Добавил:

tonistark05 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дагестанский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задачи по мат.физике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2016

Размер:

749.32 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

2 Cx2 1(Qk)

4.7. pUSTX FUNKCII uk(x t )

\C(Qk), k = 1 2, QWLQ-

@TSQ RE[ENIQMI W Qk :=

KRAEWYH ZADA^

(;kk )

(uk)t = (uk)xx

uk x= k = 0

t=0 = '(x)

jxj 6 k:

zDESX '

2 C1([;2 2]) '(x) > 0 PRI

jxj 6 1 I '(x)

= 0

PRI

1 6 jxj 6 2 '

6 0.

8(x t ) 2 [;1 1] (0

dOKAZATX

^TO

u1(x t ) < u2(x t )

C2 1(Q)

4.8. pUSTX u

C(Q) |

RE[ENIE W Q :=

KRAEWOJ ZADA^I

(; )

ut = uxx

= 0

t=0

= sin2 x:

nAJTI

lim

u(x t ) dx:

t!+1 Z0

4.9. pRI KAKIH USLOWIQH NA FUNKCI@ '

C1 (0 1)

L@BOE

RE[ENIE u(x t ) W POLUPOLOSE Q1

ZADA^I

;

(0 1)

A) ut = uxx

u x=0 = ux x=1 = 0

u t=0 = '(x)

ux x=0 = ux x=1

u t=0 = '(x)

) ut = uxx

= 0

OBLADAET SWOJSTWOM u(x t )

PRI t

C2 1(Q)

4.10.

pUSTX u

C(Q) | RE[ENIE W Q :=

ZADA^I

(0 1)

ut = uxx + u

u x=0 = u x=1 = 0

u t=0 = '(x):

nAJTI WSE TAKIE

R, ^TO DLQ L@BOJ NA^ALXNOJ FUNKCII '

C([0 1]), '(0) = '(1) = 0,

WYPOLNENO

lim

u(x t ) = 0

[0 1]:

t!+1

4.11. pUSTX u(x t ) | RE[ENIE W Q1

)

KRAEWOJ ZADA^I

ut = uxx

u x=0 = u x= = 0

u t=0 = '(x)

GDE '

C1([0 ]), '(0) = '( ) = 0. uKAZATX KLASS WSEH TAKIH

FUNKCIJ '(x), DLQ KOTORYH

lim

etu(x t ) = 0

t!+1

4.12. pUSTX u(x t ) | RE[ENIE W POLUPOLOSE Q1

ZADA^I

(0 3 )

ut = uxx

u x=0 = u x=3 = 0

u t=0 = '(x)

GDE '

C1([0 3 ]), '(0) = '(3 ) = 0. uKAZATX KLASS WSEH TAKIH

FUNKCIJ '(x)

DLQ KOTORYH

A) SU]ESTWUET KONE^NYJ

lim

u(x t )

B) SU]ESTWUET KONE^NYJ

t!+1

etu(x t )

lim

t!+1

W) SU]ESTWUET KONE^NYJ

lim

u(x t ):

t!+1

4.13. pUSTX u(x t ) | RE[ENIE W Q1

KRAEWOJ ZADA^I

(0=

ut = uxx

u x=0 = 1

u x= =2 = 4

u(x 0) = cos4 x + 4 sin5 x:

nAJTI

lim u(x t ).

t!+1

C2 1(Q)

) | RE[ENIE W Q := Q1, GDE

4.14. pUSTX u

= (0 1)

(0 1), ZADA^I

ut = ux1x1 + ux2x2

u x1=0 = u x2=0 = 0 u x1=1 = x2

u x2=1 = x1:

nAJTI

lim u(x1

4.15. pUSTX u(x t ) | RE[ENIE W POLUPOLOSE Q1

)

ZADA^I

ut = uxx

u x=0 = u x=l = t

u t=0 = '(x)

GDE '

2 C1([0

]), '(0)1

= '(l) = 0.

nAJTI

lim

t; u(x t ):

t!+1

4.16. pUSTX FUNKCII u1 I u2 UDOWLETWORQ@T SOOTNO[ENIQM

(uk)t = (uk)xx

0 6 x 6 0 6 t < +1

t=0

= sin2 x

sin4 x

(k = 1 2)

u1 x=0 = u1 x= = 0 (u2)x;x=0 = (u2)x x= = 0 0 6 t < +1:

pRI KAKIH SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO

lim

u1(x t ) <

lim u2(x t )

t!+1

4.17. pUSTX FUNKCIQ u(x t ) |

RE[ENIE W Q1

ZADA^I

(0 2)

ut = uxx

x=0

= ux

x=2 = 3

u t=0 = x3 ; 3x2 + 3x:

nAJTI

lim

u(x t ).

