IvanovMaksyuta

тивності не допускає цю невизначеність. Лагранжеві функції всіх систем можна множити тільки на однакові константи, що зводиться до вибору систем одиниць вимірювань.

3. Функція Лагранжа визначена лише з точністю до адитивної складової, а саме, повної похідної від деякої функції координат і часу. Дійсно, нехай маємо співвідношення

L′(q, q,t) = L(q, q,t) + dtd f (q,t) .

Тоді дія S′ обчислюється таким чином:

S′ = ∫tt12 L′(q, q,t )dt = ∫tt12 L(q, q,t )dt + ∫tt12 dfdt dt = = S + f (q2 ,t2 ) − f (q1,t1 ) ,

тобто два додаткові члени зникають при варіюванні. Отже, умова δS′ = 0 збігається з умовою δS = 0 і вигляд рівнянь руху залишається незмінним.

§ 3. Принцип відносності Галілея.

Функції Лагранжа однієї матеріальної точки та системи матеріальних точок

Існують такі системи, щодо яких простір є однорідним і ізотропним, ачас– однорідним. Такісистеминазиваютьсяінерціальними.

Функція Лагранжа матеріальної точки в інерціальній системі координат має вигляд

L = L(v2 ) ,

оскількиG внаслідок однорідності простору не має бути залежності від r , унаслідок однорідності часу не входить t , а внаслідок ізотропностіG простору не може бути залежності від напрямку вектора v . Це приводить до такого ланцюжка рівностей:

Таким чином, в інерціальній системі відліку вільний рух матеріальної точки відбувається зі сталою за величиною і напрямком швидкістю. У цьому полягає закон інерції. У всіх цих сис-

21

темах відліку властивості простору й часу однакові. Відповідно однакові і закони механіки. Це твердження лежить в основі принципу відносності Галілея: не існує "абсолютної" системи відліку, яку можна було б виділити серед інших систем. Як наслідокG , у разі руху інерціальної системи відліку K′ зі швидкістю

V щодо інерціальної системи відліку K спостерігається таке

перетворення Галілея: rG = rG′+Vt , t = t′.

Перейдемо тепер до одержання функції Лагранжа вільної матеріальної точки. Нехай інерціальна система відліку K рухається щодо інерціальної системи відліку K′ з нескінченно малою швидкістю εG , тобто v′ = vG + ε . Оскільки рівняння руху в усіх

системах відліку повинні мати один і той самий вигляд, функція Лагранжа L (v2 ) має перейти у функцію L′, яка відрізняється

від L (v2 ) лише на повну похідну від деякої функції координат

і часу, тобто маємо

L′ = L(vG′2 ) = L(vG2 + 2vG εG+ εG2 ) ≈ L(v2 ) + ∂∂vL2 2vG εG.

Останній член цієї рівності буде повною похідною за часом лише в тому випадку, коли він залежить від швидкості v лінійно.

Тому ∂L∂v2 від швидкості не залежить, тобто функція Лагранжа має вигляд

L = m2 v2 ,

де величина m називається масою матеріальної точки.

Ураховуючи властивість адитивності функції Лагранжа для системи матеріальних точок, що не взаємодіють, маємо

L = ∑ ma v2 .

a 2 a

Слід підкреслити, що лише за врахування цієї властивості таке визначення маси має реальний зміст: функцію Лагранжа можна множити на довільну константу, а відношення мас при цьому не змінюється. Окрім того, маса не може бути від'ємною, оскільки в цьому випадку не мав би мінімуму такий інтеграл:

22

S = ∫12 mv2 2 dt .

Розглянемо тепер систему матеріальних точок, які взаємодіють лише між собою. Допустима також і наявність зовнішніх сил, які можна трактувати як наслідок взаємодії частинок системи з деякими нерухомими "зовнішніми тілами", динаміка яких не обговорюється. Ясно, що в цьому випадку просторова однорідність буде порушена, і функція Лагранжа стає залежною від координат частинок. Щоб зробити це якомога простіше, слід додати до функції Лагранжа деяку функцію координат частинок, що прийнято записувати у вигляді

L = ∑ m2a va2 −U (rG1,..., rGa ,...rGN ) .

a

Слід зазначити, що принцип відносності Галілея виключає можливість доданків іншої структури, а саме, залежних одночасно від координат і швидкостей.

