IvanovMaksyuta

Матеріальна точка масою m прикріплена до кінця невагомого й недеформованого стрижня довжиною l (невагомість – це ідеалізація). Другий кінець стрижня є нерухомим центром обертання, що також є ідеалізацією. І якщо допустити ще ідеалізацію про відсутність тертя матеріальної точки в повітрі й відсутність тертя в точці підвісу, то тоді рівняння руху цієї матеріальної точки в цій системі координат запишеться в такому вигляді:

ϕ+ ml sin ϕ = 0 .

3. Гармонічний осцилятор (рис. 3).

Нехай матеріальна точка масою m рухається вздовж горизонтального стрижня під дією двох пружин.

y

x

m

Рис. 3. Гармонічний осцилятор

Вводимо такі ідеалізації: по-перше, нехтуємо тертям матеріальної точки в процесі руху вздовж стрижня, по-друге, допускаємо, що сили пружин пропорційні зміщенням від положення стійкої рівноваги (справедливий закон Гука F = −kx ) і, по-третє, вважаємо, що в пружинах відсутнє внутрішнє тертя. Тоді рух такої системи (коливальної лінійної системи) описується таким лінійним рівнянням другого порядку:

x + mk x = 0 .

Означення: Одновимірним називається рух систем з одним ступенем вільності.

Найбільш загальний вигляд функції Лагранжа для систем з одним ступенем вільності, які перебувають у нестаціонарних зовнішніх умовах (неконсервативні системи), такий:

41

L(q, q,t) = 12 a(q,t)q2 −U (q,t) .

Підставляючи цю функцію в рівняння Лагранжа, одержуємо одне нелінійне диференціальне рівняння другого порядку

aq + ∂∂at q + 12 ∂∂aq q2 + ∂∂Uq = 0 ,

= a(q,t )q , можна перейти до такої системи двох нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку:

q = g ( p, q,t ), p = f ( p, q,t ) ,

де

Точний розв'язок одержаного нелінійного диференціального рівняння другого порядку або системи двох нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку вдається знайти не завжди. Тут йдеться не тільки про те, що його неможливо записати в елементарних функціях, але й про те, що запис розв'язання неможливо звести до обчислення визначених інтегралів, тобто, як часто кажуть, його не можна принаймні записати у квадратурах.

Однак у випадку консервативних систем точні розв'язки існують завжди, до розгляду яких ми зараз і перейдемо. При цьому відпадає, навіть, потреба у використанні самого рівняння руху. Із самого початку необхідно скористатися уже знайденим інтегралом руху: повною енергією системи

E = q ∂∂Lq − L = 12 a(q)q2 +U (q).

Це є диференціальним рівнянням першого порядку щодо узагальненої координати q . Інтегруючи це рівняння шляхом відо-

кремлення змінних, одержуємо розв'язок q(t) у неявній формі

42

Якщо ж область руху буде необмеженою або обмеженою лише з одного боку, то такий рух називається інфінітним. Це

стосується випадків, коли E > Emax або q(t0 ) > qmax . Одновимірний фінітний рух є коливальним, тобто матеріальна

точка здійснює періодичний рух між двома граничними точками. При цьому у зв'язку з інваріантністю рівнянь руху консервативної системи щодо заміни t → −t час руху від q1 до q2 дорівнює часу

зворотного руху від q2 до q1 . Тому період коливань буде таким:

Зазначимо, що у випадку декартових координат необхідно замінити q(E) на x(E) , а U (q) на U (x) і взяти замість a(q) величину m – масу матеріальної точки.

Значення координати qmin = q(Emin ), за якого потенціальна енергія U (q) набуває мінімального значення, визначає положення рівноваги (стійкої); у цій точці dU (q)dq дорівнює нулю, тобто сила, а отже, і прискорення q дорівнюють нулю. Пере-

йдемо до більш детального розгляду руху матеріальної точки поблизу цього положення рівноваги.

