IvanovMaksyuta

тобто приходимо до принципу

δ∫12Tdt −δ∫12Udt = δ∫12 Ldt = 0 ,

який збігається з принципом Гамільтона у випадку консервативних систем.

Перейдемо тепер до більш загального випадку. Оскільки кі-

Принцип Гамільтона записується тепер у вигляді

Звідси випливає, що у випадку голономних в'язей інтеграл, що розглядається, дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли всі коефіцієнти при δqi дорівнюють нулю. Отже, одержуємо такі рівнян-

ня Лагранжа для неконсервативних сил:

Ці рівняння можна записати також в іншій формі, якщо врахувати, що на кожну матеріальну точку системи в загальному випадкуG діють якG потенціальні, так і непотенціальні сили

Fa = − aU + fa , де U – повна потенціальна енергія системи,

тобто сума внутрішньої потенціальної енергії взаємодії матеріальнихGточок і потенціальної енергії системи в полі зовнішніх

сил, а fa – сума всіх непотенціальних сил, які діють на а-ту матеріальну точку. Тоді вираз для узагальненої сили Qi можна

ти в елементарних функціях, але це вдається зробити в дуже малій кількості задач. У багатьох задачах можливо прийти до диференціальних рівнянь першого порядку

f (q1,..., qs , q1,..., qs ,t ) = const .

Така комбінація f (q1,..., qs , q1,..., qs ,t) узагальнених координат

і узагальнених швидкостей (а також і часу в загальному випадку), яка зберігає в процесі руху незмінне значення, називається

механічним інтегралом руху (або просто інтегралом руху).

Зауважимо, що інформація, яка міститься в інтегралах руху, буває більш цінною, ніж точне знання функцій qi (t) . Достатньо

зазначити, що більшість інтегралів руху, відомих у класичній механіці, переносяться й у квантову механіку. Для класичної механіки важливо те, що для даної системи можна черпати інформацію, не інтегруючи повністю рівнянь руху. Наприклад, якщо в лагранжіан не входить деяка координата qi (швидкість

qi має бути при цьому), то цю координату називають циклічною. Рівняння Лагранжа для такої координати має вигляд

Таким чином, можна сформулювати загальну теорему про збереження: якщо координата qi циклічна, то відповідний їй узагаль-

нений імпульс рi залишається сталим. Очевидно, що чим більш вдалим буде вибір узагальнених координат qi , тим більше буде

циклічних координат і відповідно більше будеінтегралів руху. Наявність деякого інтеграла руху вказує на існування деякої

внутрішньої симетрії для системи, тобто, наприклад, якщо координата, що описує переміщення системи, циклічна, то система буде інваріантною щодо переміщення вздовж цього напрямку, тобто щодо перетворення q → q′ = q + δ .

Далі на прикладі трьох уже відомих законів збереження (енергії, імпульсу та моменту імпульсу) з'ясуємо, з якими перетвореннями та симетріями вони пов'язані. Окрім того, розгляд цих інтегралів необхідний з точки зору їх особливої важливості в ме-

33

ханіці: усі вони мають спільну властивість – адитивність, тобто їх значення для системи, що складається із окремих частин, взаємодією яких можна знехтувати, дорівнює сумі значень для кожної з частин окремо.

§2. Закони збереження

1.Закон збереження енергії. Покажемо, що можна пов'язати закон збереження енергії з властивістю симетрії часу – його

однорідністю. Припустимо, що L(q, q,t) = L(q, q) , тобто ∂L∂t = 0 . Це означає, що функція Лагранжа не залежить явно

від часу. Тому повна похідна за часом цієї функції записується таким чином:

Замінюючи тут похідні ∂L∂qi на d (∂L∂qi )dt (згідно з рівнянням Лагранжа–Ейлера), одержуємо

Звідси видно, що величина

E = ∑s qi ∂L − L

i=1 ∂qi

залишається незмінною для замкненої системи, тобто є одним із її інтегралівруху. Цявеличинаназиваєтьсяповноюенергієюсистеми.

Запишемо функцію Лагранжа в загальному вигляді

L(q, q) = T (q, q) +G (q, q) −U (q) .

теорему Ейлера про однорідні функції, одержуємо

34

тором δϕG = nGδϕ . Якщо, як для замкненої системи матеріальних точок, система інваріантна щодо довільного повороту, ми

прийдемо до збереження моменту імпульсу L .