t!+1

4.18. pUSTX FUNKCIQ u(x t ) |

RE[ENIE W Q1

ZADA^I

(0 2)

ut = uxx

x=0

= 1

x=2

= 13

t=0

= x3

+ x:

nAJTI

lim

u(x t ).

t!+1

4.19. A) nAJTI WSE l > 0, DLQ KOTORYH PRI NEKOTOROJ FUNKCII

'(x)

;

)

SU]ESTWUET NEOGRANI^ENNOE RE[ENIE W Q1

(0 )

KRAEWOJ ZADA^I

2 1

;

ut = 2uxx

u x=0 = (ux

3u) x=l = 0

u t=0 = '(x):

;

B) dLQ l =

1 OPISATX WSE FUNKCII '(x)

)

, DLQ

KOTORYH RE[ENIE \TOJ ZADA^I OGRANI^ENO.

4.20. A) fUNKCIQ u(x t ) 6 const UDOWLETWORQET URAWNENI@

ut = uxx

W OBLASTI T = f(x t ) j 0 < t < T

0 < x < 5 ; exp(;t)g.

dOKAZATX, ^TO MAKSIMUM \TOJ FUNKCII NA T NE MOVET DOSTIGATXSQ NI WO WNUTRENNIH TO^KAH OBLASTI T , NI PRI t = T .

B) pUSTX u(x t ) QWLQETSQ RE[ENIEM ZADA^I

ut = uxx

W OBLASTI t > 0

0 < x < 5 ; exp(;t)

(9)

u x=0 = u x=5;exp(;t) = 0

u t=0 = '(x)

;

< Ce;

'(x)

(0 4) .

^TO

u(x t )

GDE

dOKAZATX

;

t=4

W) pRIWESTI PRIMER FUNKCII '(x)

TAKOJ, ^TO

DLQ RE[ENIQ u(x t ) ZADA^I (9) WYPOLNENO

max

u(x t ) > e;t

t >

x2(0 5;exp(;t))

W PREDPOLOVENII, ^TO TAKOE RE[ENIE SU]ESTWUET.

4.21. pUSTX u(x t ) | RE[ENIE W Q1

)

ZADA^I

ut = uxx

= ux

= 0

t=0

= '(x)

GDE '(0) = '0( ) = 0. x=0

A) dOKAZATX, ^TO

sup

u(x 1)

sup

'(x)

0<x< j

B) wERNO LI, ^TO

sup

u(x 1)

sup

'(x)

0<x< j

C2(Q)

4.22. pUSTX FUNKCIQ u(x t )

C(Q) QWLQETSQ RE[ENI-

EM W Q := QT

KRAEWOJ ZADA^I 2

ut = u + f(x)

x2@ = 0

u t=0 = 0

x0 2

f(x) 6

x 2 .

GDE

PRI

dOKAZATX

^TO PRI FIKSIROWANNOM

FUNKCIQ u(x0

) QWLQETSQ NEWOZRASTA@]EJ PO t 2 (0 ).

2 C2(Q)

4.23. pUSTX u(x t )

\ C(Q) | KLASSI^ESKOE RE[ENIE W

Q := Q1

KRAEWOJ ZADA^I

(0 1)

C1 [0 1]

ut = uxx+v(x t ) u x=0 = u x=1 = 0

t=0 = '(x)

v(x t ) | OGRANI^ENNAQ IZMERIMAQ FUNKCIQ, UDOWLETWORQ@]AQ;

OCENKE jvj 6 C, C > 0 | ZADANNAQ POSTOQNNAQ.

mOVNO LI TAK WYBRATX FUNKCI@ v(x t )

^TO u(x t ) 0 PRI

WSEH t > t , t | NEKOTORAQ POLOVITELXNAQ POSTOQNNAQ?