§ 2. Малі коливання

Розкладемо потенціальну енергію U (q) у ряд Тейлора за степенями (q − qmin ) таким чином:

відхилення координати від її рівноважного значення одержуємо

U (x) = kx2 , 2

де k = d 2U (q)dq2|q=qmin > 0 . Кінетична енергія систем з одним ступенем вільності описується виразом

T = 12 mx2 ,

у якому величина m є значенням функції a(q) за q = qmin , тобто маємо a(qmin ) = m . Слід зазначити, що величина m збігаєть-

ся з масою тільки тоді, коли х є декартовою координатою матеріальної точки. Отже, функція Лагранжа матиме вигляд

L(x, x) = mx2 − kx2 . 2 2

Відповідне цій функції рівняння руху записується таким чином:

збігається з рівнянням для гармонічного осцилятора, тобто поблизу рівноваги система поводить себе як гармонічний осцилятор. Два незалежних розв'язки цього лінійного диференціального рівняння записуються так: cos ω0t і sin ω0t . Тому його за-

гальний розв'язок є лінійною суперпозицією цих фундаментальних розв'язків:

x(t) = C1 cos ω0t +C2 sin ω0t ,

де C1 і C2 визначаються з початкових умов x(0) = x0 , x(0) = x0 . Одержуємо

x(t ) = x0 cos ω0t + x0 sin ω0t .

ω0

Цей вираз можна переписати також в іншому вигляді

45

x(t ) = a cos(ω0t + α) ,

де

розв'язок, який описує лінійне коливання, можна записати в такій формі:

x(t ) = Re{Aexp (−iω0t )} ,

де введена комплексна амплітуда A = a exp (−iα) . Таке зобра-

ження зручне тим, що в реальних розрахунках, які включають тільки лінійні операції, можна опустити знак дійсної частини, а відновити її тільки в кінцевому результаті. Цей прийом буде неодноразово використовуватися в наступних розділах теоретичної фізики.

Таким чином, поблизу положення стійкої рівноваги система здійснює гармонічний коливальний рух, амплітуда якого – a , частота – ω0 і початкова фаза – α . Частота є основною харак-

теристикою коливань і не залежить від початкових умов руху. Згідно із формулою ω0 = km вона (на відміну від частоти ω(E) = 2πτ(E) для довільних (немалих) коливань) не залежить

від амплітуди або повної енергії механічної системи. Підкреслимо, що ця властивість пов'язана з мализною коливань, а з математичної точки зору з квадратичною залежністю потенціальної енергії від координати. Енергія системи, яка здійснює малі коливання, записується у вигляді

Підставляючи сюди розв'язок x(t ) = a cos (ω0t + α) , одержуємо

E = 12 mω02a2 , тобто енергія E пропорційна квадрату ампліту-

ди коливань.

46

Ми розглянули приклад лінійної консервативної системи. Однак при збільшенні повної енергії E > Emin систему вже не

можна вважати лінійною. Отже, переходимо до нелінійної консервативної системи, кількісний аналіз якої значно ускладнюється. На зміну кількісним методам приходять у цьому випадку якісні методи (методи якісного інтегрування).

§ 3. Метод фазової площини

Механічний стан матеріальної точки з одним ступенем вільності задається значеннями її координати q(t) і швидкості q(t) .

Кожному стану нашої системи відповідає точка на фазовій площині (рис. 5). Цю точку називають зображувальною. Зміні станів

систем із часом відповідає на фазовій площині (q, q) рух зобра-

жувальної точки по деякій траєкторії, яку називають фазовою траєкторією. Швидкість такої зображувальної точки називають фазовою або діаграмною швидкістю. Вектор цієї швидкості до-

тичний до фазової траєкторії. Зазначимо, що траєкторію і швидкість зображувальної точки не слід змішувати з дійсними траєкторією і швидкістю матеріальної точки. Для наочності вводимо радіус-вектор rф = eGqq + eGqq . Тоді можна ввести поняття фазової

швидкості, яка записується у вигляді vGф = drdtф = eGqq + eGqq .

Наприклад, для гармонічного осцилятора фазова швидкість на фазовій площині ( x, x) записується у вигляді

Звідси видно, що фазова швидкість, за винятком випадку a = 0 , не дорівнює нулю, оскільки функції синуса і косинуса одночасно не дорівнюють нулю.

