Задачи по мат.физике
.pdf4. (2) nAJDITE KAKOE{NIBUDX RE[ENIE IZ D0(R1) URAWNENIQ y00 + 4y0 + 3y = ; (x):
kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | > 15 BALLOW \HORO[O" | > 10 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | > 6 BALLOW PRI MAKSI- MALXNO WOZMOVNOJ SUMME 20 BALLOW.
GOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR w.a.kONDRATXEW
1. A) sFORMULIROWATX TEOREMU kO[I{kOWALEWSKOJ.
B) dOKAZATX, ^TO WSQKOE LINEJNOE URAWNENIE WTOROGO PORQDKA S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI MOVNO PRIWESTI K KANONI^ES- KOMU WIDU.
W) w KAKOJ OBLASTI URAWNENIE
uxy + (3x + y ; z)uxz + (3x ; y + z)uyz = 0
QWLQETSQ GIPERBOLI^ESKIM?
2. A) kAK STAWITSQ WNE[NQQ ZADA^A dIRIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA?
B) dOKAZATX EDINSTWENNOSTX RE[ENIQ WNE[NEJ ZADA^I nEJ- MANA DLQ URAWNENIQ lAPLASA W R3:
W) nAJTI RE[ENIE WNE[NEJ ZADA^I nEJMANA
u = 0 x2 + y2 > 1 |
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u |
2 2 |
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= x4: |
||||||
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x +y |
=1 |
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3. A) dATX OPREDELENIE INTEGRALA, RAWNOMERNO SHODQ]EGOSQ W |
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TO^KE. |
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B) dOKAZATX, ^TO POTENCIAL PROSTOGO SLOQ | NEPRERYWNAQ |
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FUNKCIQ. |
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W) nAJTI |
Z |
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lim |
( 2 2 2) ln |
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(x |
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)2 + (y |
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)2 |
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dS : |
||||
(x )!1 2 |
2 |
=1 |
; |
|
; |
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|
; |
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|||
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+ |
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4. A) kAK STAWITSQ SME[ANNAQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ URAWNENIQ KOLEBANIJ STRUNY?
151
B) nAPISATX FORMULU kIRHGOFA RE[ENIQ ZADA^I kO[I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ. dOKAZATX, ^TO RE[ENIE, POSTROENNOE PO \TOJ FORMULE, UDOWLETWORQET NA^ALXNYM USLOWIQM.
W) pUSTX u(x y z t ) | RE[ENIE ZADA^I kO[I
|
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utt = 4 u |
u |
t=0 = '(x) ut |
t=0 = 0 |
GDE '(x) OTLI^NA OT NULQ TOLXKO WNUTRI PARALLELEPIPEDA
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1 |
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;1 < x < 1 |
;2 |
|
< y < 1 0 < z < 1: |
|||
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; |
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6 |
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|
pRI KAKIH t u(4 |
|
1 2 |
) = 0? |
|
||
5. A) dATX OPREDELENIE OBOB]ENNOJ PROIZWODNOJ PO sOBOLEWU
@j ju :
@x1 1 ::: @xnn
B) dOKAZATX POLNOTU PROSTRANSTWA H1( ): W) pRI KAKIH FUNKCIQ
u(x y ) = ln (x2 + xy + 2y2)
GDE | KWADRAT jxj < 1 jyj < 1?
kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | TRI ZADANIQ POLNOSTX@ \HORO[O" | DWA ZADANIQ POLNOSTX@ \UDOWLETWORITELXNO" | ODNO ZADANIE POLNOSTX@. wREMQ NAPISANIQ | 3 ASTRONOMI^ES- KIH ^ASA.
1998 GOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTO-
RY e.w.rADKEWI^, t.d.wENTCELX
1. dLQ URAWNENIQ utt = 4uxx RASSMATRIWAETSQ KRAEWAQ ZADA^A
u |
|
= u |
|
= 0 |
u |
|
= x(1 |
; |
x) |
u0 |
|
|
= sin x: |
|||
|
x=0 |
|
x=1 |
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t=0 |
|
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t |
t=0 |
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||
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1 |
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A) (1) nAJTI f(13) |
GDE f(t) = |
Z |
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u2t |
+ 4ux2 |
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dx: |
|
||||||||
0 |
|
|||||||||||||||
B) (1) nAJTI FUNKCI@ u(x 2) I NARISOWATX EE GRAFIK.