2 C2(Q)

\ C1(

) | KLASSI^ESKOE RE[ENIE

4.24. pUSTX u(x t )

W Q := Q1

KRAEWOJ ZADA^I

(0 1)

ut = uxx + 3u

x=0 = u x=1 = 0

dOKAZATX, ^TO DLQ u(x t ) IMEET MESTO NERAWENSTWO

u(x t )

6 Ce;6t

C = const > 0:

4.25. pUSTX u(x t )

C2(Q)

C1(

) | RE[ENIE W Q := Q1

KRAEWOJ ZADA^I

(0 1)

ut = uxx ux = 1 x = 1 = '(x) C1 (0 1) :

x=0 x=1 ; t=0 2 0 ; oGRANI^ENO LI \TO RE[ENIE NA Q? (T.E. RASTET LI TEMPERATURA?)

4.26.	pUSTX u(x t ) \| RE[ENIE W Q := Q1	ZADA^I
	(0 1)


ut = uxx	u x=0 = f(t) u x=1 = g(t)			u	t=0 = '(x)
f g ' \| GLADKIE FUNKCII, PRI^EM
f(t) ! a PRI		t ! 1	g(t) ! b	PRI t ! 1:
kAKOJ PREDEL PRI t		! 1 W PROSTRANSTWE C[0 1] (ESLI TAKOWOJ
WOOB]E ESTX) IMEET RE[ENIE u(x t ) \TOJ ZADA^I?

zADA^A kO[I

kLASSI^ESKIM RE[ENIEM ZADA^I kO[I DLQ URAWNENIQ TEPLOPRO-
WODNOSTI NAZYWAETSQ FUNKCIQ u 2					Cx2 1( T ) \ C( T ), OPREDE-
LENNAQ W SLOE T =	f(x t ) 2 Rn+1				j x	2 Rn 0 < t 6 T g I
UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@
ut = a2 xu + f(x t ) (a > 0)						(x t ) 2 T
I KRAEWYM USLOWIQM
u			= '(x) Cb(Rn)
		t=0		2

GDE '(x) (x t ) | ZADANNYE NEPRERYWNYE OGRANI^ENNYE FUNK- CII.

rE[ENIE ZADA^I kO[I W KLASSE OGRANI^ENNYH FUNKCIJ SU- ]ESTWUET, EDINSTWENNO I WYRAVAETSQ INTEGRALOM pUASSONA

u(x t ) =

exp

;

jx ; j2

'( ) d +

;

4a2t

2ap t

exp

; j2

f( ) d d :

;4a2

2a (t )

;

)

;

zAME^ANIE.

pUSTX u(x t ) |

RE[ENIE ZADA^I kO[I

ut = u

R+

( u

t=0 = '1(x1) : : : 'n(xn)

x 2 Rn

'k(xk) 2 C( ) \L1( )

= 1n

u(x t ) = k=1 uk(x t ),

tOGDA

GDE uk(x t ) | RE[ENIQ ZADA^ kO[I

(uk)t = (uk)xx

W R R+

( uk

t=0 = 'k(x)

= 1 : : ::

dLQ OGRANI^ENNYH RE[ENIJ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI

SPRAWEDLIW PRINCIP MAKSIMUMA W SLOE:

ESLI FUNKCIQ

u(x t ) 2 C

( T ) \ Cb( T )

UDOWLETWORQET W SLOE

T ODNORODNOMU URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI ut = a uxx, TO

inf u(x 0) 6 u(x t ) 6 sup u(x

(x t )

T :

x2Rn

dLQ OGRANI^ENNYH RE[ENIJ

URAWNENIQ

TEPLOPROWODNOSTI

SPRAWEDLIWY TEOREMY O STABILIZACII:

pUSTX u(x t ) | OGRANI^ENNOE RE[ENIE ZADA^I kO[I

ut = uxx

R+

( u t=0 = '(x)

'(x) 2 C( ) \ L1( ):

tOGDA

eSLI

lim

'(x) = A

lim

u(x t ) =

A+ + A; :

x! 1

t!+1

eSLI

lim

l '(x)dx = A

lim u(x t ) =

l!+1 l

t!+1

lim

u(x t ) = '0

eSLI '(x) | PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ, TO

' | t!+1 '(x)

GDE 0 NULEWOJ KO\FFICIENT RAZLOVENIQ FUNKCII W RQD fURXE, PROSTRANSTWENNOE SREDNEE.

4.27.sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA W SLOE DLQ URAWNENIQ ut+ xu = 0 W TOM VE WIDE, W KAKOM ON SPRAWEDLIW DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI?

