Решение. Данный определитель может быть вычислен непосредственно, используя теорему Лапласа. Однако, как нетрудно заметить, первая и третья строки матрицы – пропорциональны (элементы третьей строки в два раза больше соответствующих элементов первой строки). Поэтому, используя третье свойство определителей, заключаем, что значение его равно нулю:

A = 0

Тема 3. Обратная матрица.

Основные вопросы темы

1.Понятие обратной матрицы.

2.Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.

3.Алгоритм вычисления обратной матрицы.

3.1 Обратная матрица.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обратной, по отношению к квадратной матрице А, называется матрица, обозначаемая как A−1 , удовлетворяющая соотношению:

A A−1 = A−1 A = E

3.2 Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.

Не всякая матрица имеет обратную. Условия существования обратной матрицы определены следующей теоремой.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной.

3.3 Алгоритм вычисления обратной матрицы

Алгоритм вычисления обратной матрицы включает 5 шагов.

Шаг 1 (проверка существования обратной матрицы). Вычисление определителя исходной матрицы А. Если матрица А – невырожденная

21

(т.е. ее определитель отличен от нуля), то обратная матрица существует.

Шаг 2. Вычисление транспонированной матрицы АТ.

Шаг 3. Вычисление алгебраических дополнений - АТij всех элемен-

тов транспонированной матрицы АТ и запись их в в матрицу ~ = (~ ),

A aij

Шаг 4. Вычисление обратной матрицы А-1 по формуле:

Шаг 5. Проверка правильности вычисления обратной матрицы, используя соотношение:

Решение.

Шаг 1. (проверка существования обратной матрицы). Вычисляем определитель исходной матрицы А:

Определитель матрицы отличен от нуля. Следовательно, обратная матрица существует.

Шаг 2. Транспонируем исходную матрицу А (вычисляем транспонированную матрицу АТ):

Шаг 3. Находим алгебраические дополнения - АТij всех элементов

транспонированной матрицы АТ и запись их в в матрицу ~ = (~ ), назы-

A aij

Шаг 4. Вычисляем обратную матрицу А-1 по формуле:

22

Шаг 5. Осуществляем проверку правильности вычисления обрат-

3.4 Ранг матрицы.

В теории матричных вычислений широко используется поня-

тие ранга матрицы. Определим это понятие.

Рассмотрим произвольную матрицу размером m×n - À . В общем

m×n

случае эта матрица не является квадратной, поэтому, понятие определителя для нее не существует. Однако, вычеркиванием отдельных ее строк или столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k–ого порядка (k ≤ min(m,n)), для которых значение определителя существует. Эти определители получили название минора k–ого порядка мат-

рицы А. Например, для матрицы À существуют миноры третьего,

4×3

второго и первого порядка. Среди множества определителей (миноров) различных квадратных подматриц исходной матрицы А могут встречаться как равные, так и неравные нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы и обозначается как rang(A) или r(A).

Свойства ранга матрицы.

1. Значение ранга матрицы À не превосходит меньшего из ее

m×n

размеров: rang( À ) ≤ min(m,n).

m×n

2. Значение ранга матрицы равно нулю тогда и только тогда, когда исходная матрица является нулевой: rang(A)=0 Ù A=O.

3. Для квадратной матрицы À n-го порядка значение ее ранга

n×n

равно n (rang(A)= n) тогда и только тогда, матрица А не является вырожденной.

23

При операциях сложения и умножения матриц, ранг результирующей матрицы удовлетворяет следующим соотношениям:

1)rang(A+B) ≤ rang(A) + rang (B)

2)rang(A+B) ≥ rang(A) - rang (B)

3)rang(A·B) ≤ min [rang(A); rang (B)]

4)rang(A·B)= rang(A), если В – квадратная невырожденная матрица.

5)rang(A·B) ≥ rang(A)+ rang (B) – n, где n - число столбцов мат-

рицы А (строк матрицы В)

6)rang(AT·A) = rang(A)

Пример. Найти ранг матрицы

Решение. Порядок матрицы В равен четырем. В силу указанного выше свойства 1, ее ранг не превосходит это значение: rang(В) ≤ 4. Однако ее ранг не может быть равным четырем, поскольку (как не трудно заметить) матрица В является вырожденной (ее определитель равен нулю, т.к. содержит нулевую строку). Поэтому: rang(В) ≤ 3. Вычеркнем эту нулевую строку и, например, четвертый столбец. Получим подматрицу B* третьего порядка:

Вычислим ее определитель: Â = 47 ≠ 0 . Поскольку определитель отли-

чен от нуля, а определитель более высокого порядка равен нулю, делаем вывод, что ранг исходной матрицы В равен трем: rang(В) = 3.

В случае матриц больших размеров, число возможных подматриц – достаточно велико. Поэтому, непосредственное вычисление ранга матрицы может оказаться весьма трудоемким процессом. С целью минимизации вычислительных затрат использую специальные преобразования исходной матрицы, не изменяющие ранг исходной матрицы, но облегчающие его нахождение. Такие преобразования получили название элементарных преобразований. К ним относятся:

1. Отбрасывание нулевых строк и столбцов.

24