152
2. A) (1) dATX OPREDELENIE HARAKTERISTIKI DLQ URAWNENIQ
X aijuxixj = 0:
B) (1) nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ uxx ; y2uyy = 0 PROHODQ]IE ^EREZ TO^KI (1 2) (1 0):
3.A) (1) sFORMULIROWATX TEOREMU OB USTRANIMOJ OSOBENNOSTI. B) (2) dOKAZATX, ^TO W R2 DLQ FUNKCII u(x) GARMONI^ESKOJ W
R2 n2 |
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|
GDE | NEKOTORAQ OGRANI^ENNAQ OBLASTX, OGRANI^ENNOJ |
|||
W R |
n |
|
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||
SU]ESTWUET PREDEL |
lim u(x): |
|||||
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|
x!1 |
|
||
W) (2) nAJTI \TOT PREDEL W SLU^AE, KOGDA | EDINI^NYJ |
||||||
KRUG, |
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||
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2 |
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u r=1 = f(') |
Z |
f(') d' = 0: |
4. dLQ URAWNENIQ |
0 |
utt ; 4uxx = 0 STAWITSQ SLEDU@]AQ ZADA^A: |
u x=0 = 0 |
u t=0 = |
|
sin x |
x 2 |
[ 2 ] |
u0t t=0 = 0: |
|
|
0 |
x = |
[ 2 ] |
|
|
|
2 |
|
A) (1) nARISOWATX GRAFIK RE[ENIQ PRI t = 2 :
B) (1) tO VE PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII u x=2 = 0 [0 2 ]:
W tO VE PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII 0x x=2
0
=
) (2) u [0 2 ]:
utt = u
2
2
(^ISLO PROSTRANSTWENNYH PEREMENNYH RAWNO 2), UDOWLETWORQ@-
]EE NA^ALXNYM USLOWIQM
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(x) |
W |
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R2 |
|
R2 n |
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|||
|
u t=0 = 0 |
u0t |
t=0 |
= |
0 |
W |
|
|||
GDE | OGRANI^ENNAQ OBLASTX W |
: |
|
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|
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||||
|
A) (1) gDE W PROSTRANSTWE (x t ) FUNKCIQ u(x t ) RAWNA NUL@ |
|||||||||
NEZAWISIMO OT FUNKCII (x) |
ESLI | EDINI^NYJ KRUG x2 |
+ |
||||||||
x2 |
< 1? |
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1 |
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||
2 |
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153
t!1 |
; |
; k |
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k |
2 |
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2 |
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2 |
|
2 |
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= |
x |
+ x |
|
< 1 NAJTI |
||||||
B) (2) pRI |
(x) = 1 |
|
x |
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2 |
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1 |
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lim t u(x t ):
6. A) (1) kAK STAWITSQ ZADA^A kO[I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI?
B) (1) dOKAZATX, ^TO ESLI NA^ALXNAQ FUNKCIQ NE^ETNAQ, TO RE[ENIE u(x t ) UDOWLETWORQET USLOWI@ u(0 ) 0:
W) (2) dOKAZATX, ^TO ESLI NA^ALXNAQ FUNKCIQ NE^ETNAQ, TO RE[ENIE u(x t ) NE^ETNO PO x:
kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | > 16 BALLOW \HORO[O" | > 13 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | > 9 BALLOW PRI MAKSIMALXNO WOZMOVNOJ SUMME 20 BALLOW.