4.28.dOKAZATX, ^TO RE[ENIE u(x t ) ZADA^I kO[I DLQ URAWNE- NIQ ut = uxx BUDET NE^ETNYM PO x, ESLI NA^ALXNAQ FUNKCIQ

u(x 0) | NE^ETNAQ.

4.29. pRI KAKIH t > 0 SU]ESTWUET INTEGRAL, WHODQ]IJ W FOR- MULU, KOTORAQ DAET RE[ENIE ZADA^I kO[I

ut = uxx	u t=0 = '(x)
ESLI TREBOWANIE OGRANI^ENNOSTI '(x) ZAMENQETSQ PREDPOLOVE-
NIEM
j'(x)j 6 MeKx2	M > 0 K > 0?

4.30. dOKAVITE (ISPOLXZUQ INTEGRAL pUASSONA), ^TO SU]EST- WUET RE[ENIE u(x t ) 2 C2(R R+) W R R+ SLEDU@]EJ ZADA^I:

ut = uxx u(x t ) ! '(x)	W	R	PRI	t ! 0
ut = uxx u(x t ) ! '(x)		L2( )		t ! 0

GDE '(x) | ZADANNAQ FUNKCIQ IZ L2(Rx) (NE OBQZATELXNO NEPRE-

RYWNAQ!)

4.31. eDINSTWENNA LI FUNKCIQ u(x t ) SO SLEDU@]IMI SWOJST-

WAMI: u 2 Cx2 1(R (0

])

ut = uxx

(x t )

2 R (0 ]

lim u(x t ) = 0

sup

u(x t )

< +

(0 ]?

t 0

;g. nAJTI WSE FUNKCII

4.32. pUSTX G = f(x t ) 2j

u(x t ), PRINADLEVA]IE Cx

(G)

OGRANI^ENNYE W G I UDOWLETWO-

RQ@]IE W G URAWNENI@ ut = uxx.

4.33. pUSTX u(x t ) | RE[ENIE W R R+ ZADA^I kO[I

ut = 4uxx

t=0 =

x2 + sin x

1 + 2x2 :

nAJTI

lim u(x t ):

t!+1

u t=0

4.34. pUSTX u(x t ) | RE[ENIE W R R+ ZADA^I kO[I ut = uxx = arcctg x:

nAJTI lim u(x t ):

t!+1

4.35. pUSTX u(x t ) | OGRANI^ENNOE RE[ENIE W R R+ ZADA^I kO[I

ut = uxx

nAJTI lim u(0 ), t!+1

u t=0 = '(x) 2 C(R) \ L1(R):

ESLI lim 1 Z l '(x) dx = A: l!+1 l ;l

4.36.	nAJTI		lim u(x y t			) GDE u(x y t ) \| RE[ENIE W R2	R+
ZADA^I kO[I		t	!	+	1
ZADA^I kO[I			!		1

ut = uxx + uyy

t=0

= '(x y )

PRI SLEDU@]IH NA^ALXNYH USLOWIQH:

A) '(x y ) =

B) '(x y ) = sin2 y

W) '(x y ) =

(x sin y)2

1 + 2x2

4.37.

)

rE[ITX ZADA^U kO[I W R3

ut = u ; 3u

u t=0 = e;(x1+x2+x3):

B) nAJTI

lim u(x t ):

t!1

4.38. pUSTX u(x t ) | RE[ENIE W R R+ ZADA^I kO[I:

ut = uxx

t=0

= e;x2 :

nAJTI lim

u(x t ) dx:

t!1 Z0

4.39. pUSTX u(x t ) | RE[ENIE W R R+ ZADA^I kO[I URAWNE- NIQ TEPLOPROWODNOSTI S \POTENCIALOM":


ut = uxx ; u				u t=0 = sin2 x:
dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET POSTOQNNAQ A, TAKAQ, ^TO
		u(x t ) ; Ae;t			6 (t)e;t
			! 1
GDE FUNKCIQ (t)	!	0 PRI t		. nAJTI POSTOQNNU@ A.