Як було показано раніше, загальна форма потенціальної енергії U (rG1,..., rGa ,..., rGN ) ≡U (rGa ) може бути записана у вигляді

U (rGa ) =U (e) (rGa ) + 1 ∑Uab ( rGa − rGb ) .

2 a,b a≠b

У результаті для функції Лагранжа системи матеріальних точок, узгодженої із законами Ньютона, ми приходимо до виразу

Очевидно, що ця функція Лагранжа інваріантна щодо заміни t на

– t, тобто всі механічні рухи є зворотними. Нарешті, покажемо, що для такої функції Лагранжа система рівнянь Лагранжа

динат усіх матеріальних точок.

23

Контрольні запитання та завдання

1.Класифікація в'язей механічних систем.

2.Сутьваріаційного принципунайменшоїдії(принципуГамільтона).

3.Рівняння Лагранжа другого роду.

4.Властивості функції Лагранжа.

4. Функція Лагранжа системи матеріальних точок.

Лекція 3. Узагальнення методу Лагранжа

§1. Узагальнений вираз для кінетичної енергії

Упопередній лекції на основі інтегрального принципу Гамільтона для консервативних систем і на основі довільності ве-

личини варіації δq(t) (у випадку одного ступеня вільності) або s таких функцій δq1 (t),...,δqs (t) (у випадку s ступенів вільності) із рівності

Раніше ми переконались, що для системи матеріальних точок рівняння Лагранжа збігаються зі стандартними рівняннями руху, які визначаються другим законом Ньютона. Однак перевага формалізму Лагранжа полягає в тому, що його можна застосовувати для довільного вибору узагальнених координат. Для цього достатньо записати функцію Лагранжа через ці координати.

Із визначення L = T −U випливає, що функція Лагранжа L є функцією узагальнених координат qi , узагальнених швидкостей qi , а також часу t , який може входити у функцію Лагран-

жа явно внаслідок нестаціонарності в'язей або зовнішніх сил. Знайдемо вираз кінетичної енергії T через узагальнені коорди-

нати та швидкості. Декартові координати матеріальних точок системивиражаютьсячерезузагальненікоординатийчастакимчином:

24

входить; тому маємо ∂fxa, ya,za ∂t = 0 , звідки випливає, що gk і T0 також дорівнюють нулю, тобто кінетична енергія системи стає однорідною квадратичною функцією узагальнених швидкостей qi , а саме:

T= 1 ∑akl (q)qk ql ,

2 k,l

де коефіцієнти аkl є функціями узагальнених координат qi (тоб-

то ці коефіцієнти утворюють додатно визначену матрицю узагальнених мас). Функція ж Лагранжа записується в такому вигляді:

25

L(q, q) = 1 ∑s akl (q)qk ql −U (q) .

2 k,l=1

Як приклад, наведемо вираз для функції Лагранжа матеріальної точки у сферичних координатах

L = m2 (r2 + r2θ2 + r2 sin2 θϕ2 )−U (r,θ,ϕ) .

Звідси видно, що матриця узагальнених мас діагональна й додатно визначена, тобто arr = m , aθθ = mr2 , aϕϕ = mr2 sin2 θ.

Якщо ж розглядати загальний випадок в'язей, залежних від часу, то з'являються як доданки gk , так і величина T0 . Фактич-

но, величина −T0 є динамічним доповненням до потенціальної енергії. Щодо доданків gk слід зазначити, що інколи їх вдається

позбутися введенням повної похідної за часом від деякої функції координат і часу. Наприклад, це завжди можна зробити у випадку одного ступеня вільності. У цьому випадку функція Лагранжа знову ж таки набуває вигляду L = T −U . Якщо ж не вдається позбутися лінійних доданків, то така механічна система називається гіроскопічною. У цьому випадку її функція Лагранжа набуває

s

вигляду L = T +G −U , де G = ∑ gk (q;t )qk являє собою гіро-

k =1

скопічний доданок.

