IvanovMaksyuta

mx + kx = F (t )

перепишемо у вигляді

де введена комплексна величина ξ = x +iω0 x . Зазначимо, що таке перетворення має дуже велике значення, оскільки при заміні x → pm воно може бути використанеу квантовій механіці. Ми перейшли, таким чином, до рівняння першого порядку. Без правої частини розв'язок однорідного рівняння буде ξ(t) = Aexp (iω0t) . Шукаючи далі розв'язок неоднорідного рівняння у вигляді ξ(t) = A(t)exp(iω0t) , одержуєморівняння для A(t) :

A(t) = m1 F (t)exp (−iω0t) .

Інтегруючице рівняння, дістаємо розв'язок ξ(t ) у такому вигляді:

де ξ0 = ξ(0) . Це й є шуканий загальний розв'язок. Функція ж x (t) дається уявною частиною ξ(t) , розділеною на ω0 , тобто

Енергія системи, яка здійснює вимушені коливання, не зберігається; надходження енергії в систему відбувається за рахунок джерела зовнішньої сили. Визначимо повну енергію, що передається системі за весь час дії сили (від −∞ до +∞ ), вважаючи початкову енергію такою, що дорівнює нулю. Оскільки маємо ξ(−∞) = 0 , то за t → ∞ буде

Таким чином, енергія, яка передається від джерела системі за весь час його дії, подається таким виразом:

тобто вона визначається квадратом модуля компонента Фур'є сили F (t) із частотою, що дорівнює власній частоті системи.

Якщо сила F (t) діє лише протягом короткого проміжку часу

тобто короткодіюча сила привносить у систему імпульс, не встигаючи призвести до помітного зміщення.

Контрольні запитання та завдання

1.Записати рівняння Ван дер Поля.

2.Зобразити залежність амплітуди коливань у випадку резонансу.

3.У якій частотній смузі змінюється фаза коливань за наявності гармонічної змушувальної сили?

4.Що таке катастрофа резонансу?

5.За яких умов виникає явище биття?

Лекція 8. Коливання систем

збагатьма ступенями вільності

§1. Вільні коливання систем з багатьма ступенями вільності. Нормальні координати

Розглянемо ті коливання, які виникають за невеликих відхилень системи від положення стійкої рівноваги. Насамперед це такі системи, потенціал U яких є функцією координат qi

(i =1,..., s) , де s – кількість ступенів вільності. Очевидно, що

72

Якщо потенціальну енергію відраховувати від її мінімального значення, то з урахуванням того, що в стані рівноваги виконуються

рівності (∂U∂qi )|q=q0 = 0 , одержуємо

Таким чином, потенціальна енергія є додатно визначеною квадратичною формою.

Кінетичну енергію в загальному вигляді можна записати таким чином:

T= 1 ∑s aij (q)qi q j . 2 i, j

Розкладаючи величини aij (q) у ряд Тейлора в околі точки q = q0 і залишаючи тільки перші членирозкладу aij (q0 ) = mij , матимемо

T= 1 ∑s mij xi x j , 2 i, j

де, очевидно, mij = m ji . Зрозуміло, що кінетична енергія також є

додатно визначеною квадратичною формою. Функція Лагранжа цієї системи має вигляд

74

L = 1 ∑s (mij xi x j −kij xi x j ) . 2 i, j=1

Підрахуємо тепер повнийдиференціалвід цієїфункції Лагранжа: d L = 1 ∑s (m x dx + m x dx −k x dx − k x dx ) =

2i, j

=1 ∑s (mji x j dxi + mij x j dxi − k ji x j dxi − kij x j dxi ) = 2 i, j ij i j ij j i ij i j ij j i

Тому рівняння Лагранжа записуються у вигляді

s

∑(mij x j + kij x j ) = 0 . j=1

Це є системою s лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку зі сталими коефіцієнтами, розв'язок якої шукаємо у вигляді

де СAj – комплексна амплітуда коливання, яка відповідає координаті x j , а величина C тут введена для зручності, як деякий

масштабний коефіцієнт, однаковий для всіх координат. Для спрощення подальшого розгляду будемо користуватися комплексною

формою запису шуканого розв'язку, тобто x j = Aj exp(iωt) , а до

дійсного розв'язку перейдемо на завершальній стадії. Таким чином, підставляючи розв'язок x j = Aj exp (iωt) у систему рівнянь

75

Лагранжа, одержуємо таку систему лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь, яким задовольняють амплітуди Аj :

s

∑(kij − ω2mij ) Aj = 0 . j=1

Ця система має нетривіальний розв'язок, якщо її визначник дорівнює нулю, тобто маємо

det (kij − ω2mij ) = 0 .