1994 GOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR s.n.kRUVKOW
1. pUSTX u(t x ) |
|
|
= (x1 2 |
3) | KLASSI^ESKOE RE[ENIE ZADA^I |
|||||||||||||||||||||||
kO[I W + = [0 +1) R3 DLQ URAWNENIQ utt = u S NA^ALXNY- |
|||||||||||||||||||||||||||
MI USLOWIQMI |
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u |
t=0 |
= '(x) |
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u0 |
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= (x) |
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t t=0 |
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PRI^EM |
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I |
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DLQ |
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2 K1 |
= x : |
jxj < 1 : |
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'(x) = 0 (x) = 0 |
|
x |
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a) wYWESTI, ^TO |
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u(t x ) = '(x) + t (x) |
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||||||||||
W KONUSE C1 = (t x ) : |
jxj2 < (1 ; t)2 |
|
|
0 < t < 1 |
NE PRIMENQQ |
||||||||||||||||||||||
PRQMU@ PROWERKU \TOJ FORMULY (S U^ETOM TEOREMY EDINSTWEN- |
|||||||||||||||||||||||||||
NOSTI). |
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B |
) |
dOKAZATX |
, |
^TO ESLI W R3 |
n K1 '(x) < 3 |
I |
(x) < 7 |
TO |
||||||||||||||||||
u(t x ) 6 10 W KONUSE C1: |
|
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||||||||||||
2. |
dANY POSLEDOWATELXNOSTX OBLASTEJ |
m |
nx = (x1 2) : |
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1 |
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R2 |
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||||||||||
jxj < |
m |
NA PLOSKOSTI |
|
= 1 2 3: |
|||||||||||||||||||||||
|
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|
I POSLEDOWATELX- |
||||||||||||||||||||||
NOSTX umo(x) KLASSI^ESKIH RE[ENIJ ZADA^I dIRIHLE DLQ URAW- |
|||||||||||||||||||||||||||
NENIQ lAPLASA W |
|
x : jxj 2 |
m |
TAKIH, ^TO um(x) |
6 1: |
|
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||||||||||||||||||||
|
a) |
dOKAZATX |
|
^TO ESLI PRI |
m |
! 1 |
POSLEDOWATELXNOSTX |
um(x) |
|||||||||||||||||||
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|
, |
|
|
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||||||||
W NEKOTOROJ TO^KE SHODITSQ K ^ISLU U TO um ! U PRI m ! 1
154
RAWNOMERNO W L@BOM KOLXCE |
|
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|
x |
: 0 < < |
|
|
x |
|
< |
1 |
|
|
(ZDESX m > |
||||||||||||||||||||
n |
|
j |
j |
o |
||||||||||||||||||||||||||||||
m( )). |
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|
n |
|
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|||||||||
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2) : jxj |
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1 |
o |
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||||||
B) w SLU^AE m = |
|
x = (x1 |
|
< m |
|
|
PRI USLOWIQH |
|||||||||||||||||||||||||||
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|
jum @ m j |
|
< |
1 |
|
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um x =m = 1 |
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m |
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||||||||||||||||||||
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|
! |
|
2 |
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|
! 1 |
|
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|||||
POKAZATX, ^TO um(x) |
|
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|
1 |
PRI |
m |
|
j j |
|
|
RAWNOMERNO W L@BOM |
|||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
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|
u(x) |
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1 |
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o |
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||
KOLXCE |
|
x : |
0 |
< < jxj |
|
< |
|
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|
|
(ZDESX m > m( )) REKOMENDU- |
|||||||||||||||||||||||
ETSQ SRAWNITX |
|
|
S SOOTWETSTWU@]IMI RE[ENIQMI URAWNENIQ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
lAPLASA WIDA a ln jxj + b (a I b | KONSTANTY). |
|
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||||||||||||||||||||||||||||
1994 |
GOD, |
|
POTOK |
MATEMATIKOW, |
|
PERESDA^A, LEKTOR |
||||||||||||||||||||||||||||
e.m.lANDIS |
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1. u(x t ) 2 C2(Rx2 ) | RE[ENIE URAWNENIQ utt;a2uxx = 0 W Rx2 : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
nA INTERWALE |
|
< x < t |
= 0 |
|
u = ut = 0: gDE NA PLOSKOSTI |
|||||||||||||||||||||||||||||
Rx2 u(x t ) NEOBHODIMO RAWNO NUL@? |
|
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||||||||||||||||||||
2. u(x t ) | RE[ENIE URAWNENIQ ut = uxx W POLUPOLOSE = 0 < |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x < lt > |
0 |
|
NEPRERYWNOE W |
|
|
x=0 |
= u |
x=l |
|
|
= 0: k ^EMU |
|||||||||||||||||||||||
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|||||
STREMITSQ RE[ENIE PRI t |
|
! 1 |
? |
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3. nAJTI RE[ENIE ZADA^I |
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||||||||||||||||||
u = 2 W KRUGE K = |
|
(x y ) |
|
x2 + y2 < 1 |
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u |
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= sin 2': |
|||||||||||||||||||||||
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|
@K |
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||
4. u(x y ) | POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ GLADKOJ ZAMKNUTOJ KRIWOJ
L R2: dOKAZATX, ^TO |
1 |
|
|
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||||
|
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x2 + y2 ! 1: |
||
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|||
n |
p |
|
|
|
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|||
x |
|
+ y |
|
|
|||||
u(x y ) = O |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
PRI |
|
5. B R | OTKRYTYJ [AR, u(x) NEPRERYWNA W B I 8x 2 B 9 x > 0 TAKOE, ^TO [AR B(x x) RADIUSA x S CENTROM W TO^KE x SODERVITSQ W B I
1
u(x) = jB(x x)jB(xZ x) u(y) dy: dOKAZATX, ^TO u(x) | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ.
