) (2) pRI KAKIH > 0 FUNKCIQ sin x PRINADLEVIT H1[0 ]?

oTWET OBOSNUJTE.

2.

(3) pUSTX u(x t ) | RE[ENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI

ut = uxx

W POLOSE

= [0 1] R+

R

2

1

( )

UDOWLETWORQ@]EE KRAEWYM

+ ft > 0g 2 C

( ) \ C

USLOWIQM

ux x=0 = 1

ux x=1 = ;1

I NA^ALXNYM USLOWIQM

u(x y ) 6 M x

R R

I u

y=0

= 0

x

R1

2

2

+

8

2

x

u 2

C(

) GDE

M | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ. dOKAVITE, ^TO u 0

P

W P:

u

t=0

=

;

1 + jxj2

;1

ut

t=0 = sin jxj:

nAJDITE WELI^INU u(10 0 0 0):

UBYWAET NA BESKONE^NOSTI KAK

C

:

jxj

4. (3) eDINSTWENNO LI RE[ENIE SLEDU@]EJ WNE[NEJ ZADA^I dI-

RIHLE:

u = 0

W

R3

n

u

@

= '(x) '(x)

2

C(@ )

RZn

;

1 + jxj

u2(x) dx < 1?

3

utt ; uxx = 0

x > 0 t > 0

@u

+ 2u

x=0

= sin t

t > 0

u t=0 = ut t=0 = 0:

@x

2. (2)

rE[ITE KRAEWU@ ZADA^U

ut = uxx PRI

0 < x <

t > 0

138

@u

= 0

@u

= 1

u t=0 = 0:

@x x=0

@x

x=

3. (2) pUSTX u(t x )

2 R3>

0 | RE[ENIE ZADA^I kO[I

3

j j

utt = u t > 0

u

t=0 = 0 ut

t=0

= '(x)

GDE '(x) = 0 PRI 9 6 x

6 10

I '(x) > 0 DLQ DRUGIH ZNA^E-

2

3

NIJ x

R : pRI KAKIH ZNA^ENIQH PEREMENNOJ

t > 0 WOZMOVNO

POLUPROSTRANSTWE fx1 > 0g? a ESLI E]E DOPOLNITELXNO IZWEST-

NO, ^TO u(0 2 3) = 0? oTWETY OBOSNUJTE.

1

5. (3) dAJTE OPREDELENIE PROSTRANSTW H

1

( )

( ): dO-

I H

KAVITE, ^TO \TI PROSTRANSTWA NE SOWPADA@T.

pUSTX u(x) 2

1

C1( ) \ C( )

I

NA

wERNO LI

^TO

u(x) = 0

@ :

,

u

2 H ( )?

utt ; uxx = 0

x > 0 t > 0

u t=0 = ut t=0 = 0

;ux + (sin t)u x=0 = sin t t > 0:

139

2.

(2) pUSTX u(t x )

2

R2 | RE[ENIE ZADA^I kO[I

ut = u(t x )

u

t=0

=

1

jxj < L

L = const > 0:

0

jxj > L

nAJDITE u(10 0 0):

3.

(2) rE[ITE KRAEWU@ ZADA^U

utt = uxx

0 < x < t > 0

u x=0 = 0

ux x= = sin t

u t=0 = ut t=0 = 0:

wARIANT 3 (WTORAQ ^ASTX).