Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

# Задачи по мат.физике

.pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
15.02.2016
Размер:
749.32 Кб
Скачать

4. (2) nAJDITE KAKOE{NIBUDX RE[ENIE IZ D0(R1) URAWNENIQ y00 + 4y0 + 3y = ; (x):

kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | > 15 BALLOW \HORO[O" | > 10 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | > 6 BALLOW PRI MAKSI- MALXNO WOZMOVNOJ SUMME 20 BALLOW.

GOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR w.a.kONDRATXEW

1. A) sFORMULIROWATX TEOREMU kO[I{kOWALEWSKOJ.

B) dOKAZATX, ^TO WSQKOE LINEJNOE URAWNENIE WTOROGO PORQDKA S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI MOVNO PRIWESTI K KANONI^ES- KOMU WIDU.

W) w KAKOJ OBLASTI URAWNENIE

uxy + (3x + y ; z)uxz + (3x ; y + z)uyz = 0

QWLQETSQ GIPERBOLI^ESKIM?

2. A) kAK STAWITSQ WNE[NQQ ZADA^A dIRIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA?

B) dOKAZATX EDINSTWENNOSTX RE[ENIQ WNE[NEJ ZADA^I nEJ- MANA DLQ URAWNENIQ lAPLASA W R3:

W) nAJTI RE[ENIE WNE[NEJ ZADA^I nEJMANA

 u = 0 x2 + y2 > 1 u 2 2 = x4: x +y =1 3. A) dATX OPREDELENIE INTEGRALA, RAWNOMERNO SHODQ]EGOSQ W TO^KE. B) dOKAZATX, ^TO POTENCIAL PROSTOGO SLOQ | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ. W) nAJTI Z lim ( 2 2 2) ln (x )2 + (y )2 dS : (x )!1 2 2 =1 ; ; ; +

4. A) kAK STAWITSQ SME[ANNAQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ URAWNENIQ KOLEBANIJ STRUNY?

151

B) nAPISATX FORMULU kIRHGOFA RE[ENIQ ZADA^I kO[I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ. dOKAZATX, ^TO RE[ENIE, POSTROENNOE PO \TOJ FORMULE, UDOWLETWORQET NA^ALXNYM USLOWIQM.

W) pUSTX u(x y z t ) | RE[ENIE ZADA^I kO[I

 utt = 4 u u t=0 = '(x) ut t=0 = 0

GDE '(x) OTLI^NA OT NULQ TOLXKO WNUTRI PARALLELEPIPEDA

 1 ;1 < x < 1 ;2 < y < 1 0 < z < 1: ; 6 pRI KAKIH t u(4 1 2 ) = 0?

5. A) dATX OPREDELENIE OBOB]ENNOJ PROIZWODNOJ PO sOBOLEWU

@j ju :

@x1 1 ::: @xnn

B) dOKAZATX POLNOTU PROSTRANSTWA H1( ): W) pRI KAKIH FUNKCIQ

u(x y ) = ln (x2 + xy + 2y2)

GDE | KWADRAT jxj < 1 jyj < 1?

kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | TRI ZADANIQ POLNOSTX@ \HORO[O" | DWA ZADANIQ POLNOSTX@ \UDOWLETWORITELXNO" | ODNO ZADANIE POLNOSTX@. wREMQ NAPISANIQ | 3 ASTRONOMI^ES- KIH ^ASA.

1998 GOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTO-

1. dLQ URAWNENIQ utt = 4uxx RASSMATRIWAETSQ KRAEWAQ ZADA^A

 u = u = 0 u = x(1 ; x) u0 = sin x: x=0 x=1 t=0 t t=0 1 A) (1) nAJTI f(13) GDE f(t) = Z u2t + 4ux2 dx: 0

B) (1) nAJTI FUNKCI@ u(x 2) I NARISOWATX EE GRAFIK.

152

5. rASSMATRIWAETSQ RE[ENIE URAWNENIQ

2. A) (1) dATX OPREDELENIE HARAKTERISTIKI DLQ URAWNENIQ

X aijuxixj = 0:

B) (1) nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ uxx ; y2uyy = 0 PROHODQ]IE ^EREZ TO^KI (1 2) (1 0):

3.A) (1) sFORMULIROWATX TEOREMU OB USTRANIMOJ OSOBENNOSTI. B) (2) dOKAZATX, ^TO W R2 DLQ FUNKCII u(x) GARMONI^ESKOJ W

 R2 n2 GDE | NEKOTORAQ OGRANI^ENNAQ OBLASTX, OGRANI^ENNOJ W R n SU]ESTWUET PREDEL lim u(x): x!1 W) (2) nAJTI \TOT PREDEL W SLU^AE, KOGDA | EDINI^NYJ KRUG, 2 u r=1 = f(') Z f(') d' = 0:
 4. dLQ URAWNENIQ 0 utt ; 4uxx = 0 STAWITSQ SLEDU@]AQ ZADA^A:
 u x=0 = 0 u t=0 = sin x x 2 [ 2 ] u0t t=0 = 0: 0 x = [ 2 ] 2

