1 |
− 3 |
1 |
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
= |
|
|
A·x = |
2 |
6 |
|
|
|
− 4 |
. |
|
|
− 1 |
|
|
|||
Теперь вычислим значение правой части равенства:
|
|
1 |
|
4 |
|
λ2 x = |
4 |
|
= |
|
|
|
|
|
− 4 |
. |
|
|
|
− 1 |
|
|
Таким образом, равенство A·x = λ2 x – выполняется.
Тема 7. Квадратичная форма.
Основные вопросы темы
1.Квадратичная форма: основные определения.
2.Матричная запись квадратичной формы.
3.Знакоопределенность квадратичной формы.
7.1Квадратичные формы: основные определения.
Описание экономических процессов и систем не ограничивается линейными уравнениями (содержащих переменные только первой степени). Не менее важными являются уравнения более высоких степеней.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратичной формой L(x1, x2, x3, … , xn) от n пе-
ременных называется выражение вида:
n |
n |
L(x1, x2 , x3 , K, xn ) = ∑∑aij xi xj , |
|
i=1 |
j=1 |
где: x1, x2, x3, … , xn – независимые переменные; и aij – действительные числа.
Иными словами, квадратичная форма представляет собой сумму, каждый член которой равен либо квадрату одной из переменных (если значения индексов совпадают: i=j), либо произведению двух разных переменных (если значения индексов не совпадают: i≠j), взятых с некоторым коэффициентом aij.
7.2 Матричная запись квадратичной формы.
Введем в рассмотрение матрицу А, в которую запишем коэффициенты aij и матрицу-столбец Х, в который поместим все неизвестные:
48
a11 |
a12 a13 ... a1n |
|
a22 a23 ... a2n |
a21 |
|
A = |
K |
|
|
|
an2 an3 ... ann |
an1 |
;
x1 |
|
|
|
x2 |
|
X = |
. |
L |
|
|
|
xn |
|
В этом случае квадратичная форма может быть записана как:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 a13 ... a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(x |
, x |
2 |
, K, x |
n |
) = |
X ′AX |
= (x |
x |
2 |
Kx |
n |
) |
a21 |
a22 a23 ... a2n |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
K |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an2 an3 ... ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
x1x2 .Lxn
При использовании матричной записи квадратичной формы будем использовать симметрическую матрицу A, в которой в которой элементы aij, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой:
aij = aji .
Пример. Записать в матричном виде квадратичную:
L(x1 , x2 , x3 ) = 5x12 − 6x1 x2 + 14x1 x3 +8x22 + 4x2 x3 − 9x32 .
Решение. Заданная квадратичная форма содержит три переменные, т.е. n=3. Поэтому, размерность матрицы А равна 3×3 и матрицы Х: 3×1:
|
a11 a12 a13 |
|
x1 |
|||||||
A = a21 a22 a23 ; |
X = x2 . |
|||||||||
3×3 |
a |
|
a |
|
a |
|
|
3×1 |
x |
|
|
31 |
32 |
33 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||
Диагональные элементы матрицы a11 , a22 и a33 определим равными соответствующим значениям коэффициентов при x12 , x22 и x32 :
a11=5; a22=8 и a33=-9.
Поскольку матрица А является симметрической, найдем их значения, разделив величину коэффициента соответствующего элемента квадратичной формы на два:
a12 = a21 = 3; a13 = a31 = 7; a23 = a32 = 2.
Таким образом:
|
|
|
5 |
− 3 |
7 |
x1 |
|
L(x1 , x2 , x3 ) = |
(x1 x2 |
|
− 3 |
8 |
2 |
|
|
x3 ) |
x2 |
. |
|||||
|
|
|
7 |
2 |
− 9 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратичная форма называется канонической, если она имеет вид:
L(x1, x2 , x3 , K, xn ) = a11x12 + a22 x22 + a33 x32 + K+ ann xn2 .
49
Иными словами, квадратичная форма
n n
L(x1, x2 , x3 , K, xn ) = ∑∑aij xi xj
i=1 j=1
называется канонической, если все коэффициенты aij = 0 при i ≠ j .
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду путем введения новых переменных с помощью линейного преобразования X=CY.
ЗАМЕЧАНИЕ. Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, и определяется конкретным видом преобразования. Однако число положительных и отрицательных слагаемых канонического вида не зависит от способа преобразования (последнее свойство носит название закона инерции квадратичных форм).
7.3Знакоопределенность квадратичной формы.
Вряде случаев, оказывается необходимым определить: принимает ли квадратичная форма только положительные (только отрицательные) значения, независимо от значений переменных. В этом случае ее называю положительно определенной (отрицательно определенной).
Для выяснения этого вопроса могут быть использованы следующие теоремы.
Теорема. Для того, чтобы квадратичная форма L = X ′AX была поло-
жительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения λi матрицы А были положительны (отрицательны).
Теорема (критерий Сильвестра). Для того, чтобы квадратичная форма L = X ′AX была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А были положительны, т.е.:
1 > 0, 2 > 0, 3 > 0, K, n > 0 , где:
|
a11 a12 a13 ... a1n |
|
|
n = |
a21 |
a22 a23 ... a2n |
. |
|
|
K |
|
|
an1 |
an2 an3 ... ann |
|
Для отрицательно определенной квадратичной формы, знаки миноров чередуются, начиная со знака минус для минора первого порядка.
50