ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ТЕМА 1. Матрицы и матричные операции. Основные понятия и определения

Основные вопросы темы

1.Матрицы. Основные определения.

2.Виды матриц.

3.Операции над матрицами

1.1Матрицы. Основные понятия и определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей размером m×n называется совокупность m×n чисел, называемых элементами матрицы и расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. При записи эту таблицу заключают в круглые скобки, например:

Для обозначения матриц используют заглавные (прописные) буквы латинского алфавита A , B , C , … , и т.д. При необходимости, указывается также количество строк и столбцов матрицы. Например,

матрица содержит четыре строки и пять столбцов.

Элементы матриц обозначают соответствующими строчными буквами, снабженными двумя индексами, например i и j: aij . Индексы

выполняют роль своеобразных координат, определяющих положение элемента в матрице: первый индекс ( i ) характеризует номер строки, а второй ( j ) - номер столбца. Например, обозначение а23 означает, что данный элемент находится во второй строке и третьем столбце матрицы А.

В общем виде матрица mA×n , содержащая m строк и n столбцов, записывается как:

7

1.2 ВИДЫ МАТРИЦ.

Матрица, содержащая равное число строк и столбцов называется квадратной, причём число ее строк (столбцов) называется порядком матрицы. Например, запись 5A×5 означает, что речь идет о квадрат-

ной матрице А пятого порядка.

Матрица, состоящая только из одной строки, называется мат-

рицей-строкой (вектором):

A = (a11 a12 L a1n ).

Матрица, состоящая только из одного столбца, называется матри-

цей-столбцом (вектором):

ЗАМЕЧАНИЕ. Поскольку матрица-строка (столбец) состоит только из одной строки (столбца), то нет необходимости использования двух индексов. В этом случае, часто один индекс опускают, записывая:

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой (или нуль-матрицей) и обозначается как О (буква О):

Элементы квадратной матрицы aij у которых значения индексов

i и j совпадают (т.е.: i=j) называются диагональными. Они образуют

главную диагональ матрицы.

8

Квадратная матрица называется симметрической, если aij = aji, т.е. элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны. Например:

Квадратная матрица, все элементы которой кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной матрицей. Например:

Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной и обозначается как Е:

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю (aij=0 для всех i<j), называется верх-

ней треугольной матрицей.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие выше главной диагонали, равны нулю (aij=0 для всех i>j), называется ниж-

ней треугольной матрицей.

Расширением треугольных матриц для случая матриц не квадратного вида являются ступенчатые матрицы. Таким образом, матрица, имеющая вид:

9

называется ступенчатой.

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое размеры (число строк и столбцов) и их соответствующие элементы (элементы, находящиеся на одинаковых позициях матрицы) – равны: aij = bij.

1.3. Операции над матрицами

Приведем основные операции над матрицами.

1.3.1Умножение матрицы на число. Произведением матрицы

Аразмера m×n на число λ называется новая матрица В, обозначаемая

как: В=λА, элементы которой bij = λaij , где: i = 1,2,...,m; j = 1,2,...,n . Иными словами: для того чтобы умножить матрицу A на число λ нужно каждый элемент этой матрицы умножить на данное число.

СЛЕДСТВИЕ: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить в виде множителя за знак матрицы.

1.3.2 Сложение (вычитание) матриц. Суммой (разностью)

двух матриц одинакового называется матрица С, обозначаемая как:

честь) матрицы A и В одинакового размера нужно сложить (вычесть) их элементы находящиеся на одинаковых позициях.

ЗАМЕЧАНИЕ. Подчеркнем, что матричные операции сложения и вычитания определены только для матриц одинакового размера.

Пример:

1.3.3 Умножение матриц. Данная операция – более сложная. Поэтому, опишем ее посредством следующих трех пунктов.

10

Пункт 1. Операция умножения двух матриц А и В, обозначаемая как А В (А×B, или просто АВ) определена только в том случае, если число столбцов первой матрицы (А) равно числу строк второй матрицы (В). Иными словами, операция умножения матриц определе-

на только для матриц вида: A и B . Такие матрицы называются со-

m×k k×n

гласованными.

Пункт 2. Размер результирующей матрицы С (обозначаемой как

С=АВ), определяется числом строк первой матрицы ( A ) и числом

m×k

столбцов второй матрицы ( B ), т.е. размер результирующей матри-

k×n

Пункт 3. Каждый элемент сij результирующей матрицы C = (cij )

вычисляется как сумма попарных произведений элементов i-ой строки матрицы А и соответствующих элементов j-ого столбца матрицы В:

cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ai3b3 j + L+ aik bkj .

Иными словами: для вычисления элемента сij результирующей мат-

рицы C=A·B используется строка матрицы А с номером i и столбец матрицы В с номером j . Необходимо попарно перемножить элементы строки и столбца (первый элемент строки умножить на первый элемент столбца, второй элемент строки умножить на второй элемент столбца, и т.д.) и сложить результаты.

умножения?

1×n

умножения?

11

Пример: Вычислить произведение АВ двух матриц:

Решение: Выполним последовательно перечисленные выше пункты.

1.Матрицы согласованы, поскольку число столбцов первой матрицы (А) равно трем, и число строк второй матрицы (В) также равно трем. Поэтому выполнение операции умножения матриц - возможно.

2.Размер результирующей матрицы (С) определяется числом строк матрицы А (число строк равно 2) и числом столбцов матрицы

В(число столбцов равно 3). Таким образом, размер результирую-

щей матрицы равен 2×3:

3. Найдем элементы результирующей матрицы:

Свойства матричных операций.

Свойства матричных операций можно условно разделить на две группы:

а) свойства, имеющие аналогию со свойствами алгебраических операций; и

б) специфические свойства матричных операций.

Кпервой группе относятся следующие соотношения:

1.А+В=В+А. 2. (А+В+С)=(А+В)+С. 3. λ(А+В)=λА+λВ.

7.А(ВС)=(АВ)С.

Сдругой стороны, ряд матричных операций (в частности, операция умножения) обладают определенной спецификой.

Специфические свойства операции умножения матриц.

1. Если существует (определено) произведение матриц А·В, то это не означает, что существует (определено) произведение В·А.

12

2. Перестановка сомножителей местами в операции матричного умножения (если она не нарушает согласованности матриц) может приводить к результирующим матрицам разного размера.

3. Рассмотренные примеры позволяют сформулировать следующий вывод: для операции матричного умножения коммутативный (переместительный) закон, вообще говоря, не выполняется, т.е.:

А·В≠ В·А.

ЗАМЕЧАНИЕ. Укажем, на некоторые важные исключения из этого правила. Свойством коммутативности обладает операция умножения квадратной матрицы А на единичную и нулевую квадратную матрицу того же порядка:

А·Е= Е·А=А;

А·О=О·А=О.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы, для которых операция умножения обладает коммутативным свойством (АВ=ВА) называются перестановоч-

ными.

1.3.4 Возведение в целую положительную степень (определяется только для квадратных матриц). Целой положительной степенью квадратной Аm матрицы А (m>1) называется произведение матрицы А саму на себя m раз:

А А АLА .

14243

m раз

При этом, по определению, полагают:

13