Як було зазначено, при одержанні рівнянь руху Лагранжа– Ейлера застосовувався метод виключення залежних координат за допомогою введення узагальнених координат. Їх обирається стільки, скільки має ступенів вільності система. При цьому, поперше, декартові координати в будь-який момент часу однозначно виражаються через узагальнені координати і, по-друге, рівняння в'язей задовольняються тотожно. Наприклад, нехай на рух матеріальної точки накладена в'язь

f ( x, y, z) = x2 + y2 + z2 − a2 = 0 .

Це означає, що матеріальна точка рухається по поверхні кулі радіуса a . Очевидно, що узагальненими координатами доцільно вибрати сферичні кути 0 ≤ θ ≤ π і 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Тоді за

26

θ,ϕ, а рівняння в'язі при цьому задовольняється автоматично. Протеценеєдинийметод виключеннязалежних координат.

§ 2. Сили реакцій

Шукаємо рівняння руху для системи N матеріальних точок за наявності k голономних в'язей

fσ ( x1, y1, z1,..., xN , yN , zN ;t ) = 0, (σ =1,..., k ) .

Переміщуємо матеріальні точки на відстані δxa ,δya ,δza , вважаючи їх віртуальними, тобто вони задовольняють k рівнянь в'язей fσ ( x1 + δx1, y1 + δy1, z1 + δz1,...;t) = 0 у той самий момент часу. Розкладаємо цю функцію в ряд Тейлора й обмежуємося першими членами розкладу

тобто 3N віртуальних переміщень задовольняють такі k рівнянь. При цьому кількість незалежних віртуальних переміщень, яка на-

зивається кількістю ступенів вільності механічної системи, до-

рівнює s = 3N −k .

Далі звільнюємо систему від в'язей, замінюючи їх такими силами, щоб рух відбувався таким самим чином, як і за наявності в'язей. Ці додаткові сили називаються силами реакцій. Тоді рів-

няння руху набувають вигляду

G G

G mara = Fa + Ra ,

де Ra – сили реакцій. Будемо розглядати тільки ідеальні в'язі, коли сили реакцій задовольняють умову

27

ників Лагранжа λσ , то їх можна вибрати так, щоб усі коефіцієн-

ти при залежних віртуальних переміщеннях дорівнювали нулю. Оскільки тепер в останній сумі залишились лише доданки з 3N − k незалежними віртуальними переміщеннями, і ця сума за принципом Д'Аламбера–Лагранжа має дорівнювати нулю, то це буде тоді й лише тоді, коли всі коефіцієнти при цих незалежних віртуальних переміщеннях дорівнюють нулю, тобто

−marGa + FGa + ∑k λσ a fσ = 0 .

σ=1

Отже, ми одержуємо систему N векторних рівнянь Лагранжа першого роду

marGa = FGa + ∑k λσ a fσ .

σ=1

Порівнюючи цю систему із системою marGa = Fa + RGa , знаходимо

вираз для сили реакції

RGa = ∑k λσ a fσ .

σ=1

Щоб кількість невідомих збігалася з кількістю рівнянь, доповнюємо 3N скалярних рівнянь Лагранжа k рівняннями в'язей.

Таким чином, рівняння Лагранжа першого роду дають можливість визначати силиреакцій в'язей, що дуже важливо в техніці.

§ 3. Узагальнення принципу Гамільтона на неконсервативні системи

Узагальнений принцип Гамільтона записується таким чином:

δS = δ∫12 (T +W )dt = 0 ,

причому кінцеві точки 1 і 2, як і раніше, фіксовані. Величина W визначається рівністю W = ∑Fa rGa . Варіація δW є роботою сил,

a

які діють на систему під час віртуальних переміщень від дійсної траєкторії (суцільна крива) до сусідньої віртуально можливої траєкторії (пунктирнакрива), отриманої врезультаті варіації (рис. 1).

29

y

2

t

t

1

x

Рис. 1. Варіація траєкторії в просторі конфігурацій

Оскільки кожне віртуальне переміщення відбувається в конкретний момент часу (час не варіюється), то сили, що діють на сис-

то приходимо до принципу Гамільтона у звичайній формі. Дійсно, інтеграл від віртуальної роботи тоді дорівнюватиме