|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q1 = |
2I1 |
mω1 sin θ1 , |
p1 = |
2I1mω1 cos θ1 , |
|
q2 = |
2I2 |
mω2 sin θ2 , |
p2 = |
2I2mω2 cos θ2 . |
Далі, використовуючи умови θ1 = ω1t |
і θ2 = ω2t , можна виклю- |
чити час і переконатися в збереженні такої величини: |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
mω2q2 |
|
|
arctg |
mω1q1 |
− |
arctg |
= const . |
|
|
|
|
p2 |
|
ω1 |
|
p1 |
ω2 |
|
|
Вираз такого типу ми вже аналізували в лекції 9; де показано, що інтеграл руху, що виникає, однозначний лише за раціонального відношення частот ω1 і ω2 , тобто за умови n1ω1 = n2ω2 .
z
y
x 
Рис. 2. Зображення двовимірного тору в декартовій системі координат
Таким чином, можна сформулювати загальне правило: якщо для динамічної системи з s = 2 усі фазові траєкторії замкнені, то для неї існує додатковий (третій) однозначний інтеграл руху. Ми вже вказували на цю властивість під час аналізу динаміки в центрально-симетричному полі (замкненість траєкторій спостерігається для задачі Кеплера з потенціалом U (r) −1
r ,
а також у випадку двовимірного гармонічного осцилятора з потенціалом U (r) r2 ).
Якщо ж система неінтегрована, то характер фазових траєкторій суттєво ускладнюється. Для найбільш простого випадку неінтегрованої гамільтонової системи з s = 2 єдиним інтегралом
руху є енергія. Умова H ( p1, q1; p2 , q2 ) = E = const виділяє у чотиривимірному фазовому просторі тривимірний багатовид, а фазові траєкторії можуть заповнювати його. У цьому випадку може виникнути хаотична поведінка (див. лекцію 9).
Контрольні запитання та завдання
1.Що називається адіабатичним інваріантом?
2.Явний вираз для адіабатичного інваріанта та його геометрична інтерпретація.
3.Адіабатичний інваріант гармонічного осцилятора.
4.Суть змінних "дія–кут".
5.Визначення інтегрованості динамічної системи.
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
Основна
1.Ландау Л. Д. Механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц.
–М. : Наука, 1988.
2.Голдстейн Г. Классическая механика / Г. Голдстейн. – М. :
Наука, 1975.
3.Федорченко А. М. Классическая механика / А. М. Федорченко. – К. : Вища шк., 1983.
4.Сборник задач по теоретической физике / Л. Г. Гречко, В. И. Сугаков, О. Ф. Томасевич, А. М. Федорченко. – М. : Выс-
шая шк., 1984.
5.Іванов Б. О. Задачі з класичної механіки для самостійної роботи студентів / Б. О. Іванов, М. В. Максюта. – К. : ВПЦ "Київський університет", 2004.
6.Максюта М. В. Додатковий матеріал до курсу лекцій з теоретичної механіки : методична розробка для самостійної роботи студентів / М. В. Максюта. – К. : КНУ РФФ, 2006.
Додаткова
7.Барьяхтар В. Г. Механика / В. Г. Барьяхтар, И. В. Барьяхтар, Л. П. Гармаш, С. А. Довгий. – К. : Ин-т Магнетизма НАН Украины, 2004.
8.Іро Г. Класична механіка / Г. Іро. – Л. : Львів. нац. ун-т ім. І.Франка, 1999.
9.Карплюк К. С. Механіка / К. С. Карплюк. – К. РВЦ "Київський університет", 1998.
10. Павленко Ю. Г. Задачи по теоретической механике / Ю. Г. Павленко. – М. : изд-во Моск. ун-та, 1988.
203
Розділ ІІ. ЛІНІЙНІ ТА НЕЛІНІЙНІ КОЛИВАННЯ |
|
ЗА НАЯВНОСТІ СИЛ ТЕРТЯ......................................................... |
53 |
Лекція 6. Одновимірний рух матеріальної точки |
|
|
за наявності сил тертя............................................ |
53 |
§ 1. Сили тертя та їх види.................................................... |
53 |
§ 2. Лінійний осцилятор за наявності сили тертя............... |
54 |
§ 3. Зображення згасаючих процесів |
|
|
на фазовій площині за "додатного тертя" .................. |
58 |
§ 4. |
Механічні системи з "від'ємним тертям" ...................... |
61 |
Контрольні запитання та завдання ................................ |
63 |
Лекція 7. Вимушені коливання. Нелінійне тертя................ |
64 |
§ 1. |
Метод Ван дер Поля. Знакозмінне тертя. |
|
|
Граничний цикл.............................................................. |
64 |
§ 2. |
Вимушені коливання...................................................... |
65 |
§ 3. |
Катастрофа резонансу.................................................. |
69 |
Контрольні запитання та завдання ................................ |
72 |
Лекція 8. Коливання систем |
|
|
з багатьма ступенями вільності........................... |
72 |
§1. Вільні коливання систем
збагатьма ступенями вільності.
|
Нормальні координати.................................................. |
72 |
§ 2. |
Коливання системи з багатьма |
|
|
ступенями вільності за наявності сили тертя.............. |
81 |
§ 3. |
Вимушені коливання системи |
|
|
з багатьма ступенями вільності.................................... |
83 |
Контрольні запитання та завдання ................................ |
84 |
Розділ ІІІ. ІНТЕГРОВАНІСТЬ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ |
|
З ДЕКІЛЬКОМА СТУПЕНЯМИ ВІЛЬНОСТІ.................................. |
85 |
Лекція 9. Інтегрованість динамічних систем...................... |
85 |
§ 1. |
Двовимірний анізотропний гармонічний осцилятор ... |
86 |
§ 2. |
Система Хенона–Хейнеса. Динамічний хаос.............. |
93 |
Контрольні запитання та завдання ................................ |
97 |
Навчальне видання
ІВАНОВ Борис Олексійович МАКСЮТА Микола Васильович
КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ ІЗ ТЕОРЕТИЧНОЇ МЕХАНІКИ
Навчальний посібник
Редактор Л. П. Львова
Виконавець Т. С. Яшкова
Оригінал-макет виготовлено Видавничо-поліграфічним центром "Київський університет"
Формат60х841/16. Ум. друк. арк. 12,1. Наклад 150. Зам. № 212-6033.
Вид. №Рф6. ГарнітураTimes New Roman. Папірофсетний. Друк офсетний. Підписанододруку15.05.12
Видавецьівиготовлювач Видавничо-поліграфічнийцентр“Київськийуніверситет”
01601, Київ, б-р Т. Шевченка, 14, кімн. 43
(044) 239 32 22; (044) 239 31 72; тел./факс (044) 239 31 28 e-mail: vpc_div.chief@univ.kiev.ua
http: vpc.univ.kiev.ua
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 1103 від 31.10.02