A) (1) nARISOWATX GRAFIK RE[ENIQ PRI t = 2 :

B) (1) tO VE PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII u x=2 = 0 [0 2 ]:

W tO VE PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII 0x x=2

0

=

) (2) u [0 2 ]:

utt = u

2

2

(^ISLO PROSTRANSTWENNYH PEREMENNYH RAWNO 2), UDOWLETWORQ@-

]EE NA^ALXNYM USLOWIQM

 (x) W R2 R2 n u t=0 = 0 u0t t=0 = 0 W GDE | OGRANI^ENNAQ OBLASTX W : A) (1) gDE W PROSTRANSTWE (x t ) FUNKCIQ u(x t ) RAWNA NUL@ NEZAWISIMO OT FUNKCII (x) ESLI | EDINI^NYJ KRUG x2 + x2 < 1? 1 2

153

 t!1 ; ; k k 2 2 2 2 = x + x < 1 NAJTI B) (2) pRI (x) = 1 x 2 1

lim t u(x t ):

6. A) (1) kAK STAWITSQ ZADA^A kO[I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI?

B) (1) dOKAZATX, ^TO ESLI NA^ALXNAQ FUNKCIQ NE^ETNAQ, TO RE[ENIE u(x t ) UDOWLETWORQET USLOWI@ u(0 ) 0:

W) (2) dOKAZATX, ^TO ESLI NA^ALXNAQ FUNKCIQ NE^ETNAQ, TO RE[ENIE u(x t ) NE^ETNO PO x:

kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | > 16 BALLOW \HORO[O" | > 13 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | > 9 BALLOW PRI MAKSIMALXNO WOZMOVNOJ SUMME 20 BALLOW.

1994 GOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR s.n.kRUVKOW

 1. pUSTX u(t x ) = (x1 2 3) | KLASSI^ESKOE RE[ENIE ZADA^I kO[I W + = [0 +1) R3 DLQ URAWNENIQ utt = u S NA^ALXNY- MI USLOWIQMI u t=0 = '(x) u0 = (x) t t=0 PRI^EM I DLQ 2 K1 = x : jxj < 1 : '(x) = 0 (x) = 0 x a) wYWESTI, ^TO u(t x ) = '(x) + t (x) W KONUSE C1 = (t x ) : jxj2 < (1 ; t)2 0 < t < 1 NE PRIMENQQ PRQMU@ PROWERKU \TOJ FORMULY (S U^ETOM TEOREMY EDINSTWEN- NOSTI). B ) dOKAZATX , ^TO ESLI W R3 n K1 '(x) < 3 I (x) < 7 TO u(t x ) 6 10 W KONUSE C1: 2. dANY POSLEDOWATELXNOSTX OBLASTEJ m nx = (x1 2) : 1 R2 jxj < m NA PLOSKOSTI = 1 2 3: I POSLEDOWATELX- NOSTX umo(x) KLASSI^ESKIH RE[ENIJ ZADA^I dIRIHLE DLQ URAW- NENIQ lAPLASA W x : jxj 2 m TAKIH, ^TO um(x) 6 1: a) dOKAZATX ^TO ESLI PRI m ! 1 POSLEDOWATELXNOSTX um(x) ,

W NEKOTOROJ TO^KE SHODITSQ K ^ISLU U TO um ! U PRI m ! 1

154

 RAWNOMERNO W L@BOM KOLXCE x : 0 < < x < 1 (ZDESX m > n j j o m( )). n 2) : jxj 1 o B) w SLU^AE m = x = (x1 < m PRI USLOWIQH jum @ m j < 1 um x =m = 1 m ! 2 ! 1 POKAZATX, ^TO um(x) 1 PRI m j j RAWNOMERNO W L@BOM n u(x) 1 o KOLXCE x : 0 < < jxj < (ZDESX m > m( )) REKOMENDU- ETSQ SRAWNITX S SOOTWETSTWU@]IMI RE[ENIQMI URAWNENIQ lAPLASA WIDA a ln jxj + b (a I b | KONSTANTY). 1994 GOD, POTOK MATEMATIKOW, PERESDA^A, LEKTOR e.m.lANDIS 1. u(x t ) 2 C2(Rx2 ) | RE[ENIE URAWNENIQ utt;a2uxx = 0 W Rx2 : nA INTERWALE < x < t = 0 u = ut = 0: gDE NA PLOSKOSTI Rx2 u(x t ) NEOBHODIMO RAWNO NUL@? 2. u(x t ) | RE[ENIE URAWNENIQ ut = uxx W POLUPOLOSE = 0 < x < lt > 0 NEPRERYWNOE W x=0 = u x=l = 0: k ^EMU STREMITSQ RE[ENIE PRI t ! 1 ? 3. nAJTI RE[ENIE ZADA^I u = 2 W KRUGE K = (x y ) x2 + y2 < 1 u = sin 2': @K