Наведені загальні міркування застосуємо й до більш загальних перетворень координат. Розглянемо систему, що характеризується гвинтовою симетрією. Функція Лагранжа такої системи не змінюється при зміщенні вздовж деякої осі (напр., осі z ) на величину δz й одночасним поворотом навколо цієї ж осі на кут δϕ , зв'язок між якими є hδϕ = 2πδz , де h – крок гвинта. Пере-

конуємось, що в цьому випадку κGa = [eGz , rGa ] + heGz 2π і зберігається така комбінація z -ї проекції моменту імпульсу та z -ї про-

екції імпульсу: Lz + 2hπ pz = const .

§ 3. Механічна подібність

Якщо перейти від функції L до функції CL , де C – довільна константа, то рівняння Лагранжа не змінюється. Ця обставина дозволяє в ряді випадків зробити суттєві висновки про властивості руху, не виконуючи конкретного інтегрування рівнянь руху.

Нехай потенціальна енергія є однорідною функцією коорди-

нат, тобто функцією, яка задовольняє умову

U (αrG1,...,αrGn ) = αkU (rG1,..., rGn ) ,

де α – довільна константа, а k -й – степінь однорідності функ-

енергія відповідно в α2β2 разів. Якщо α і β зв'язати умовою α2 β2 = αk , β = α1−k / 2 , то в результаті такого перетворення функ-

ція Лагранжа множиться на постійну величину αk , тобто рівняння руху залишаються незмінними.

Зміна всіх координат матеріальних точок в однакову кількість разів означає перехід від одних траєкторій до інших, які

37

є геометрично подібними першим і відрізняються від них лише лінійними розмірами.

Таким чином, якщо потенціальна енергія є однорідною функцією k -го степеня щодо координат (декартових), то рівняння руху допускають подібні траєкторії, причому всі часи руху (між відповідними точками траєкторій) співвідносяться як

t′ t = (l′ l )1−k / 2 , де l′l – відношення лінійних розмірів двох

траєкторій. Можна знайти також відношення у відповідних точках інших механічних величин:

тяжіння квадрати часів падіння відносяться як їх початкові висоти (t = 2gh ) ; 2) U = κx22 (малі коливання) k = 2 , t′t =1, тоб-

то період таких коливань не залежить від амплітуди; 3) U r−1 , k = −1 , t′ t = (l′ l )3/ 2 (третій закон Кеплера), тобто квадрати часів обертання по орбітах пропорційні кубам їх розмірів.

§ 4. Теорема віріалу

Нехай рух системи відбувається в обмеженій області простору. Тоді існує просте співвідношення між середніми за часом значеннями кінетичної та потенціальної енергій. Оскільки кінетична енергія T є квадратичною функцією швидкостей, то згідно з теоремою Ейлера про однорідні функції маємо

∑ ∂∂GT vGa = 2T ,

a va

або після заміни pa = ∂T∂vGa маємо

38

Усереднюємо це рівняння за часом. Середнім значенням якоїнебудь функції за часом називається величина

Це співвідношення у 1870 р. отримав німецький фізик Р. Клаузіус. Праву частину цієї рівності він назвав віріалом (лат. vires – сила), а саме співвідношення називається теоремою віріалу.

Якщо потенціальна енергія є однорідною функцією k -го степеня, то ця рівність переходить у таку: 2T = kU . Оскільки T +U = E = E , останнє співвідношення можна представити в

Приклади: 1) в однорідному силовому полі (k =1) : 2T =U ; 2) для малих коливань (k = 2) : T =U , тобто середні значення кінетичної і потенціальної енергій збігаються; 3) для ньютонівської взаємодії (k = −1) : 2T = −U . При цьому E = −T згідно

з тим, що за такої взаємодії рух відбувається в обмеженій області простору лише за від'ємної повної енергії.

39

Контрольні запитання та завдання

1.Циклічні координати.

2.Що називається інтегралом руху.

3.Суть механічної подібності системи.

4.Доведення теореми Ейлера про однорідні функції.

5.Теорема віріалу.

Лекція 5. Одновимірний рух матеріальної точки

§ 1. Інтегрування рівнянь руху матеріальної точки

Одним із простих модельних випадків є рух однієї матеріальної точки під дією зовнішніх сил. Наступним спрощенням є опис руху лише за допомогою однієї змінної. Такий випадок виникає тоді, коли рух механічної системи обмежується деякою в'яззю (або в'язями). Наведемо приклади.

1. Жолоб Галілея (рух по похилій площині вздовж одного напрямку під дією сили тяжіння та сили тертя), рис. 1.

Якщо частинка масою m ковзає без тертя, тобто розглядається ідеалізований випадок, то рівняння руху по такому безмежно довгому (це також ідеалізація) жолобу має такий вигляд:

s = g cos α .

2. Плоский математичний маятник (рис. 2).