Зобразимо тепер цілі фазові траєкторії для гармонічного осцилятора. Цілою фазовою траєкторією будемо називати таку криву, яку описує зображувальна точка за весь час свого руху

47

(від t = −∞ до t = +∞ ). Це буде сукупність подібних еліпсів з

Вони зображені на рис. 6. Усі ці еліпси являють собою траєкторії руху зображувальної точки. Рух цієї точки на фазовій траєкторії відбувається за годинниковою стрілкою, оскільки

нюється вкладеними один у одний еліпсами. Фазові траєкторії (за винятком однієї точки x = 0, x = 0 ) ніде не перетинаються.

Еліпс, який проходить через цю точку, сам вироджується в точку. Ця особлива точка називається центром або еліптичною особ-

ливою точкою.

Ізольована особлива точка, поблизу якої фазові траєкторії являють собою замкнені криві, які не мають особливостей, називається центром (напр., еліпси, які вкладені один у одний і охоплюють цю особливу точку).

48

Точка, у якій напрямок дотичної до фазової траєкторії не визначений або, що еквівалентно, у ній не визначена фазова швидкість, називається особливою. Дійсно, у випадку гармонічного осцилятора зі співвідношень

випливає, що за x = x = 0 відношення xx = dxdx = −ω02 xx не визначені. І в загальному випадку особливі точки виникають тоді, коли не буде визначене відношення dqdq| p0 ,q0 , тобто це буде тоді,

коли g ( p0 , q0 ) = 0 і f ( p0 , q0 ) = 0 , що приводить до p(q)|q=q0 = 0 , ∂U∂q|q=q0 = 0 . Тобто всі особливі точки розташовані на осі q

фазової площини (q, q) і в тих місцях, де потенціальна енергія

набуває екстремальних значень. Локальним мінімумам, як уже було показано вище, відповідають особливі точки типу "центр".

Проаналізуємо тепер, якого типу особливі точки відповідають локальним максимумам на графіку потенціальної енергії. Для

цього розкладаємо функцію U (q) в околі точки qmax = q(Emax ) і відраховуємо потенціальну енергію від її локального макси-

що фазовими траєкторіями на фазовій площині є дві системи гіпербол (рис. 7). За E = 0 вони вироджуються у дві прямі (особ-

ливі) x = ±γ0 x , γ0 = km , які є асимптотами для інших фазових

49

траєкторій. Щоб знайти напрямок руху зображувальної точки на цих траєкторіях, випишемо розв'язки для x і x :

x = C1 exp(γ0t ) +C2 exp(−γ0t ) ,

x = γ0C1 exp (γ0t ) − γ0C2 exp (−γ0t ) ,

які випливають із рівняння руху mx − κx = 0 , яке, у свою чергу, характеризує лінійні системи з відштовхувальною силою. Особливі траєкторії можна одержати із загального розв'язку, якщо в ньому покласти C1 = 0 або C2 = 0 . Бачимо, що за t → −∞ фазо-

ві траєкторії наближаються до розв'язку, у якому C1 = 0 , тобто x = −γ0 x . За t → +∞ , відповідно, фазові траєкторії наближаються до розв'язку, у якому C2 = 0 , тобто x = γ0 x . Особлива точка

описаного вище типу називається особливою точкою типу "сід-

ло" (або гіперболічною особливою точкою).

x

E > 0

E 0

E > 0

Рис. 7. Зображення фазових траєкторій в околі особливої точки типу "сідло"

Нанесемо тепер фазові траєкторії у більш загальному випадку (рис. 8). Бачимо, що на цій фазовій площині існують три типи фазових траєкторій. Їх розділяє особлива траєкторія, яка називається сепаратрисою (на рис. 8 це пунктирна лінія). Сепаратриса ділить фазову площину на області з принципово різним характером руху. Вона завжди виходить із сідла або в нього входить, тобто джерелом сепаратриси є лише сідло. Рівняння сепаратриси записується у вигляді

E =Umax =U (qmax ) .

50