155
1994 GOD, POTOK MEHANIKOW, DOSRO^NYJ \KZAMEN, LEKTOR a.s.kALA[NIKOW
1. (2) sU]ESTWUET LI URAWNENIE WIDA
3 |
|
|
|
|
X |
aij(x1 2 3) uxixj = 0 |
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
S NEPRERYWNYMI W R3 KO\FFICIENTAMI aij QWLQ@]EESQ \LLIP- |
||||
TI^ESKIM NA NEKOTOROM NEPUSTOM MNOVESTWE 1 |
|
R3, 1 |
= R3, |
|
|
3 |
|
6 |
|
I GIPERBOLI^ESKIM NA EGO DOPOLNENII 2 = R n 1? oTWET OB- OSNOWATX.
2. i]ETSQ RE[ENIE u(x t ) URAWNENIQ utt = uxx S USLOWIQMI
u(x x ) = '(x) |
|
0 6 x 6 1 |
|
|
|
|
|
u(x 2x) = (x) |
|
0 6 x 6 |
1 : |
||||||||||
|
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2 |
zDESX ' 2 C2 |
; |
[0 1] |
|
|
2 C2 |
; |
0 |
1 |
|
'(k)(0) = 0 |
(k)(0) = 0 DLQ |
||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||
k = 0 1 2: |
|
|
|
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|||||
A) (2) oPISATX S POMO]X@ NERAWENSTW MNOVESTWO WSEH ZNA- |
|||||||||||||||||||||
^ENIJ (x t ) 2 |
R2 DLQ KOTORYH ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ RE[E- |
||||||||||||||||||||
NIE u(x t ) \TOJ ZADA^I. oTWET OBOSNOWATX. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
B) (1) nARISOWATX \TO MNOVESTWO : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
W) (2) nAJTI RE[ENIE u(x t ) RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I. |
|
||||||||||||||||||||
3. (3) pUSTX = |
|
|
(r |
) 0 < r < 1 |
0 < < |
|
|
(r |
) | |
||||||||||||
|
|
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|||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
4 |
|
|
) SO |
||
POLQRNYE KOORDINATY NA PLOSKOSTI. nAJTI FUNKCI@ u(r |
|||||||||||||||||||||
SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: u 2 C( ) \ C2( ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u(r 0) = u r |
|
|
|
|
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||||||||
u = 0 W |
|
4 = 0 0 6 r 6 1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
u(1 ) = ; |
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
6 6 4 : |
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2 |
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4. (3) pUSTX |
= |
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x = (x1 |
2) |
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0 < x1 |
< 1 0 < x2 < 1 |
(x) = |
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sign(x2 x1): wERNO LI, ^TO f |
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H1( )? oTWET OBOSNOWATX. |
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5. A) (1) sFORMULIROWATX OPREDELENIE OBOB]ENNOGO RE[ENIQ ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ pUASSONA.
B) (2) dOKAZATX OGRANI^ENNOSTX SNIZU KWADRATI^NOGO FUNKCIONALA, SOOTWETSTWU@]EGO ZADA^E dIRIHLE.
156
W) (2) dOKAZATX, ^TO OBOB]ENNOE RE[ENIE ZADA^I dIRIHLE QWLQETSQ RE[ENIEM WARIACIONNOJ ZADA^I (OBRATNOE UTWERVDE- NIE NE DOKAZYWATX).
6. A) (1) sFORMULIROWATX TEOREMU kO[I{kOWALEWSKOJ.
B) (2) dOKAZATX, ^TO ZAKL@^ENIE \TOJ TEOREMY STANOWITSQ NEWERNYM, ESLI NA^ALXNYE USLOWIQ ZADA@TSQ NA HARAKTERISTI- KE.
7. (4) rASSMATRIWAETSQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ URAWNENIQ ut = uxx W
PRQMOUGOLXNIKE Q = (x t ) |
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0 6 x 6 1 |
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0 6 t 6 2 |
S USLOWIQMI |
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u |
t=0 |
= '(x) 0 6 x 6 |
1 |
u |
x=0 |
= u |
x=1 |
= 0 0 6 t 6 2: |
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kORREKTNA |
LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTW |
(E0 |
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1) GDE |
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E0 |
= |
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u(x t ) u |
2 C(Q) \ Cx2 1 |
; |
(0 1) (0 2] |
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u E0 |
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= max u(x t ) |
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'(x) ' |
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Q |
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(0) = '(1) = 0 |
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E1 = |
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C1 |
[0 1] |
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2 |
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=; max |
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' |
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'(x) |
? |
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oTWET OBOSNOWATX. |
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E1 |
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[0 1] |
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