4.40. pUSTX POLOVITELXNAQ OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ UDOWLETWO-

RQET URAWNENI@
ut = u	W SLOE	R3		(0 1)			I
u 0	W KUBE	(0 1)		(0 1) (0 1) (0 1):
wERNO LI, ^TO u 0 W SLOE R3 (0 1)?
2	T		T						T
4.41. pUSTX u 2 C	(QR) \ C(QR) \| RE[ENIE W POLOSE QRZA-
DA^I kO[I					j		j	j j
					j		j	j j
ut = uxx	u t=0 = 0			I		u(x t )		6 C x	:
dOKAZATX, ^TO u 0 W QRT .

4.42.pUSTX := R R+ n f(0 1)g | POLUPLOSKOSTX S ODNOJ \WYKOLOTOJ" TO^KOJ u(x t ) | RE[ENIE URAWNENIQ TEPLOPROWOD-

NOSTI W I ju(x t )j < M PRI (x t ) 2 . dOKAZATX, ^TO OSOBENNOSTX W TO^KE (0 1) USTRANIMA, T.E. MOVNO TAK DOOPREDELITX

FUNKCI@ u(x t ) W \TOJ TO^KE, ^TO ONA BUDET RE[ENIEM URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W R R+.

4.43.nAJTI RE[ENIE u(x t ) 2 C(R+ R) ZADA^I:

ut = uxx (x t ) 2 R+ R u x=0 = cos 5t t 2 R sup ju(x t )j < 1:

5uRAWNENIQ \LLIPTI^ESKOGO TIPA

gARMONI^ESKIE FUNKCII

fUNKCIQ u 2 C2( ) NAZYWAETSQ GARMONI^ESKOJ W OBLASTI , ESLI

u = 0:

tEOREMA O SREDNEM. eSLI u | GARMONI^ESKAQ W OBLASTI FUNKCIQ, TO

u(x0) =

		1			nZ

j	SRn	(x0)
j			jSR(x0)
		1			Z

j	BRn(x0)
	BRn(x0)				n
				jBR(x0)

u(x) ds

u(x) dx:

pRINCIP MAKSIMUMA. pUSTX u GARMONI^ESKAQ W I NEPRE-

RYWNAQ W FUNKCIQ I u(x0) = M max, x0 2 , TOGDA u M

W :

tEOREMA lIUWILLQ. eSLI u | GARMONI^ESKAQ W Rn OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ, TO u const.

lEMMA hOPFA{oLEJNIK O NORMALXNOJ PROIZWODNOJ.

pUSTX GARMONI^ESKAQ W [ARE B FUNKCIQ u(x) \| OTLI^NA OT
POSTOQNNOJ, u 2 C(B) I PUSTX u PRINIMAET NAIMENX[EE (NAI-
BOLX[EE) ZNA^ENIE W TO^KE b 2			@B. eSLI W TO^KE b SU]ESTWUET
PROIZWODNAQ	@u	, GDE \| NAPRAWLENIE, OBRAZU@]EE OSTRYJ UGOL

@
S WNE[NEJ NORMALX@ K GRANICE [ARA @B W TO^KE b, TO
		@u	@u
@ < 0			@ > 0 :

nERAWENSTWO hARNAKA. pUSTX u | GARMONI^ESKAQ W [ARE BRn (0) I NEPRERYWNAQ W BnR(0) NEOTRICATELXNAQ FUNKCIQ, TOGDA

u(0)Rn;2 (RR+;jxjjx)nj;1 6 u(x) 6 u(0)Rn;2 (RR;+jxjjx)nj;1 :

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.02.20161.53 Mб125ВПЭ.pdf
#
15.02.201695.06 Кб99Глава 1. Вид - единица существования живых организмов.docx
#
15.02.201678.34 Кб5ГОСэкзамен магистратура 2012.doc
#
15.02.201679.36 Кб7ГОСэкзамен магистратура 2015.doc
#
15.02.20161.26 Mб114Двумерная флуоресцентная микроскопия для анализа биологических образцов (Сайфитдинова А.Ф., 2008).pdf
#
15.02.2016749.32 Кб24Задачи по мат.физике.pdf
#
15.02.2016862.57 Кб21Ионизационные волны в аргоне.docx
#
15.02.20161.94 Mб113КВАНТОВАЯ И ОПТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА-1.pdf
#
15.02.20161.94 Mб143КВАНТОВАЯ И ОПТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА.pdf
#
15.02.20161.54 Mб85КиОЭ_Садыков.doc
#
15.02.2016754.83 Кб67Конспект лекций по квантовой физике.pdf