Одержане рівняння називається характеристичним рівнянням і воно є рівнянням степеня s щодо змінної ω2 . Дійсні додатні розв'язки ω2α, α =1,..., s цього рівняння є квадратами власних

частот системи.

Дійсність і додатність розв'язків уже випливає з фізичних міркувань, але це можна показати й математично. Помножаємо сис-

тему рівнянь Лагранжа на Ai* і підсумовуємо за індексом i :

де внаслідок симетричності чисел kij остання сума дорівнює нулю

Після того, як числа ω2α знайдені, підставляємо замість ω2 кож-

s

не з них (напр., ωl2 ) у систему рівнянь ∑(kij − ω2mij ) Aj = 0 , щоб

j=1

знайти відповідні значення амплітуд Ajl . Якщо припустити, що всі ω2α різні, то одне із рівнянь у цій системі є наслідком усіх

де (ωl2 ) – визначник системи, а j (ωl2 ) – визначник, утворе-

ний підстановкою на місце j -го стовпчика визначника (ωl2 )

стовпчика вільних членів цієї системи, за винятком спільного множника Asl . Звідси ще випливає, що всі шукані амплітуди

будуть дійсними, якщо дійсною буде амплітуда Asl .

ˆ

Встановимо тепер властивості матриці A , утвореної з усіх амплітуд. Для цього виконуємо таку процедуру:

s

∑(kij − ωl2mij ) Ajl = 0 Aip , j=1

s

∑(kij − ω2p mij ) Aip = 0 Ajl . i=1

Віднімаючи далі від рівнянь першої системи рівняння другої системи, одержуємо таку рівність:

(ωl2 −ω2p )∑mij Ajl Aip = 0 . i, j

Якщо всі корені характеристичного рівняння будуть різними, то за l ≠ p маємо

∑mij Ajl Aip = 0 . i, j

Оскільки величини Ajl як розв'язки лінійного однорідного

рівняння визначені тільки з точністю до сталого множника, то накладемо таку додаткову умову:

∑mij Ajl Ail =1. i, j

Об'єднуючи дві останні рівності, одержуємо

∑mij Ajl Aip = δlp . i, j

Останню умову можна записати також і в матричному вигляді

ˆТ ˆ ˆ = ˆ

A МА Е

78

– це умова ортогональності матриці Аˆ в просторі конфігурацій з метричним тензором Мˆ . Перепишемо тепер систему рівнянь

перетворення, яке переводить косокутну систему координат у прямокутну (матриця метричного тензора стає одиничною матрицею). Осі нової системи координат є головними осями, а мат-

ˆ

риця K стає діагональною.

Оскільки розв'язок рівнянь руху являє собою суперпозицію s коливань із частотами ω1,...,ωs , то загальний розв'язок рівнянь руху можна записати у вигляді

x j = Re ∑Cl Ajl eiωlt = Re ∑(Re Cl +i Im Cl )Ajl (cos ωl t +i sin ωl t) =

mij Aip і підсумовуючи за i та j , одержуємо

79

∑mij Aip x j (0) = ∑ ReCl mij Ajl Aip =

= ∑ReCl ∑mij Ajl Aip = ∑ReCl δlp = ReCp ,

∑mij Aip x j (0) = −∑ Im Cl mij Ajl Aipωl =

= −∑ωl Im Cl ∑mij Ajl Aip = −∑ωl Im Cl δlp = −ωp Im Cp . l i, j l

Таким чином, одержуємо

ReCl = ∑mij Ail x j (0) і Im Cl = −ωl−1 ∑mij Ail x j (0) . i, j i, j

Оскільки загальний розв'язок дорівнює

x j = ∑ Ajl [ReCl cos ωl t − Im Cl sin ωl t] = ∑ Ajl ζl ,

l l

то це означає, що зміна кожної координати із часом являє собою суперпозицію s простихперіодичнихколивань ζ1,..., ζs здовільними

амплітудамиіфазами, алезцілкомвизначенимичастотами.

Під час аналізу динаміки механічних систем з декількома ступенями вільності виникає запитання: "Чи не можна вибрати узагальнені координати таким чином, щоб кожна з них здійснювала лише одне просте коливання?" У загальному вигляді це дуже складна задача, яка розв'язується шляхом введення змінних "дія–кут". Проте в нашому випадку лінійної динаміки ситуація виглядає простішою, оскільки форма загального розв'язку вказує шлях до вирішення цієї задачі. Записуємо потенціальну та кінетичну енергії та загальний розв'язок у матричній формі

Користуючись співвідношеннями

одержуємо

80