4. u(x y ) | POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ GLADKOJ ZAMKNUTOJ KRIWOJ

 L R2: dOKAZATX, ^TO 1 x2 + y2 ! 1: n p x + y u(x y ) = O 2 2 PRI

5. B R | OTKRYTYJ [AR, u(x) NEPRERYWNA W B I 8x 2 B 9 x > 0 TAKOE, ^TO [AR B(x x) RADIUSA x S CENTROM W TO^KE x SODERVITSQ W B I

1

u(x) = jB(x x)jB(xZ x) u(y) dy: dOKAZATX, ^TO u(x) | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ.

155

1994 GOD, POTOK MEHANIKOW, DOSRO^NYJ \KZAMEN, LEKTOR a.s.kALA[NIKOW

1. (2) sU]ESTWUET LI URAWNENIE WIDA

 3 X aij(x1 2 3) uxixj = 0 i =1 S NEPRERYWNYMI W R3 KO\FFICIENTAMI aij QWLQ@]EESQ \LLIP- TI^ESKIM NA NEKOTOROM NEPUSTOM MNOVESTWE 1 R3, 1 = R3, 3 6

I GIPERBOLI^ESKIM NA EGO DOPOLNENII 2 = R n 1? oTWET OB- OSNOWATX.

2. i]ETSQ RE[ENIE u(x t ) URAWNENIQ utt = uxx S USLOWIQMI

 u(x x ) = '(x) 0 6 x 6 1 u(x 2x) = (x) 0 6 x 6 1 : 2 zDESX ' 2 C2 ; [0 1] 2 C2 ; 0 1 '(k)(0) = 0 (k)(0) = 0 DLQ 2 k = 0 1 2: A) (2) oPISATX S POMO]X@ NERAWENSTW MNOVESTWO WSEH ZNA- ^ENIJ (x t ) 2 R2 DLQ KOTORYH ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ RE[E- NIE u(x t ) \TOJ ZADA^I. oTWET OBOSNOWATX. B) (1) nARISOWATX \TO MNOVESTWO : W) (2) nAJTI RE[ENIE u(x t ) RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I. 3. (3) pUSTX = (r ) 0 < r < 1 0 < < (r ) | 4 ) SO POLQRNYE KOORDINATY NA PLOSKOSTI. nAJTI FUNKCI@ u(r SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: u 2 C( ) \ C2( ) u(r 0) = u r u = 0 W 4 = 0 0 6 r 6 1 u(1 ) = ; 4 2 0 6 6 4 : ; 2 4. (3) pUSTX = x = (x1 2) 0 < x1 < 1 0 < x2 < 1 (x) = sign(x2 x1): wERNO LI, ^TO f H1( )? oTWET OBOSNOWATX.

5. A) (1) sFORMULIROWATX OPREDELENIE OBOB]ENNOGO RE[ENIQ ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ pUASSONA.

156

W) (2) dOKAZATX, ^TO OBOB]ENNOE RE[ENIE ZADA^I dIRIHLE QWLQETSQ RE[ENIEM WARIACIONNOJ ZADA^I (OBRATNOE UTWERVDE- NIE NE DOKAZYWATX).

6. A) (1) sFORMULIROWATX TEOREMU kO[I{kOWALEWSKOJ.

B) (2) dOKAZATX, ^TO ZAKL@^ENIE \TOJ TEOREMY STANOWITSQ NEWERNYM, ESLI NA^ALXNYE USLOWIQ ZADA@TSQ NA HARAKTERISTI- KE.

7. (4) rASSMATRIWAETSQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ URAWNENIQ ut = uxx W

 PRQMOUGOLXNIKE Q = (x t ) 0 6 x 6 1 0 6 t 6 2 S USLOWIQMI u t=0 = '(x) 0 6 x 6 1 u x=0 = u x=1 = 0 0 6 t 6 2: kORREKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTW (E0 1) GDE E0 = u(x t ) u 2 C(Q) \ Cx2 1 ; (0 1) (0 2] u E0 = max u(x t ) '(x) ' Q (0) = '(1) = 0 E1 = C1 [0 1] 2 =; max ' '(x) ? oTWET OBOSNOWATX. E1 [0 1]

157