На практике, при исследовании ГС, часто

Например, оценкой для математического ожидания может служить среднее арифметическое наблюдаемых значений СВ, поскольку при большом числе опытов среднее арифметическое приближается к мат. ожиданию.

Если число опытов невелико, то замена мат. ожидания средним арифметическим будет приводить к некоторой ошибке.

Поэтому всегда желательно выбрать такую оценку, при которой ошибка минимальна.

Пусть исследуется СВ Х. Производится выборка объемом n. Ее можно представить как n-мерную СВ

V=(X1…Xn),

где Хi - значение Х, принятое в i-ом опыте.

Любая функция от выборки называется статистикой.

Например, среднее арифметическое СВ есть статистика:

n

Xi

X n i 1n

Пусть S – некоторый параметр СВ Х. Чтобы приближенно его найти, подбирают статистику Ŝ, которая должна оценивать этот параметр.

Любая статистика – это СВ, так как она определена на выборках.

Ŝn – статистика, определенная на выборке объемом n.

Для того, чтобы статистика была оценкой параметра ГС, она должна удовлетворять некоторым требованиям.

В первую очередь, оценка должна быть

Это значит, что при увеличении числа опытов она должна приближаться к самому параметру.

Говорят, что оценка Ŝn сходится по вероятности к параметру S, т.е.

Во-вторых, оценка должна быть

Т.е. чтобы отсутствовала систематическая ошибка при использовании этой оценки.

Это значит, что должно выполняться условие:

M[Sn ] S

В третьих, желательно, чтобы выбранная несмещенная оценка была

т.е. обладала по сравнению с другими наименьшей дисперсией:

D[Sn ] min

На практике не всегда удается удовлетворить всем этим требованиям.

Например, если даже существует эффективная оценка, то формулы для ее вычисления могут оказаться достаточно сложными и ее приходится заменять другой оценкой, дисперсия которой несколько больше.